關於《算數書》體例的一個備註

                                               台師大學數學系 洪萬生教授

一､前言

        繼江陵張家山漢簡整理小組發表《算數書》釋文 (2000年9月) 問世之後，¹彭浩又接著推出《張家山漢簡《算數書》注釋》一書 (2001年7月) ，²讓我們得以『貼近』這一份至少已有2186年歷史的數學文本，誠然是中國數學史學界一大盛事！

        根據彭浩的報告，《算數書》竹簡共有一百九十枚，簡長29.6－30.4公分，寬0.6－0.7公分。編線有三條，上、中、下各一，全書編成一卷。³在《張家山漢簡《算數書》注釋》中，彭浩則提供了72枚竹簡圖版，不僅文字清晰可辨，而且書寫體例也可以一覽無疑，讓我們有機會求證一些先前的猜測。

        筆者在拙文〈《算數書》初探〉(2000a) 與〈《算數書》的幾則論證〉(2000b) 中，⁴都曾指出《九章算術》文本本身所未得見的『因而』連接詞，是先秦時期中國算數著述重視論證的一個重要的例證。但是，由於無法親賭《算數書》體例之原貌，所以，『因而』在該書中是否作為連接詞被使用，也沒有完全的把握，儘管釋文的呈現還相當忠實。

        現在，有了《算數書》的圖版與彭浩的注釋，我們根據此一文本中的『勾識』（∟）與『墨點』（•）記號，已經可以確定『因而』一詞果然是做連接詞使用。此外，在某些題文、術文中，『勾識』記號出現頻繁，我們可以猜測它們受到使用者 / 抄寫者的青睞，以及他（們）如何使用此一文本。再有，從『楊（已讎）』、『王（已讎）』的註記位置，我們應該可以確信本書至少有楊姓與王姓兩位校對者。⁵在本文中，我們打算依序對這些問題提出一得之愚。

二､秦、漢簡文中的『勾識』、『墨點』與『重文』記號

        《算數書》與其他出土漢簡一樣，除了文字之外，還包括了『勾識∟』、『重文＝』與『墨點•』等三種符號。這三種記號也出現在秦簡之中。⁶不過，比較秦、漢簡中的這些記號的出現頻率，兩者之『重文號』相差無幾，而前者之『墨點』遠較後者為多，⁷譬如《算數書》的『墨點』只有15個。至於『勾識』則剛好想反，《算數書》就多達157個。儘管秦簡中『勾識』的用途各家說法稍有不同，大概總不外乎是抄錄者或誦習者所做的標識或記識，與今之頓號『、』相通。⁸吳福助針對秦簡《語書》中的上述三種符號進行研究，也同意『勾識』標號之作用相當於句讀，然而，他認為註記卻是誦習者所加。⁹吳福助還指出：「由此文書的勾識符號繁多（凡二十七個），為秦簡其他各篇所不及，足見喜（按 即墓主）對它確曾特別用心研讀過。」¹⁰另一方面，他也認為秦簡《語書》中的『重文號』與『墨點』都是抄錄者所作，其中『墨點』表示章句號。¹¹

        針對《算數書》的體例，彭浩認為『勾識』「用作斷句。在題中數字連續出現時多用以點斷上下句，避免誤讀」，至於「算題的末尾皆無句讀」。此外，「墨點˙多用於另一段文字開始的標誌，兼有與上文相隔斷。」¹²現在，就讓我們來考察《算數書》中『勾識』或『墨點』記號，如何關聯到它的『因而』連接詞。在本書中陳述中含有『因而』兩個文字的題名中，除了『徑分』、『粟求米』、『米求粟』、『絲練』、『以方材圜』以及『里田』等之外，還有『合分』。¹³在下文中，我們將討論其中涉及『勾識』或『墨點』的題名。第三節：『合分』與『徑分』。第四節：『粟求米』。第五節：『以方材圜』與『里田』。

三､『合分』與『徑分』

        『合分』題在提供了分數的加法法則之後，隨即舉例說明。全文引述如下（在下述引文中，『∟』代表勾識記號，『＝』代表重文記號，阿拉伯數字則是彭浩所編的整理號）：

合分   合分術曰：母相類，子相從。母不相類，可倍＝、（倍），可三＝、（三），可四＝、（四），可五＝、（五），可六＝、（六），七亦輒倍＝、（倍），及三、四、五之如＝，母相類                                                        (21) 

