《九章術解》卷二校勘

 土城中正國中　陳鳳珠老師

              第一節        導論

《九章術解》是南秉吉針對中國重要數學著作《九章算術》所作的注解。該書內容包括《九章算術》各卷術文與南秉吉的注文。因此，在深入探討南秉吉於《九章術解》卷二〈粟米〉的注解之前，我們有必要先對《九章算術》卷二的內容有初步的了解。

該卷介紹各種比例算法，共五種，¹有46個例題。正如劉徽道：「以御交質變易」，亦即是處理物價貴賤、賜予穀物及繳納稅賦等等的問題。²值得注意的是，該卷所提出用來解決由今有物的數量，以及今有物與所求物的比率，求所求物的數量之正比例算法—「今有術」：

所求數＝（所有數 ×所求率）/ 所有率

亦即：它等價於印度的「三率法」與《數理精蘊》中的「四率比例」。³南秉吉正是利用「四率比例」來注解「今有術」，並且引用部分《數理精蘊》的內容。此外，《九章術解》還介紹用來解決以固定錢數，買定量且價錢不同的物品之算法 --「其率術」與「反其率術」。不過，劉徽和李淳風的注文，卻成為南秉吉理解這兩種算法的主要依據（見第三節）。

接著，本文將根據《九章術解》的內容，分別針對南秉吉所可能參考的《九章算術》底本、南秉吉注解的特色及其評價，作深入的分析與探討。

第二節           底本的探討

既然我們要探討南秉吉對《九章算術》術文所作的注解及其特色，自然我們有必要對他所參考的《九章算術》之可能底本作進一步的分析。下表是《九章術解》卷二〈粟米〉中的術文與《九章算術》相關算書所作的比較，以釐清南秉吉所可能依據的《九章算術》底本，其中包括有南宋鮑澣之刻的《九章算術》、戴震校的武英殿聚珍版《九章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻的微波榭本《九章算術》、李潢著《九章算術細草圖說》（1820），⁴共五種（以下各書分別簡稱為南宋本、聚珍本、四庫本、微波謝本與李潢本）：

由上表可知，《九章術解》與《九章算術》各版本、相關算書的關係如下：

（一）《九章術解》中「粟米之法」的列位方式，與微波謝本、李潢本同為兩術列成一行，武英殿聚珍版與文淵閣四庫本則均將之列成一行。

（二）在《九章算術》第23題術曰：「以御米求粟五十之二十一而一」之後，武英殿聚珍版與文淵閣四庫本皆加注「案原本作二十二而一今改正」；《九章術解》與微波榭本、李潢本則均無。

（三）《九章術解》中的第34題答曰：「一斗三百四十五錢五百三分錢之一十五」，與微波榭本、李潢本相同，然而，武英殿聚珍版與文淵閣四庫本卻訛作「一斗三百四十五錢五百二分錢之一十五」。

（四）《九章術解》與微波榭本、李潢本相同，第37題中皆記有「經率術曰」，並且均載劉徽注「此術猶經分」。

總的來說，南秉吉著《九章術解》所根據的底本與微波榭本、李潢本最為相近。不過，從《九章術解》的第22題術曰：「以糲米求粟二十五之十三而一 三當作二」，我們可以發現，南秉吉著《九章術解》所根據的底本，此題術文應為「二十五之十三」，而上述版本中僅有孔刻本符合。因此，根據《九章術解》與上述各版本卷二內容的比較，可以得知，《九章術解》的底本與孔刻本最為接近。

第三節          南秉吉注解的特色

南秉吉注解《九章算術》卷二〈粟米〉的特色之一，就是以「四率比例」來注解「今有術」及其相關的問題。特別的是，南秉吉《九章術解》關於「今有術」的注文與《數理精蘊》的相當接近，兩者的關聯可於見下表：

