韓國數學文本《九章術解》卷一校勘

中山女中 蘇俊鴻老師

第一節 導論

綜觀韓國南秉吉 (1820-1869) 的《九章術解》全書，可以將它視為中國《九章算術》的註解。卷一的方田章共有三十八個問題，完全依照《九章算術》原有的排列順序，而未有任何變動。按題目的內容來看，大致可分成面積問題與分數的四則運算兩大類。在面積問題方面，討論的是方田 (長方形)、圭田 (三角形)、邪田 (直角梯形)、箕田 (梯形)、圓田 (圓形)、宛田 (球冠形)、¹弧田 (半圓形) 及 環田 (環形) 等形狀的面積計算；而分數計算的部份則有約分、合分 (加法)、減分 (減法)、平分 (分數的平均數)、經分 (除法) 及乘分 (乘法) 等。

如此一來，不免引發我們對他寫作《九章術解》動機的好奇。此外，對比《九章算術》原有的劉徽注，我們也可以進一步考察南秉吉在不同的文化脈胳下，對於《九章算術》的解讀與注釋所蘊涵的意義。以下，筆者將針對《九章術解》卷一的方田章進行分析。

第二節 底本的探討

在中國，《九章算術》曾經佚失，直到乾隆三十八年，編纂《四庫全書》時，由戴震輯錄校勘出《九章算術》等七部漢唐算經。據近代數學史家的研究，戴震在輯錄過程，有著不少的錯訛、誤校，甚至冒充原文的情形。²由於《九章算術》一書傳入朝鮮極早，也是算學科必讀之一，因此，南秉吉在《九章術解》所採用的《九章算術》底本，或許可能為戴震輯錄之前的版本。

為了解決此一關於底本的問題，我們儘可能搜羅現存《九章算術》的版本來作一比較，其中包括有：南宋鮑澣之的《九章算術》刻本、戴震校的武英殿聚珍版《九章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻的微波榭本《九章算術》以及李潢著《九章算術細草圖說》（1820）五種。（以下各書分別簡稱為南宋本、聚珍本、四庫本、微波謝本與李潢本）。就卷一的內容比對，僅有幾處有文字差異，表列如下：

由上表可知，並沒有出現直接性的証據，可以看出《九章術解》與哪一個版本相近。但是，筆者在術文註解比對的過程，卻發現一項間接性的可能，那就是：南秉吉在『平分術』的註解上，所使用的文句形式與戴震〈《九章算術》卷一訂訛補圖〉對平分術補充的內容雷同，而上述五個版本中，只有微波謝本收入戴震的訂訛補圖。

 第三節 南秉吉註解的風格與特色

由書名《九章術解》就可以看出南秉吉寫作此書的方式。他保留了《九章算術》中各卷的問題及術文，但卻刪除劉徽及李淳風的註解，而對每條術文提出他自己的解釋。不過，在仔細察考各卷的註解後，我們發現南秉吉所使用的數學知識以《數理精蘊》為主，劉徽與李淳風的註解為輔。⁴以下，筆者就卷一的內容來討論南秉吉註解的風貌，如上文所述卷一概分為面積問題與分數運算兩部份。首先由分數運算談起。

以合分術為例，《九章算術》中李淳風對術文名稱的說明是：

合分臣淳風按：合分知，數非一端，分無定準，諸分子雜互，群母參差，粗細既殊，理難從一。故齊其眾分，同其群母，令可相并。⁵

南秉吉的說明顯得簡潔許多：

合分合分者，兩分子相加也。若有兩分母不同，則用互乘法，以所得兩分子相加也。⁶

我們不難看出南秉吉是利用當時他所掌握的西方數學知識，重新對『合分術』這個名詞予以解讀，此種對比散見於《九章術解》全書，⁷這在術文的註解上也可以看出。以『合分術』的術文為例：

術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法。此法用互乘以齊其分也，兩分母相乘為共母數者。因兩分母不同，難以相加，故兩分母俱變為共母也。前分母乘後分子；後分母乘前分子，相加為共子數者。……實如法而一，不滿法者，以法命之。……其母同者，直相之。兩分母同者，即併兩分子為得數。若相加之數大於母數，則於所得數內減去母數為一整數也。或有三種者，兩分母相乘後，所得之數與所餘之分母相同，則直與相加，不必用互乘法也。⁸

如果將此段註解與《數理精蘊》下編卷二討論分數加法的敘述相比較，在文句內容上大體是一樣的。⁹不止於此，在分數運算(加、減、乘、除)上，各術文的註解幾乎是《數理精蘊》下編卷二的謄抄。¹⁰再推敲術文的解釋，我們也發現南秉吉著重在分數加法機械性的操作；他主要對分數的加法賦予程序性的說明，並在細節上加以提醒 (分母相同或不同)。這樣的進路，卻反而造成南秉吉忽視劉徽的註解對術文內在蘊涵的算理討論。¹¹例如，劉徽在『合分術』的註解中，強調了分數在進行運算時狀態的變化之重大意義：

凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊，勢不失本數也。……乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之網紀乎。¹²

這樣的差異性在分數運算的各術文上都相同，不再贅述。接著下來，讓我們來看看關於面積公式的部份。

與劉徽相同，南秉吉在圭田、邪田及箕田等圖形的註解上，也採取了『以盈補虛』的說法。但對於『圓田術』的註解，就非常引人側目。南秉吉特別在卷一的末尾，收錄〈圓面積圖說〉一文 (書影見圖一)，足見他對圓面積公式的重視。全文重

 點在於論証圓面積會與一個大邊為圓的周長 (周界)，小邊為圓的半徑 (幅線) 的直角三角形的面積相等。為什麼呢？如圖一，將圓作幅射形切開成若干的小三角形(扇形)，作直線排列。會發現小三角形(扇形)的中垂線(即半徑)恰與直角三角形丙丁戊的小邊相等。接著，他証明直角三角形的大邊與圓的周長相等：

圓周界曲線也；等邊眾界形之界度直線也。……如以圓之內外，各設多邊眾界形，分為千萬邊，則逼圓界，最近將合而為一。¹³

南秉吉利用圓的內接與外切的正多邊形，若分割足夠多邊數的正多邊形時，會與圓周相當地密合，因此，直角三角形的大邊與圓的周長會相等。¹⁴

經過比對，筆者發現南秉吉的〈圓面積圖說〉一文，幾乎與《數理精蘊》上編卷二第二十二條圓面積公式的論述一致 (見圖二)。但與劉徽關於『圓田術』的註解相較來說，兩者是不同的。首先，劉徽是利用「圓出於方」的想法，由正方形面積來証明圓面積公式，並說明π=3是圓內接正六邊形的近似值。再者，劉徽只利用圓的內接正多邊形來逼近圓周。此外，劉徽更利用他的論証方法，取一直徑為2尺的圓，由圓內接正六邊形出發，分割成圓內接正十二邊形，求出邊長，再反覆程序，直到分割出圓內接正一百九十二邊形為止，求出π的近似值157/500。¹⁵劉徽更在圓田術後的『又術』重新利用求出π的近似值。¹⁶有趣的是，南秉吉雖在他的『圓田術』的註解中，說明各家所求π的近似值 (祖沖之、劉徽等)，但對在『又術』中，卻未給出更精密的近似值。

除了『圓田術』外，另一個值得注意的是『弧田術』的註解。劉徽認為『弧田術』的公式過於粗疏，也提出了他的精密逼近值之求法。¹⁷南秉吉沒指出錯誤，倒給了一個挺特別的註解，請參考下文的現代符號『翻譯』：

因為弧田是半圓形，所以，弧田面積＝1/2圓面積。又當π=3時，

圓面積＝3/4 (圓徑)²，(圓徑)²＝4(半徑)²，從而

圓面積＝3(半徑)²。

由此，可導出：當『弧＝圓徑＝2半徑；矢＝半徑』時

                                       弧田面積 ＝ 3/2 (半徑)² ＝1/2 (弧矢＋矢²)。 

可見，南秉吉是以π=3的情形，來註解弧田面積。

第四節 南秉吉註解的評價

由上節的論述，我們可以看出南秉吉在《九章術解》卷一呈現兩個特點：(1)為註解而註解；(2)以西方數學知識為註解的主要工具。就第一點來說，南秉吉在《九章術解》所著重的，是將各條術文解釋清楚。以弧田術為例，公式本身僅成立在π=3的特殊情形，並非正確的公式，南秉吉似乎未能察覺此點，給出一個能自圓其說的註解。此外，在術文的註解上，也不像劉徽會建立出一套理論架構，例如，在面積公式的註解上，劉徽對各個形狀面積公式有明顯的邏輯關係，用『以盈補虛』的概念加以貫穿。而南秉吉則是部分用劉徽的方法、部份用《數理精蘊》的方法。所以如此，當然與南秉吉註解時採取的態度有關，這正是第二點所要討論的。