者，子相從。其不相類者，母相乘為法，子互乘母并以為實∟，如法成一。今有五分二∟、六分三、                                                    (22)

十一分八∟、十二分七∟、三分二為幾何？曰：二錢六十分錢五十七∟，其術如右方。五人分七錢、少半＝、（半）錢，人得一錢三十                         (23)

分錢十七。術曰：下三分，以一為六，即因而六人以為法，亦六錢以為實∟。又曰：母乘母為法，子羨乘母                                             (24)

為實＝，（實）如法而一∟。其一曰：可十＝、（十），可九＝、（九），可八＝、（八），可七＝、（七），可六＝、（六），可五＝、（五），可四＝、（四），可三＝、（三），可倍＝、（倍），母相類止∟。母相類，子相從。¹⁴                           (25)

上述五個段落，分別寫在各一枚竹簡之上，彭浩的竹簡整理號依序為21，22，23，24，25。如果我們再參考彭浩所提供的〈《算數書》竹簡整理號與出土號對照表〉，以及〈張家山《算數書》竹簡出土側視圖〉，¹⁵那麼，此一『合分』題的簡文還原應該是合理的。

        如此一來，我們就可以考察『勾識』記號的意義了。在上述第22號這一枚竹簡中，共有兩個『勾識』號，第一個句讀頓在『實』這個專有名詞，可能意在提醒下文的點讀，譬如第25號的這一枚中第一個勾識就是頓在『實如法而一』。第二個句讀頓在『二』字，目的當是明白地指出舉例中的數據。同理，第23號這一枚竹簡中的前兩個『勾識』記號也是如此，至於第三個似乎用以指出答案，儘管它顯然有訛文。¹⁶

        第24號這一枚竹簡中的『勾識』號頓在第一個『術』文的結束處，所以，註記者明確地知道這一句話陳述了一個『術』。由於此一術文涉及『因而』兩字，所以，我們必須分析其用途，以便確認它們是否是帶出結論的連接詞。顯然，此一術文是針對前一個問題：「五人分七錢、少半錢、半錢」，它的算術計算相當於 (7 + 1/3 + 1/2) ÷ 5，答案為『（每）人得一錢三十分錢十七』（1 + 17/30）無疑是正確的。不過，如果《算數書》的解法：「下三分，以一為六，即因而六人以為法，亦六錢以為實」，正如彭浩的解讀，也就是：「把人數與錢數都擴大了六倍，47/6錢則成為整數47，運算更簡捷」，¹⁷那麼，『因而』作為一個引出『推論』的連接詞，應該是個合理的解讀。

        這種解讀當然不是主觀認定，我們也可以徵之於照彭浩所推斷的『合分』題中之簡文竄抄：「自『五人分七錢、少半、半錢』以下文字應歸入下題『徑分』，簡文竄抄」。¹⁸事實上，從『徑分』題內容看來，確有可能。茲引述其內容如下：

徑分     徑分以一人命其實，故曰：五人分三、有半、少半，各受三十分之二十三。其術曰：下有少半，以一為六，以半為一，以少半為二，                (26)

并之為二十三，即值（置）一數，因而六之以命其實∟。有曰，術曰：下有半，因而倍之；下有三分，因而三之；下有四分，因而四之。¹⁹               (27)

正如筆者曾經指出，本題中的『故』為本書僅見，它所連結的句子更是徹頭徹尾的推論形式之表徵。²⁰如果參照彭浩所推測的竄抄，²¹則『徑分以一人命其實』之作為前提，讓連接詞『故』適時地引出另一個推論結果 － 亦即「五人分三、有半、少半，各受三十分之二十三」，實在是很難令我們抗拒的論斷。另一方面，在緊接著的『其術曰』句子結束處有一『勾識』記號，足見註記者十分清楚它的內容。事實上，此一例題在說明如何求 (3 + 1/2 + 1/3) ÷ 5，由於《算數書》作者以 6 × (3 + 1/2 + /1/3) ＝ 23為『實』，所以，他才會說：『因而六之以命其實』。於是，『因而』兩字作為推論用的連接詞，殆無疑問矣！這或許也可解釋何以本題最後的『術曰』中，『因而』一詞都以對稱形式出現，蓋其推論形式相仿故也。

