《赤水遺珍》初探

桃園縣立青溪國中 王文珮老師

                     一、           前言

《赤水遺珍》由清梅瑴成（1681-1763）所著，收錄於《梅氏叢書輯要》第六十一卷。《梅氏叢書輯要》共有六十二卷，由梅瑴成集其祖父梅文鼎（1633-1721）著作的輯錄，在1761年由梅氏家族成員共同編輯完成，例如梅瑴成之子鈁及女婿胡驊先也都參與校錄的工作。《梅氏叢書輯要》的內容有天文、數學共二十五種，而梅文鼎的數學著作有十三種，其中最末兩卷《赤水遺珍》及《操縵巵言》則是梅瑴成自己的作品。

《赤水遺珍》包含了天文及數學兩方面的知識，其中校勘了一些古籍的錯誤，也介紹西法傳入的天文、數學知識，並對「天元一即借根方解」作出重要註腳，其中策略則是選錄失傳多時的天元術所解的宋元數學問題，改以新近傳來的「借根方法」解之。

二、內容說明

本書首先是針對「方田度里」，更正王制註疏中的錯誤。將測量單位變小時，所測之實際數值與之成反比的概念，利用三率法求出相對的面積及長度，並給出正確的數值。

而「測北極出地簡法」一題中，則利用測量某一恆星在一段時間內（三十刻）所移動的角度（七十度），以求得北極距離地平面的高度：

設至一處不知節候。惟測一恆星，自出地平至正午，歷三十刻，其高七十度。求北極高。

題目中所觀測的恆星自「卯」至「甲」共費時三十刻，所行之角度為70^o，欲求北極距離地平面的高度（即辛寅的度數）為何？根據以上文本中的附圖，我們將梅瑴成的作法整理如下：

                                                     1.        ∠戊辛丁＝∠甲辛丁＝30刻＝112^o30’

        2.          戊丁＝大矢（∠戊辛丁）＝大矢（112^o30’）＝1＋正矢（22^o30’）＝1＋0.38268

＝1.38268

         3.          丁己＝大矢（∠丁辛己）＝1－正矢（22^o30’）＝0.61732

         4.          甲丑＝正矢（甲乙）＝正矢（70^o）＝0.93969

         5.          ∵△甲卯丑∼△子卯庚

得      

∴ 子庚＝0.41953，查表得：寅庚＝24^o48’17”

寅癸＝寅庚－癸庚＝24^o48’17”－ 20^o＝4^o48’17”

6.          辛壬＝ 壬辛癸＝ （壬寅＋寅癸）＝ （90^o＋4^o48’17”）＝47^o24’8”

∴辛寅＝90^o －辛壬＝43^o35’52”

接下來談的，是「三角法用外角切線解」，已知條件為：「如甲乙丙三角形，有甲乙邊，有乙丙邊，有乙角。」欲求甲、丙兩角的度數。作法如下：

              1.        以乙為圓心，乙丙為半徑作半圓，得乙丙＝乙戊＝乙丁。
             故甲戊＝甲乙＋乙丙，甲丁＝甲乙－乙丙

             2.        作 丙丁＝丙乙，則∠乙丁丙＝∠乙丙丁
            ＝ （180^o－∠乙）＝半外角

             3.        作 甲已 平行 丁丙，得直角△戊丁丙∼直角△戊甲已（句股形）

且 ∠已甲戊＝∠乙丁丙＝半外角。

並令∠己甲丙＝∠甲丙丁＝半較角

4.        以甲為圓心，甲已為半徑畫弧，得甲庚＝甲己，

則已戊為∠已甲戊之切線，已丙為∠已甲丙之切線，

∵甲戊：甲丁＝已戊：已丙

∴甲戊：甲丁＝半外角之切線：已丙

得第四率已丙，查表可得∠已甲丙之度數。

5.        故∠甲＝∠已甲戊－∠已甲丙＝半外角－半較角

∠丙＝∠已甲戊＋∠甲丙丁＝半外角＋半較角

本題若以現行中學數學的角度觀之，則多利用「餘弦定理」的代數方法求解，在此，則以幾何作圖的思維為主軸，亦不失為多元解題提供另一面向的思考方式。

相對於上一題平面三角的問題，接下來在「弧三角形三邊求角」題中，梅瑴成特別註明乃因「友人見示，云西士所授而不知其用法故，特為解之。」本題已知弧三角中的兩邊及其夾角，欲求另兩角。（下圖已更正文本中代碼之誤。）