由此可知，南秉吉注解《九章算術》卷二「今有術」的主要參考依據應該是《數理精蘊》。同時，相較於於《九章算術》的「今有術」，他對於《數理精蘊》的「四率比例」應該是更為熟悉才是。此外，南秉吉對於劉徽與李淳風所作「今有術」與「經率術」的相關注解，也少有著墨，僅有在注解「經率術」時，引用了劉徽注文：「此術猶經分」，所以，劉徽與李淳風兩人關於「今有術」的注解，並不是南秉吉理解的主要依據，自然也就甚少出現在《九章術解》卷二的注文中。

然而，劉徽與李淳風兩人關於《九章算術》卷二的注解，在《九章術解》中是否完全看不到？答案是否定的。其實，南秉吉在注解《九章算術》卷二中的「其率術」與「反其率術」時，反而是將劉徽與李淳風的注解作為主要的參考，並引用了兩人部分注文。舉例來說吧，南秉吉在注解「其率術」術曰時，就引述劉徽的注文：

實餘之數，即是貴者之數，故曰實貴。⁶

此外，南秉吉注解「其率術」術曰：

以貴者減法，則其餘為賤者之數，故曰法賤。⁷

也與劉徽的注文：「今以貴者減之，則其餘悉是賤者之數，故曰法賤也」相仿；⁸還有，南秉吉關於「反其率術」的注解：

其率者，錢多物少，以物為法、錢為實；反其率者，錢少物多，以錢為法、物為實，與其率相反，故曰反其率也。⁹

其中的每一字句，也均出自李淳風的注文，並且僅是排列順序不同而已。¹⁰另一方面，南秉吉在注解「其率術」與「反其率術」時，分別所引述的例子：「如四十八箇、箇價七錢；三十箇、箇價八錢」與「以錢六百除羽二千一百，得三實餘二百四十，是謂三翭復可增一翭」，¹¹也與劉徽的注文相同。由此可見，南秉吉在注解「其率術」與「反其率術」時，是相當倚重劉徽與李淳風兩人的注文，同時，兩人的注文也應該是南秉吉理解「其率術」與「反其率術」的主要依據。

總之，南秉吉注解「今有術」與「其率術」、「反其率術」的參考依據，是截然不同的。他以《數理精蘊》的「四率比例」去注解《九章算術》的「今有術」，從而，《數理精蘊》的相關論述，自然也是南秉吉的主要依據。不過，劉徽與李淳風的注文，卻是他理解「其率術」與「反其率術」的重要依據，這或許是因為南秉吉並沒有在他所熟悉的算書（包括《數理精蘊》）中，找到與「其率術」、「反其率術」相通的數學知識吧。

總的來說，南秉吉注解《九章算術》卷二內容的特色，我們可以歸納為以下兩點：

（一） 倚重《數理精蘊》中熟悉的數學知識。譬如，他以《數理精蘊》中的「四率比例」去注解《九章算術》卷二的「今有術」與「經率術」。

（二）當他無法利用熟悉且相通的數學知識去理解《九章算術》卷二內容時，則回歸至劉徽與李淳風的注解內容。例如關於「其率術」與「反其率術」，南秉吉即是利用劉徽與李淳風的注文，作為理解與注釋兩術的依據。

第四節          南秉吉注解的評價

如前一節所述，南秉吉利用《數理精蘊》的「四率比例」，去注解《九章算術》卷二的「今有術」與「經率術」。另外，他卻以劉徽與李淳風的注文，作為理解「其率術」與「反其率術」的重要依據。因此，南秉吉如何去協調中西法之間的異同，自然是我們評價他注解《九章算術》卷二的重點。