四、『粟求米』

        上一節的內容與分數計算有關，本節則針對比例問題。先引述『粟求米』的內容：

粟求米  粟求米因而三之，五而成一。˙今有粟一升七分三，當為米幾何∟？曰：為米七分升六。術曰：母相乘為法，以三                                 (113)

  乘十為實。²²                                                     (114)

在本題名中，『墨點』與『勾識』記號區隔了粟與米的交換比率（第一句），以及所舉的例題（第二句），所以，應該是近乎標準的體例。不過，更值得注意的，是第一句中的『因而』一詞。由於前幾個題名已經提供了一些糧食的交換比率，其中當然包括了『粟求米』，²³所以，此一『因而』當是推論用的連接詞。

在緊接著的『米求粟』題名中，儘管我們找不到『墨點』與『勾識』記號，但是，由於它的體例與上一題對稱，所以，其中『因而』一詞應該也是推論用的連接詞。請參考下文的引述：

米求粟  以米求粟因而五之，三成一。今有米七□升六，當為粟幾何？曰：為粟一升七分升三。術曰：母相                                              (115)

乘為法，以五乘□□□。²⁴                                   (116)

此外，『絲練』也是比例計算題，雖然它缺算例，²⁵而且也未見『墨點』與『勾識』，但是，由絡絲求練絲的比率『16：12』，可知句中的『因而』也是用以推論的連接詞無誤。

五､『以方材圜』與『里田』

        『以方材圜』與前一題的『以圜材方』應該是對稱題型，不過，由於在後者中未見『墨點』與『勾識』記號，所以，先討論前者，其內容引述如下：

以方材圜  以方材圜，曰：材方七寸五分寸三，為圜材幾何？曰：四韋（圍）二寸二十五分十四。˙術曰：方材之一面即                            (154)

圜材之徑也，因而四之以為實，令五而成一。²⁶                     (155)

儘管在上文中，我們看不到『勾識』記號，但是『術曰』前的『墨點』「加在題文之中，標示以下文字為另一部份。」²⁷既然如此，本句中的『因而』連接了前提『方材之一面即圜材之徑』以及運算『四之以為實，令五而成一』，其作為『推論』之用，應該是確論不移了。²⁸同理，可證『以圜材方』中的『因而』亦然，儘管這兩題中都有訛文。²⁹

        最後，我們來考察『里田』題：

里田  里田術曰：里乘里＝，（里）也、廣、從、（縱）各一里，即直（置）一因而三之，有（又）三五之，即為田三頃七十五畝∟。其廣、從（縱）不等者，先以里相乘，已，                                                         (187)

乃因而三之，有（又）三五之，乃成。今有廣二百二十里，從（縱）三百五十里，為田二十八萬八千七百五十頃。直（置）提封以此為之。                (188)

一曰：里而乘里＝，壹三，而三五之，即頃畝數也∟。有（又）曰：里乘里＝，（里）也；以里之下即予二十五因而三之，亦其頃                          (189)

      畝數也。曰：廣一里、從（縱）一里為田三頃七十五畝。³⁰            (190)

在本題中，『勾識』記號共有兩個，分別出現在『術曰』結束處。由於在此一題名中，『因而』一詞所連接的往往是兩個運算或計算過程，所以，推論的意義看來比較不明顯。在這樣的脈絡中，它作為一般轉折的連接詞來使用，倒是比較可能。換句話說，『因而』作『就接著』解，似乎比較言之成理。³¹儘管如此，在古漢字的使用上，『因而』連成一組通常表示結果的連接詞。³²

六､勾識、墨點與楊、王之校讎

        在本書中，校對者『楊』氏共出現九次，『王』氏則出現三次。在這些可以確知經過楊或王校讎之題名中，我們也發現了『勾識』記號的存在，有一些甚至於次數十分頻繁。譬如，『相乘』題經過『楊』氏兩度署名校讎，同時，它也被註記了21個『勾識』記號；³³類似地，『粺毀』題亦經『楊』氏校讎，而且也出現了28個『勾識』記號。³⁴另一方面，『女織』題經『王』氏校讎，『勾識』記號則有10個。³⁵所有這些似乎都指向校讎者與『勾識』記號的相干。不過，『少廣』題有31個『勾識』記號，然而，校讎註記卻未曾得見。³⁶此外，還有一些題名有校讎但缺『勾識』記號者，譬如『程禾』與『粟米并』題。³⁷