南秉吉深受《數理精蘊》的影響無庸置疑，在註解每條術文時，南秉吉曾先找尋與《數理精蘊》是否互相對應的內容。若果肯定的話，他多半直接採擷相關內容，連文句用字都大同小異，圓面積圖說便是一例，也見於分數運算的術文註解上。不然，就會使用劉徽的註解，如圭田、邪田等面積公式；或是像平分術的註解，則採用戴震的說法。原本南秉吉利用《數理精蘊》的數學知識來詮釋《九章算術》的各條術文，值得史家至億。不過，由卷一的內容看來，除了將相關的題材騰抄當成註解外，卻不見南秉吉個人的創見或是心得。例如，圓田術選擇用《數理精蘊》內容來作為註解，它與劉徽的圓田術的優劣比較付之闕如，不免讓人懷疑南秉吉的數學素養。這個懷疑也在南秉吉對某些名詞定義上，掌握得不是很好可以看出。在『經分術』的定義上，南秉吉寫道

經分者，即零分除零分也。

零分在《數理精蘊》中係指真分數而言，但此處的除法運算並不限於真分數。另一個例子，則是在『環田術』上，經比對《九章術解》有一大段的術文被刪去，據筆者的推測，可能南秉吉誤為是劉徽的註解，而將之刪除。¹⁸

總括來說，南秉吉企圖利用《數理精蘊》的數學知識重新註解《九章算術》的用心，值得我們肯定，例如分數運算的註解上，筆者就認為對初學者而言，南秉吉(或是《數理精蘊》)的說明顯得簡單，容易上手。但在消融《九章算術》本身的數學知識與《數理精蘊》的數學知識上，顯得有些力有未逮。以上是筆者針對《九章術解》卷一內容校勘、解讀所得的粗略看法，仍待其他各卷的分析後，才能有更加完整且全面呈現《九章術解》的真實風貌。

註解：

1.      宛田是什麼形狀？自清朝李潢《九章算術細草圖說》解釋成球冠形後，後繼學者多以此為圭臬。直到近來才有學者提出不同的看法，如李繼閔便認為宛田是『圓田』將其它『中央隆高』而成，形狀應如土堆、丘陵或墓冢之類。因此在《九章算術》方田章中，宛田術列於圓田術之後，便是認為此兩種形狀相近之故。請參閱李繼閔《《九章算術》及其劉徽注研究》（台北：九章出版社，1993），頁277-285。

2.      對於《九章算術》的版本問題可參見郭書春，《九章算術譯注》（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁38-45。

3.      但此題的答案，《九章術解》不正確。

4.      朝鮮在正祖時期 (1777~1800)，李承壎曾帶回《幾何原本》與《數理精蘊》，因此，南秉吉熟知《數理精蘊》的可能性極大。見李儼〈從中國算學史上看中朝交流文化〉一文，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》（瀋陽：遼寧教育出版社，1998）第八卷，頁562-563。

5.      引自郭書春，《九章算術譯注》，頁203。

6.      引自南秉吉，《九章術解》，頁263。

7.      這樣的論述態度在南秉吉其他數學著作也可以看見，如《無異解》一書。參見洪萬生(2000)〈《無異解》中的三案初探：一個HPM的觀點〉一文，收入《科學教育學刊》第八卷第三期 (2000)，頁215-224。

8.      引自南秉吉，《九章術解》，頁263-264。

9.      參見清˙康熙御制，《數理精蘊》（收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊，鄭州：河南教育出版社，1994），頁209-212。

10.  唯一的例外是『平分術』的註解，可能是在《數理精蘊》中找不到相對應的章節。據筆者比對的結果，南秉吉可能是用了戴震〈《九章算術》卷一訂訛補圖〉的內容，收於《九章算術》，孔繼涵《微波榭叢書》的版本。

11.  關於劉徽的數學體系，可參閱郭書春，《古代世界數學泰斗—劉徽》（台北：明文書局，1994），頁301-322。

12.  引自郭書春，《九章算術譯注》，頁203頁。

13.  引自南秉吉，《九章術解》，頁282。

14.  圓面積等於一特殊直角三角形的面積的觀點，最早是阿基米德對於圓面積公式証明所採取的策略。此處論述並不夠嚴密，可參閱阿基米德在《論圓的測量》(On the Measurement of the Circle)書中對圓面積公式的証明。事實上，阿基米德也求出π的近似值。文本可見Ronald Calinger (ed.), Classics of Mathematics（Englewood Cliffs, New Jersey, 1995）, pp.137-141.

15.  參見郭書春，《古代世界數學泰斗—劉徽》，頁234-242。

16.  《九章算術》在『圓田術』中，也有二個近似公式，都是π=3時成立。分別是『徑自相乘三之四而一』及『周自相乘十二而一』。

17.  參見郭書春，《古代世界數學泰斗—劉徽》，頁243-247。

18.  被刪去的術文為：『密率術曰：置中、外周步數，分母、分子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為密實。分母相乘為法，除之為積步，餘，積步之分。以畝法除之，即畝數也。』