大致而言，南秉吉將中法「今有術」與西法「四率比例」兩算法，作了詳盡的說明與聯結。一開始，他就十分強調兩算法之間的關聯，譬如「今有術」注：

此異乘同除亦即四率比例。¹²

以及「術曰」：

以所有數即二率乘所求率即三率為實，以所有率即一率為法，實如法而一一者即今有之四率也，以一率與二率之比，即如三率與四率之比。¹³

另外，他在第一題術曰之後，也再次說明兩算法之間的關聯：

以粟率五為所有率，即一率也；今粟一斗為所有數，即二率也；糲米率三為所求率，即三率也；糲米六升為今有數，即四率也。¹⁴

換言之，南秉吉的注解策略，是讓讀者透過西法的「四率比例」去理解中法的「今有術」，這同時也顯示出南秉吉自己的認知情面向

然而，因為南秉吉在注解《九章算術》卷二的內容，所根據的數學知識體系並不相同的，難免出現前後不一致的說法。譬如，他在注解「經率術」說道：

此術猶經分。經分，即以零分乘零分者也。¹⁵

這句話在算理上明顯出現不一致。前一句「此術猶經分」是引用劉徽的注文，¹⁶意即「經率術」如同「經分術」，「經分」就是分割一個分數，被除數是分數的除法；不過，後一句「經分，即以零分乘零分者也」則是利用《數理精蘊》的「零分」來注解「經分」，「零分」意指真分數，「零分乘零分」即是真分數的乘法，¹⁷這顯然與「此術猶經分」矛盾。換句話說，南秉吉在注解《九章算術》卷二時，未能兼顧各卷算理間的關聯，這是十分可惜的。

總的來說，南秉吉能夠充分理解《九章算術》卷二的各個算則，同時，在個別算法與算題的注釋工作也頗為稱職。不過，他卻忽略在各卷內容之間的一致性。若將之與劉徽的注文相較，南秉吉比較重視算法的交代與說明，主要幫助讀者學會利用算法去解題，解題方法是主要的重點，正好與書名中的「術解」作呼應，主要完成解讀術文的工作而已。相反地，劉徽則是著重於一般性原理的說明、算則應用的提示，¹⁸並且分析各種數學概念、方法、命題之間的關係之分析。¹⁹不過，我們必須指出：由於兩人的注解《九章算術》的目的不同，自然在注解策略與方法有明顯差異，因此，若要給予南秉吉《九章術解》適當的評價，那麼，他著書的目的當然是重要的參考依據。以上僅是筆者個人針對《九章術解》卷二內容分析而得的粗略看法。

註解：

1. 亦即今有術、經率二術、其率術、反其率術。

2. 參見郭書春，《九章算術譯注》（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁80。

3. 參見郭書春，《古代世界數學泰斗—劉徽》（台北：明文出版社，1995），頁13。

4. 各算書分別如下—

      南秉吉，《九章術解》，收入金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系˙數學篇(6)》，漢城：驪江出版社，1985。

      南宋˙楊輝，《詳解九章算法》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出版社，1993。

      魏˙劉徽著、唐˙李淳風釋，武英殿本《九章算術》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出
      版社，1993。

      魏˙劉徽著、唐˙李淳風釋，《九章算術》，收入文淵閣《四庫全書》（1781）。

      魏˙劉徽著、唐˙李淳風釋，《九章算術》，收入孔繼涵《微波榭叢書》（1773）。

      清˙李潢，《九章算術細草圖說》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993。

5. 引自清˙康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊，鄭州：河南教育出版社，1993。

6. 參見南秉吉，《九章術解》頁304與郭書春，《九章算術譯注》，頁244。

7. 引自南秉吉，《九章術解》頁304。

8. 引自郭書春，《九章算術譯注》，頁244。

9. 引自南秉吉，《九章術解》，頁305。

10. 參見郭書春，《九章算術譯注》，頁245。

11. 引自南秉吉，《九章術解》，頁304與306。

12. 引自南秉吉，《九章術解》，頁286。

13. 同上。

14. 引自南秉吉，《九章術解》，頁287。

15. 引自南秉吉，《九章術解》，頁300。

16. 參見郭書春，《九章算術譯注》，頁242。

16. 參見清˙康熙御制，《數理精蘊》（收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊，鄭州：河南教育出版社，1993），頁216。

18. 參見郭書春，〈九章算術》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁一79-93。

19. 參見郭書春，《古代世界數學泰斗—劉徽》，頁136。