                1.          令甲庚＝甲丁＝甲乙，且甲乙為甲乙丙弧三角形中最大的邊。

                2.          ∵正弦（甲乙）＝正弦（甲丁）＝丁乾

     正弦（甲丙）＝丙癸

且丙辛＝丙乙，故正弦（丙乙）＝正弦（丙辛）＝辛戊

               3.          令「已」為庚甲丙辛的中點，

則總弧＝甲乙＋乙丙＋丙甲＝庚甲丙辛，半總＝已辛＝甲已

               4.          正弦（小邊較弧）＝正弦（甲已－甲丙）＝正弦（丙已）＝丙亥

正弦（大邊較弧）＝正弦（甲已－甲乙）＝正弦（甲已－甲丁）

       ＝正弦（丁已）＝丁子

               5.          令申丙弧＝∠甲，故正弦（∠甲）＝正弦（申丙）＝申未

                6.          取「戊」為申酉之中點，

故正弦（ ∠甲）＝正弦（戊酉）＝戊辰＝卯辰

                7.          ∵△癸丙亥∼△丁子壬

∴（丙癸）：（丙亥）＝（丁子）：（丁壬）

（丁乾）：（丁壬）＝（丑酉半徑）：（午酉）

                8.          ∵ 直角△丑辰卯∼直角△辰寅卯

∴（丑卯）：（辰卯）＝（辰卯）：（寅卯）

又 寅卯＝午酉，故 辰卯＝

                9.          正弦（ ∠甲）＝辰卯，查表可得 ∠甲，即得∠甲。

除本法外，梅瑴成在「又法」中提出以下另一算法：

               1.         （丙癸）：（丙亥）＝（丁子）：（丁壬）

正弦（甲丙）：正弦（丙己）＝正弦（丁己）：丁壬

正弦（甲丙）：正弦（小邊較弧）＝正弦（小邊較弧）：丁壬

丁壬＝

               2.         （丁乾）：（丁壬）＝（丑酉）：（午酉）

午酉＝ ＝

              3.         （丑卯）：（辰卯）＝（辰卯）：（寅卯）

辰卯＝

＝

但梅瑴成在「按此法」中表示，以上需要「三次疊乘，其數繁重」，反而「不如前法為簡」，他喻其為「欲示人以繡出之鴛鴦，而藏其金針耳。」

在本書的第二個重要內容，是梅瑴成對於「借根方」與「天元一」的對比。在「天元一即借根方解」中梅瑴成提到，他承蒙康熙皇帝授以借根方法後，對於西人稱之「阿爾熱八達」，其原名「東來法」，與「天元一」乃名異而實同，因此，乃呼應西學源自中國的主張：

竊疑天元一之術頗與相似，復取《授時歷草》觀之，乃渙如冰釋，殆名異而實同，非徒曰似之已也。夫元時學士著書，臺官治歷，莫非此物，不知何故，遂失其傳。猶幸遠人慕化，得得故物，東來之名，彼尚不能忘所自。

其後，在「先解借根方法」中說明「借根方」之名：

凡布算先借一根為所求之物，與借衰略相似。借根而并言方法，初人算雖只借根，但根乘根則成平方，根乘平方則成立方，以及屢乘至多乘方。俱所必用，故名之曰借根方法也。

並分別取一次方程及二次方程為例，以借根方解之。在借根方中的加號以「多號」稱之，記為「 」；減號以「少號」稱之，記為「 」；等號以「相等號」稱之，記為「 」。在「加減之，使歸於簡約」化簡等式兩邊的作法，則是相當於現今的「等量加、減法」原理。以第一題的一次方程為例：

設丁乙二人出本經商，獲利均分。丁用過七百兩，乙用過一百兩，則乙之餘銀三倍於丁。問原分銀若干？

以下是借根方與現代符號翻譯的對照：

請注意在「借根方」所使用的等號之長度特別地加長，可視其為天平的作用一般，而等號的兩邊即為天平的兩端。國中教師可引進此一文本於數學課堂上，為初學者強化學習方程式時等號兩邊相等的概念，或許亦有所助益。

接著，梅瑴成分別例舉「授時歷立天元一求矢術」、「餘句餘股求容圓徑」（引自《測圓海鏡》）、「三角形用弦較勾總求中垂線」（引自《四元玉鑑》）、「有弦與積求勾股」（引自《四元玉鑑》）、「圓田截積」（引自《算法統宗》）等題，以借根方法再為之重新解題。

試以其中的「餘句餘股求容圓徑」為例：「或問出西門，南行四百八十步有樹。出北門，東行二百步見之。問城徑幾步？答曰：城徑二百四十步。」利用天元術解之如下：（X為城之半徑）

（480－X）（200－X）         2 X²

X²－680X＋9600                  2 X²

   －X²－680X＋9600        （與左相消）

至於為何（480－X）（200－X）會等於2 X²呢？容筆者簡單證明之：

句圓差 × 股圓差

＝〔a－（a＋b－c）〕〔b－（a＋b－c）〕

＝ab－（a＋b）（a＋b－c）＋（a＋b－c）²

＝ 〔2ab－2（a＋b）（a＋b－c）＋2（a＋b－c）²〕

＝ 〔a²＋2ab＋b²－c²－2（a＋b）（a＋b－c）＋2（a＋b－c）²〕

＝ 〔（a＋b）²－c²－2（a＋b）（a＋b－c）＋2（a＋b－c）²〕

＝ 〔（a＋b＋c）（a＋b－c）－2（a＋b）（a＋b－c）＋2（a＋b－c）²〕

＝ （a＋b－c）〔（a＋b＋c）－2（a＋b）＋2（a＋b－c）〕

＝ （a＋b－c）² ＝ 2r²

梅瑴成認為：「其所謂減天元半徑及天元相乘皆虛數，並非先知半徑實數用以乘減，如顧箬溪之所云者。試以以借根方法求之，其理更明。」在此，他已明白道出當時之不理解天元術的情況，而必須藉由借根方法的協助加以說明。以下是梅瑴成以借根方法重解本題：

本書的第三個部分則是梅瑴成介紹傳教士杜德美的三個無窮級數展開式：

1.          「求圓徑密率捷法」：圓徑求周

πd＝d（3+ ）

2.          「求弦矢捷法」之一：弧背求正弦

r sinα＝a－ （α＝ ）

3.          「求弦矢捷法」之二：弧背求正矢

r versα＝    （α＝ ）

雖然在文中並沒有給出證明，但已能利用各級數求得圓周、弦、矢的近似值。在之後有明安圖、董祐誠、項名達和戴煦等人對此內容作更進一步的研究。

參考資料

李儼、杜石然 (1993).《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社。

洪萬生 (2000).〈數學典籍的一個數學教學的讀法：以《赤水遺珍》為例〉，收入《中國科技史同好》第一卷第二期（2000年7月），頁35-43。

劉鈍 (1997).《大哉言數》，瀋陽：遼寧教育出版社。

林倉億 (2002)《中國清代1723~1820年間的借根方與天元術》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。