《平三角舉要》、《方圓冪積》文本研讀內容摘要

台灣師範大學數學系研究生 陳彥宏

一、《平三角舉要》內容摘要

《平三角舉要》是梅文鼎早期的作品。梅文鼎以明末傳教士編譯的《大測》、《測量全義》等書為基礎,對有關三角形的算法作了系統的整理。此書原名《三角法舉要》,因梅氏後來又寫成論球面三角的《弧三角舉要》五卷,《梅勿庵先生曆算全書》和《梅氏叢書輯要》的編者遂將此書更名為《平三角舉要》。全書共分為五卷,序言即道出此書一個很重要的目的:嘗試以傳統句股理論整合三角術。

  西法用三角,猶古法之用句股也。但三角有鈍角,而句股無之,論者遂謂句股之數有所窮,殊不知銳角形須分為兩句股,鈍角形須補成句股,,然則句股雖不能備三角之形,而能兼三角之理,三角不能出句股之外,而能盡句股之用,一而二,二而一者也。

 底下便將各卷之內容作一簡略之摘要:

 

 

 

                             

測算名義

各種定義(包括點、線、面、體、三角形、角、弧、矢、通弦、大矢、正弧、餘弧、正角、餘角、割圓八線、相似形)、同角三角函數間的關係、八線表、互為餘角及補角的三角函數間之關係。

算例

以例題介紹各種三角形的算法。

內容外切

包括三角求積、三角容圓與三角容方。

或問

利用句股理論對各種三角形算法進行證明,有「三角形用正弦為比例之理」(即正弦定理)、「和較相求之理」、「用切線分外角定理」、「三較連乘之理」(即Heron公式)。

測量

“生活中之測量實例”,包括「測高」、「測遠」、「測斜坡」、「測深」四種類型。

 

在梅文鼎的時代,三角術並未發展成一門獨立的學科,主要的定義、公式與定理都是經由幾何的方法推導而得,因此,《平三角舉要》一書中含有各種圖形,作為輔助說明之用。

 值得一提的是,除了介紹各種三角形的算法外,在卷三出現了「以量代算」這樣的方法,以書中的「三角求積第二術」為例:

   三角求積第二術  以中垂線乘半周得積,謂之以量代算。

  假如鈍角形,乙丙邊五十八步,甲乙邊一百一十七步,甲丙邊八十五步,求積。

  術平分甲、乙兩角,各作線會于心,從心作十字垂線至乙甲邊如心庚,即中垂線也,乃量取中垂線心庚,得數一十八步。合計三邊而半之一百三十步為半周,以半周乘中垂線, 得積。

 

 在三角形中,先作兩角平分線以求出內心,再由內心對某一邊作垂線,然後“直接量取”此一垂線長度即可得該三角形內切圓之半徑長,姑且不論其「精確性」和「嚴謹性」,這樣的方法,在當時三角術的核心內容還是以大地及天文測量問題為背景的年代,確實已經足夠!

 二、《方圓冪積》內容摘要

《方圓冪積》是梅文鼎研究圓與球體的專著。《勿庵曆算書目》作二卷,各種刻本均為一卷。其內容包括方圓相容(有方中容圓、圓中容方)、方圓周徑相求(有同積較徑、同積較周、同徑較積較周、同周較積較徑)、圓錐與球及圓柱表面積、體積之間的關係。

全書多以條列方式敘述,不過,在討論同底等高之圓柱與圓錐間的關係時,他利用如下圖之“切割”方法進行了詳細的推導。

 

 

 

 

 

 

 另外,梅氏亦利用三維的「出入相補」方法,正確地推導出球體公式,這項成就對當時而言,著實意義深遠!底下便簡單摘錄其論述內容。

 

 

 

 

 

 

 


梅文鼎首先敘述其“切割”方式:

   甲戊丙丁渾圓體。  從丑乙、辰乙、癸乙、子乙、卯乙、寅乙等各半徑,各自其渾冪透至乙心,以半徑旋行而割切之,則成上下兩圓角體,一甲卯辰丑乙以甲丑卯辰割渾圓之面為底,乙為其銳。此割圓曲徑,自丑而甲而辰,居圓周三之一,一丙癸寅子乙以子丙寅癸渾圓之割面為底,乙為其銳。此割圓曲徑亦三之一,如三百六十之一百二十。此上下兩角體相等,皆居全渾體四之一。中腰成鼓形,而上下兩面並穵空各成虛圓角其外則周遭皆凸面,如丑戊子及辰丁癸之割圓狀。此割圓曲徑,自辰而丁而癸,居圓周六之一,為三百六十之六十

  此鼓形體,倍大於上下兩角體,居渾圓全體之半。若從戊乙丁腰橫絕之為二,則一如仰盂,一如覆碗,而其體亦渾圓四之一也。

 

 

 

 

 

 

 

接著,梅氏再論為何以上述之切割方式會得到四個體積相等之立體:

  試於乙丙子癸角體,從子寅癸橫切之,則成子未癸午小圓面,為所切乙子寅癸小圓角體之底,乃子寅小半徑,乘子未癸小半周所成也。然則以子寅小半徑,乘子未癸小半周,又以乙寅半半徑為高乘之,而取其三之一,即小角體矣。

  試又于中腰鼓體,從丑子及卯寅及辰癸諸立線,周遭直切之,脫去其外鼓凸形,即成圓柱體之外周截竹形。又從酉乙申橫切之為兩一仰盂,一覆碗。則此覆碗體舉一式為例,可直切斷而伸之,亦可成方角體,此體以乙寅半半徑,乘子未癸午小圓全周為底其形長方,此長方角體必倍大于小圓角體。何也?兩法並以小半徑,及半半徑,兩次連乘,取三之一成角體,而所乘者,一為小圓全周,一為小圓半周,故倍大無疑也。

  又丙癸寅子亦可成角體,與乙子寅癸等。覆碗體既倍大,則兼此兩角體矣。

 上段說明先將「凸形」切去,得到「圓柱體之外周截竹形」體積是上下兩角體的兩倍,然後 

  又角體內,既切去一小角體,又穵去一相同之小角體,則所餘者為丙癸寅子圓底仰盂體。

  鼓體內既穵去如截竹之體,則所餘者為內平如丑子或辰癸外凸如子戊丑及辰丁癸之空圈體,

  而此體必倍大于圓底仰盂體。何以知之?蓋兩體並以半徑為平面丑子與癸丙並同。並以圓周六之一為凸面,而腰鼓之平面以半徑循圓周行,圓底仰盂之平面,則以半徑自心旋轉。周行者,兩頭全用;旋轉者,在心之一頭不動,而只用一頭,則只得其半矣,故決其為倍大也。

  準此而甲丑卯辰,亦為穵空之圓覆碗體,而只得鼓體之半矣。由是言之,則上下角體各得中腰鼓體之半,而鼓體倍大于角形,渾體平分為四,夫復何疑。

 

 

 

 

 

 

 

推導出球體積為圓錐體積之四倍,再利用之前所得的圓錐體公式,便可得到正確的球體體積公式!

三、參考資料

1.      劉鈍,〈平三角舉要提要〉,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷四,鄭州:河南教育出版社,1993

2.      劉鈍,〈方圓冪積提要〉,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷四,鄭州:河南教育出版社,1993