八百歲的《計算書》

台師大學數學系 洪萬生教授

        初版問世於1202年的斐波那契 (Fibonacci) 經典作品《計算書》(Liber Abaci ) 已經八百歲了。今年，除了義大利的數學史家為了它舉辦一個紀念研討會之外，最有價值的慶祝方式，莫過於本書英文譯本的出版：Laurence E. Sigler的 Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonaardo Pisano’s Book of Calculation。本書的及時現身，誠然是國際數學史界的一大盛事，因為它讓我們得以『貼近』這一珍貴的數學典籍。L.E. Sigler最近辭世，不及見到本書誕生，或許不無遺憾。然而，他在1987年也曾出版斐波那契的《論平方數之書》(The Book of Squares) 英譯，對於我們具體還原十三世紀西歐數學史，卻早已是不可或缺的憑藉了。

        本書的名銜，一直都被誤解為討論『算盤』的書籍。誠然，它直譯成英文，就是 “Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的『算盤書』了。不過，由於 “abacus” 的前身 “abaci” 在十三世紀拉丁世界中『很弔詭地』是指不利用算盤的一種計算方法。這可以解釋何以當時的 “maestro d’abbaco” 是指直接利用印度數碼而非算盤來從事計算的師傅。從而，在十三世紀之後的義大利各個商港城邦內，“school of abaco” 也就專門傳授這種計算技藝了。因此，Sigler建議本書的書名應該譯成『計算書』(Book of Calculation) 才是。其實，這是一本介紹印度 - 阿拉伯數碼及其利用筆算的演算法則 (algorithm)，其中根本看不到算盤之類的計算器。請徵之於本書第一章開宗明義的頭兩句話：

九個印度數字為：9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。就像下文將要演示的，任意數目都可以利用這些，以及阿拉伯人稱作 “zephr” 的記號 0，寫出來。

還有，如果讀者有機會細按本書內容，就可以得知它是一部有關十三世紀算術、代數與解題的百科全書。它在十三世紀西歐數學史上的意義，遠遠地超過所謂『斐波那契數列』 (Fibonacci sequence) 之盛名。後者在數學普及書籍中的廣為傳頌，雖然讓斐波那契得以聲名大噪，但是，相形之下，缺乏本書的映照，十三世紀的西歐數學面貌，卻始終藏在長夜漫漫的中世紀世界之中，無法現身以便提醒我們它與近代（十六、七世紀）西方數學的連結。

        有關斐波那契及其著作如《論平方數之書》(The Book of Squares) 及本書，本刊曾在第四卷第一期、第四卷第四期，總共刊載了三篇文章分別是：拙文〈當斐波那契碰到孫子〉、蘇意雯的〈除了兔子之外－談斐波那契〉與葉吉海的〈斐波那契的數論研究〉。在第一篇中，我試圖以『一次同餘組』vs.『物不知數題』為例，說明數學文化交流中的優先權論述之複雜性。後兩篇則是『數學史文本討論班』的具體成果，那是我們好好地讀了《論平方數之書》之後，所提供的簡短報告。至於我們對他的生平的有限資訊，就請前述蘇意雯或葉吉海的文章吧！

        為了讓大家對本書內容有一個初步的印象，我們將他的目錄轉述如下，供讀者參考。至於比較細緻的內容介紹，則只有留待他日了。

1.      這裡開始第一章 (Here Begins the First Chapter)

2.      論整數之乘法 (On the Multiplication 0f Whole Numbers)

3.      論整數之加法 (On the Addition of Whole Numbers)

4.      論從大數減去小數 (On the Subtraction of Lesser Numbers from Greater Numbers)

5.      論整數之除法 (On the Divisions of Integral Numbers)

6.      論整數與分數之乘法 (On the Multiplication of Integral Numbers with Fractions)

7.      論數目與分數加、減、除以及化簡分數成為單位分數 (On the Addition and Subtraction and Division Of Numbers with Fractions and the Reduction of Several Parts to a Single Part)

8.      論利用主要方法（按即比例法）尋找商品的價值 (On Finding The Value of Merchandise by the Principal Method)

9.      論商品與類似物件的交換 (On the Barter of Merchandise and Similar Things)

10.  論公司及其股東 (On Companies and Their Members)

11.  論貨幣之成色 (On the Alloying of Monies)

12.  這裡開始第十二章 (Here Begins Chapter Twelve)

13.  論Elchataym 法以及如何利用它解決幾乎所有的數學問題 (On the Method of Elchataym and How with It Nearly All Problems of Mathematics Are Solved)

14.  論平方、立方根的求法以及它們的乘、除、減，論二項式、Apotomes及其根的處理 (On Finding Square and Cubic Roots, and on the Multiplication, Division, and Subtraction of Them, and On the Treatment of Binomials and Apotomes and their Roots)

15.  論相關的幾何法則、代數與Almuchabala的問題 (On Pertinent Geometrical Rules And on Problems of Algebra and Almuchabala)

參考文獻：

李文林 (2000).《數學珍寶》，台北：九章出版社。

洪萬生 (2001).〈當斐波那契碰到孫子〉，《HPM通訊》4(4): 1-2。

葉吉海 (2001).〈斐波那契的數論研究〉，《HPM通訊》4(4): 6-9。

蘇意雯 (2001).〈除了兔子之外－談斐波那契〉，《HPM通訊》4(1): 4-5。

Sigler, L. E. tr. (1987). The Book of Squares. New York: Academic Press, Inc.

Sigler, L. E. tr. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. New York / Berlin / Heidelberg: Springer-Verlag.