        由於相對於秦簡，《算數書》的墨點出現頻率偏低，而『勾識』記號又偏高，所以，『勾識』記號也可能是抄寫者 / 使用者所留下，而不是校讎者的手筆。前文曾提及秦簡《語書》的『勾識』記號有可能是誦習者所加。不過，《算數書》中的『勾識』記號當然也可能是文本抄寫的一部份，因為他們都佔滿了一整格，而且，全書筆墨濃度一致。³⁸

七､題、術文的使用頻率

        如果《算數書》中的『勾識』記號確是抄寫者照抄得來，那麼，它的出現頻率至少可以指出它的母本中，哪些題、術文最受青睞了。這些題名按照勾識個數的多寡順序，可排列如下（括弧內阿拉伯數字表示個數）：少廣 (31)、粺毀 (28)、相乘 (21)、女織 (10)、合分 (7)、耗 (7)、粟為米 (5)、啟從 (5)、粟求米 (4)、分當半 (3)、并租 (3)。下列題名有兩個勾識記號：約分、稅田、租誤卷、大廣、方田。至於題名只有一個勾識記號的，則有：里田、增減分、徑分、出金、共買材、傳馬、婦織、飲漆；程竹、賈鹽、粟求米、盧唐、囷蓋、井材、啟廣。

        由上述的統計數字來看，《算數書》的勾識記號，主要集中在分數演算法則與其例題、比例問題（尤其是糧食交換的比率與其計算）以及面積計算等三方面。彭浩對本書九十幾個算題的用途之歸納，發現本書算題與秦漢縣級政府的管理職責息息相關，亦即：土地和租稅、倉儲物資以及勞役和工程等三方面的管理。誠然，本書勾識記號最多的算題，主要集中在第一方面的應用，而未及於後兩者。至於原因究竟，我們目前還難以索解。當然，如果勾識記號只是抄寫慣例，譬如『相乘』題中第2（整理）號簡的開端之勾識記號，³⁹那又另當別論矣！

八､結論

        筆者曾在先前關於《算數書》的研究中，企圖回答一個問題，那就是：此一文本如何被它的擁有者 － 亦即張家山247號漢墓的墓主－所使用？⁴⁰其實，本文所努力還原的圖像，也無一不指向此一問題。

        根據考古學家的研究，此一墓主原是秦朝小吏，於公元前202年（漢高祖五年）或稍前「新降為漢」。公元前194年（漢惠帝元年）六月以「病免」，最後約在公元前186年（呂后二年）後不久去世。⁴¹由於陪葬的簡策除了《算數書》、曆譜與遣策之外，還包括了法律文書如《二年律令》、《奏讞書》與《蓋盧》，以及醫書如《脈書》與《引書》，可見墓主「有較高的文化水準，涉獵廣泛，喜好醫學、導引、兵、陰陽。他在縣級政府中的主要職責是協助縣令處理司法案件並管理政府財物，通曉數學。」⁴²此一事實也呼應了秦漢吏員的素養與能力，亦即『能書、會計、治官民、頗知律令』。⁴³

        這或許也呼應了秦朝『以吏為師』的深厚傳統。⁴⁴由睡虎地秦墓簡書《語書》與《為吏之道》的內容體例與文章風格來看，墓主喜可能「在司法職務之外，還兼有教法之吏的身分。」⁴⁵依此類推，張家山漢墓的墓主也可能曾經是『教法之吏』，如此一來，《算數書》體例中的勾識記號與楊、王校讎之特徵，似乎也顯示了它是秦漢時期輾轉傳抄課吏之教材。其實，鄒大海細緻地分析它的內容結構之後，推斷「《算數書》不是一本精心編撰的數學專著，其性質屬於一部撮編的問題、方法、標準等的文集；即使其本身有一主要來源，其主要母本也是撮編之書。」⁴⁶既然如此，本書之於它的陪葬者，或有可能正如《為吏之道》之於喜，年少學吏時習用過，後來擔任法吏兼有『學室』教職，又用以訓練吏員之教材。⁴⁷

