中算史中的『張本例』(generic examples)

台師大數學系 洪萬生教授

        最近與研究生一起研讀 Macia Pinto, David Tall的 “Building Formal Mathematics on Visual Imagery: A case study and a theory” (2002) 與 John Mason and David Pimm的 “Generic Examples: Seeing the general in the particular” (1984) 兩篇論文,發現其中有一些論述可以關連到HPM上頭來。事實上,中算史文本中也有很多『張本例』 (generic examples),可供HPM研究者或使用者參考與援用。茲在此列舉一二,聊供談助可也。

        何謂『張本例』?或許我們可以看看如何利用它來證明!如果有人利用下列圖示來『證明』:偶數加偶數等於偶數,那麼,我們就可以說他(她)使用了『張本例』:

●●●       ●●●●          等於    ●●●●●●●   

●●●       ●●●●                   ●●●●●●●

根據英文字典的說明,“generic’ 是 “genus”(『類』或『屬』)的形容詞,意思是某『類』(class) 或『群體』(group) 所共有的(特性)。這樣說來,如果不夠明白,我們不妨『訴諸』權威。上述 Mason 與 Pimm 兩人合寫的論文中,曾引述了希爾伯特 (David Hilbert)的一段『夫子自道』,非常值得在此引述:

假使你想要解題,首先,剝除與此一問題本質 (essential) 無關的任何事物。簡化此一問題,並且盡可能地在不犧牲它的核心 (core) 的情況下將它特殊化 (specialize)。如此一來,它會變得簡單 (simple),盡可能簡單,但卻不會喪失它的任何『精華』(punch),然後,你就可以來解題了。至於所謂的延拓 (generalization),不過是一種你毋需太過勞神的無聊之舉 (triviality)。

在這一段中譯引文中,我刻意地附上原文中(的英文)如 essential,core,specialize,simple, generalization,triviality等等二十世紀數學家修辭用的口頭禪,忠實地保留一點『原味』,希望大家喜歡!不過,Mason 與 Pimm 引述的主要目的是指出:希爾伯特的『進路』(approach) 可以說是在於尋找一個『張本例』,它儘管特殊 (specialization) 但卻談論了一般 (generality)。因此,他們才會在上述論文中的副標題中,強調從特殊性中看到一般性 (Seeing the generality in the particular)。換句話說,對他們來說,「張本例固然是一個真實的例子,但是它卻以被刻意要求成為『承載一般性』的角色來呈現 (A generic example is an actual example, but one presented in such a way as to bring out its intended role as the carrier of the general)。」

        現在,我們就舉中算史上的兩個『張本例』,來說明它們在證明上可以發揮的積極功能。第一例出自三國時代孫吳國的趙爽,他對勾股定理提供了一個非常漂亮的『弦圖』證明,請參考下圖,其中根據三、四、五這三個特殊的數目所作的圖形,就很容易『搖身一變』,而成為勾、股、弦分別是a, b, c的『弦圖』,因此,我們從趙爽的弦圖『特殊性』,很容易看出它的『一般性』來。

        另一個例子,則出自南北朝時代的《孫子算經》。在本書的下卷中有一個『物不知數』題,堪稱是『中國剩餘定理』(Chinese Remainder Theorem) 的起點,茲引述內容如下:

      今有物,不知其數,三、三數之賸二,五、五數之賸三,七、七數之賸二,問物幾何?

           答曰:二十三。

      術曰:三、三數之賸二,置一百四十;五、五數之賸三,置六十三;七、七數之賸二,置三十。併之,得二百二十三,以二百一十減之,即得。凡三、三數之賸一,則置七十;五、五數之賸一,則置二十一;七、七數之賸一,則置十五。一百六以上,以一百五減之,即得。

在本題中,如果我們利用任意三個兩兩互質的除數替代三、五、七,而且餘數也改成任意不相等的三個整數(但分別小於前述的三個除數),那麼,在『術曰』中的『一百四十』、『六十三』、『三十』、『七十』、『二十一』、『十五』等數,也就可以跟著『改寫』成為對應的數,從而得證(一般性)的『中國剩餘定理』了。

        最後,有關『張本例』一詞的敲定,我們必須作一點說明。它也被稱為『啟蒙例』或『構念例』。然而,我們若將 “generic example” 中譯成『張本例』,或許更加貼切傳神,蓋取其『彰顯本質屬性』之義也!我的考慮是基於下列對比: genus vs. species,generic vs. special,generality vs. specialization,請大家批評與指教。

             

 

參考資料:

Mason, John and David Pimm (1984). “Generic Examples: Seeing the general in the particular”, Educational Studies in Mathematics 15: 277-289.

Pinto, Marcia, David Tall (2002). “Building Formal Mathematics on Visul Imagery: A case study and a theory”, For the Learning of Mathematics
       22 (1): 2-10.