無窮vs. 教學123

                                                                                                中山女中實習教師 黃茄峰

在中山女中的講台上上課，頗具挑戰性。通常女校的學生有個非常奇妙的特質：只要一開始她們聽不懂、沒興趣，之後的她們只會每節上課時對老師『磕頭膜拜，崇尚有加』。除非老師再有新的主題、概念，將她們的學習動機再拉回來，幫她們解開身上的枷鎖，否則她們只會不覺得地在數學的監牢裡過一天算一天。動機與學習關聯性之大，在這裡可說是一覽無疑。

因為課程的關係，指導老師採取分配單元的方式讓我進行課程的實習。在本學期第一次段考完後，我接到比較完整的單元『無窮等比級數』。而這部分，我打算用的用一個比較不一樣的方式進行，亦即：想辦法融入一些數學史的東東，再藉此探索學生課堂上的反應，以及課後學習的發展性。

就課程而言，『無窮』對她們來講是一個全新的概念。依照本校學生的特質，如何引起她們的學習，動機變得非常重要。針對這部分的活動的進行，我採取的方式是『提問法』－何謂『無窮』？先介紹名題『無窮旅社』問題，再利用費氏兔子數列說明遞迴關係。

第一堂課，一進教室我就將問題拋出。雖說有些學生還處在半睡半醒之中，不過，很快就被旁邊同學熱烈的討論聲給驚醒，迅速加入討論行列之中。對於我的試探，她們給我的回饋真是琳琅滿目：

『老師 …… 無窮就是無窮阿！』

『無窮 …… 老師我知道，可是我不會講。』

『無窮就是無限多！』

『無窮就是沒有邊界啦！』

……

綜觀這些答案，可知雖說她們對『無窮』不是那麼的熟悉，不過，仍有大略的見解在。逐漸地，她們討論出了『無窮』這個概念的精髓。儘管這個概念跟她們的交集不是百分百，不過，對她們來說卻已經不再陌生了。後來，我使用了引導的方法，將『無限大』給推上檯面，告訴她們『它』就是比任何妳說得出來之數還要大的東西，終於她們臉上的滿足表情告訴我：老師我懂了。懂是懂了，卻花費了我半節課的時間，跟我預期的仍有些差距。然而，這種提問的研討方式，似乎才真正讓學生學得到東西，也確實符合歷代數學家們討論學習的精神吧。

        緊接著，在這項試驗後半節課，我開始將『無窮旅店問題』介紹給她們認識：『現在一旅社，有無窮多間房間，不過都住滿了人。請問如果再來一名客人，是否有辦法安排給他一間空房。假如可以的話，該如何安排呢？』同樣地，這問題再次引起她們高度興趣。我預期她們應該會認為沒辦法安排這位旅客住店，可是她們『一致認為可以』的答案，卻讓我非常驚訝。由此可見，在先前的討論中，『無窮』已經給了她們相當具體的想法。不過，想法歸想法，安排住宿的方式，還是使她們對自己的答案產生懷疑，而認為：『反正有無窮多間房啊，就一定可以空出一間來供新客人居住的，沒有為什麼、又何必特別安排呢？』趁此機會，我開始提點出數學知識該有的規律性、一般性、整體性，說服她們接受、肯定下列想法：『只要將房間編號，然後每個客人依自己房間的號碼往後退一間，即可空出第一間房，給新客人』，再慢慢推演到：『就算再有限個人來，一樣有辦法住得下。』

        由於時間不夠，最後我無法將費氏兔子數列說明遞迴關係呈現出來，有點遺憾。儘管如此，這一節課上下來，給了我非常深刻的體會，那就是：數學是由前人智慧累積的成果，教師在教書時如果有辦法將一觀念的來龍去脈都搞清楚，再呈現給學生們學習；同時，學生們的學習，也能夠藉由教師的提示與講解，而獲得承先啟後的感覺，多少了解古人研究數學的心得。如此一來，我們不但能讓學生更了解數學的重要性，也更明白數學其實很有趣，因而激發學習的更強烈動機。總之，融入歷史的教材多元呈現，引發學生的興致，從而形成了她們的學習動機；動機則帶動了有效率的學習，而有效率的學習會再一次地提起興致，如此交替循環，相信學生們會愈來愈喜歡數學。