        然則本書中的『因而』連接詞，不曾在同時或稍後的《九章算術》（南宋版為準）中現身，又當如何解釋呢？春秋戰國時代的中國古算被認為有『算法式』（或『算則化』）和『理論化』兩種傳統，到了漢代以後，前者成為中國數學的主流，而《九章算術》正是此一主流的經典作品，⁴⁸從而足以表徵『理論化』傾向的『因而』也就跟著消失了。《算數書》的內容與形式儘管無法與《九章算術》相提並論，⁴⁹不過，『因而』在前書多處一再（即使是不經意地）出現的事實，卻可以說明春秋戰國時代中算『理論化』曾經存在的事實，只是此風已遠，徒令後代史家憑弔與遐思罷了。

謝辭：本文初稿完成，承李怡嚴教授不吝指正，謹此致謝。後來藉參加第九屆國際中國科技史會議（10/9-10/12, 2001，香港城市大學）之便，送請與會者傳閱，又蒙彭浩教授、郭書春教授與鄒大海教授惠正良多，不勝感激。當然，筆者理當自負所有文責。另外，本文之撰寫，也獲得國科會計畫編號 NSC 90-2521-S-003-005- 之部分贊助。

註解：

1. 參考江陵張家山漢簡整理小組 (2000)。

2. 參考彭浩 (2001)。

3. 參考彭浩 (2001)，頁2。

4. 參考洪萬生 (2000a)，(2000b)。

5. 本書中的『楊』、『楊已讎』、『王』、『王已讎』都出現在下編線之下。其他文字除了兩枚例外，都是在上下兩編線之間。參考彭浩 (2001)，頁2-3。

6. 參考徐福昌 (1993)，頁194-208；吳福助 (1994)，頁65。

7. 參考徐福昌 (1993)，頁207

8. 同上，頁205-207。

9. 參考吳福助 (1994)，頁65。

10. 同上，頁194。

11. 同上，頁65。

12. 彭浩 (2001)，頁3。

13. 洪萬生 (2000b) 漏列『合分』題。

14. 引彭浩 (2001)，頁45-46。

15. 同上，頁129-130。

16. 參考同上，頁46-47；或蘇意雯等 (2000)。

17. 彭浩 (2001)，頁47。

18. 同上。

19. 引同上，頁48。

20. 參考洪萬生 (2000a,，2000b)。又此一釋文的可靠，也可以徵之於彭浩所提供的〈《算數書》竹簡整理號與出土號對照表〉，以及〈張家山《算數書》竹簡出土側視圖〉。本文其他引述例之可靠，亦依此推斷。

21. 彭浩認為第23、24（整理）號簡中的「五人分七錢，……，（實）如法而一」一段，應該移入第27號簡的最後一句之後。彭浩 (2001)，頁49。

22. 引同上，頁89。

23. 譬如『粺毀』、『粟為米』與『粟求米』三題（在本書中『粟求米』共有兩個題名，這是第一個，本文所引述者為第二個）。參考同上，頁84-89。

24. 引同上，頁90。

25. 參考同上，頁74-75；或蘇意雯等 (2000)；或洪萬生 (2000a)。

26. 引彭浩 (2001)，頁111。

27. 同上，頁3。

28. 也參考洪萬生 (2000a，2000b)。

29. 參考彭浩 (2001)，頁110-113；蘇意雯等 (2000)。

30. 引彭浩 (2001)，頁125-126。

31. 參考洪萬生 (2000b)。

32. 同上；或呂 (1993)，頁406-407。

33. 參考彭浩 (2001)，頁37-38。

34. 同上，頁84-85。

35. 同上，頁56。

36. 同上，頁116-118。

37. 同上，頁80，91。

38. 筆者與彭浩教授會見於第九屆國際中國科技史會議（10/9 – 10/12, 2001香港城市大學），承他賜知此一結果。

39. 針對此一現象（見彭浩 (2001)，頁37），彭浩認為「簡文開頭有用作斷句的勾識，本應屬上簡，但上簡末已無空餘，故移至本簡開端。」引彭浩 (2001)，頁39。

40. 參考洪萬生 (2000a，2000b)。

41. 參考彭浩 (2001)，頁11。

42. 引彭浩 (2001)，頁11-12。

43. 參考吳福助 (1994)，頁150。

44. 同上，頁177。

45. 引同上，頁114。

46. 引鄒大海 (2001)。

47. 參考吳福助 (1994)，頁180。

48. 參考鄒大海 (2001)。

49. 有關兩書的比較，參考同上；或洪萬生 (2000a)。

參考文獻

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