劉徽之『割圓術』

台師大數學系教學碩士班 徐梅芳

        劉徽注《九章算術》〈方田章〉中的『圓田術』:

    按:半周為縱,半徑為廣,故廣縱相乘為積步也。

從中,我們可以看出:劉徽將『圓田』化為長為半周寬為半徑的『長方形』加以計算。然則圓田又是何故列入〈方田章〉中呢?劉徽何以會『將圓化方』呢?

在李繼閔的《《九章算術》及其劉徽注研究》中,作者指出:中算家素以圓、方相提並論。《周髀算經》卷上,載有周公請教商高天圓地方之量數從何而得的對話。商高回答:「數之法出於圓方。圓出於方,方出於矩,矩出於九九八十一。」所謂「圓出於方」,注云「圓規之數,理出於方」,是說圓的數量乃歸之於方來計算。所謂「方出於矩」,注云「方正之物,出之以矩;矩,廣長也」,是說方形的數量是由它的長與寬決定的。所謂「矩出於九九八十一」,注云「推圓方之率,通廣長之數,當需乘除以計之,九九者,乘除之原也。」既然『圓出於方』,那麼,將「圓田術」列入〈方田章〉也就順理成章了。

在〈方田章〉中的『圭田』、『邪田』、『箕田』各題,從劉徽的注看來,他都運用了「出入相補」的方法,將簡單直線多邊形,分割、移動組合成長方形(其中運用了平面圖形經過移動其面積不變的原理)。既然「圓田」亦列入〈方田章〉中,那麼,劉徽對「圓田術」的論證,就如同其他圖形的方法一般「割圓拼方」。但不同於圭田、邪田及箕田之術,『割圓』這種拼法,只能在有限次中獲得近似的結果。若最終成立,則一定要通過無窮的極限過程來實現。

劉徽注「割圓術」:

又按:為圖。以六觚之一面乘一弧半徑,三之,得十二觚之冪。若又割之,次以十二觚之一面乘一弧之半徑,六之,則得二十四觚之冪。割之彌細,所失彌少。割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。觚面之外,猶有餘徑。以面乘餘徑,則冪出弧表。若夫觚之細者,與圓合體,則表無餘徑。表無餘徑,則冪不外矣。以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。

這是劉徽對圓面積公式的證明,其中包含了有限過程和無限過程兩部分。有限的分割過程,是基於「出入相補」,不過,在這樣的分割與拼補中圓面積有「所失」,所以,是一個逼近的方法。若要精確,就需無限分割而涉及極限,『割之彌細,所失彌少。割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣!』這對極限思想有透徹的闡發,此外,劉徽對有限分割中的「所失」也做了定量分析,論證當割圓無限細密而達到極限時,「所失」遞減至零。所以,毫無疑問地,劉徽證明圓面積公式的「割圓術」是一種極限方法。

劉徽的「割圓術」是以圖驗術,使得我們可以十分直觀接受他的論證。儘管以現在數學證明所要求嚴謹來看,劉徽的證明是不夠標準,但對於國中生而言,介紹他們認識劉徽的「割圓術」,可以讓他們對圓面積公式更加印象深刻。它不僅是一個公式,而且是一個可以由日常生活的蛋糕、pizza實際做做看的實驗結果。這種活動也許會有帶來誤差,但是,卻提供給他們「隨時觀察生活,也許其中蘊藏了奇妙數學」的一個例子。