vol5no12

《九章術解》卷三校勘

台師大數學系博士班研究生　成功高中　蘇意雯老師

第一節　導論

用比率方法處理應用問題，在《九章算術》中佔有很大的篇幅，卷三「衰分」章也不例外。「衰」是依照一定的標準遞減之意，所謂「衰分」依劉徽注就是「差分」，其意為「衰分」與均分相反，是有差別的分配，即現今所說的「按比例分配」。本卷的題目多為與古代階級社會中，依爵次高低而按不同等級的分配制度有關。在本卷中，由兩個數組成的比率，拓展為多個數的「列衰」。從正比的衰分，演化為反比的「返衰」。劉徽在「衰分術」的注釋中提到三層意思：第一是說明衰分式中「法」與「衰」的關係。其二是說明衰分與今有兩術之關係。其三是說明衰分與均分之關係。¹至於李朝南秉吉撰述《九章術解》在卷三中所採取的註解方式為何？是否與劉徽相同，或是採取不同的進路？這是本文所要討論的重點。但在探討南秉吉註解的風貌之前，我們應先對南秉吉所可能採用的底本，進行研究。

第二節　底本的探討

在本節一開始，首先讓我們對於各文本做一比對工作。在題目順序排列上，文本之間並無不同，至於在各題文字差異上，則有些許不同，我們在此列表如下:

書名題號\名	九章術解	南宋本	聚珍本	四庫本	微波榭本	李潢本
1(術曰)	得一鹿	得一鹿	得一	得一	得一鹿	得一鹿
2(術曰)	得一斗	得一斗	得一	得一	得一斗	得一斗
3(術曰)	得一錢	得一錢	得一	得一	得一錢	得一錢
4(術曰)	得一尺	得一尺	得一	得一	得一尺	得一尺
5三鄉發傜	三鄉發傜	三鄉發傜	三鄉發傜	三鄉發徑	三鄉發傜	三鄉發傜
5(答曰)	北鄉遣一百三十五人	北鄉遣一百三十五人	北鄉遣一百三十五人	北鄉遣一百三十八人	北鄉遣一百三十五人	北鄉遣一百三十五人
5(答曰)	北鄉…… 三十七	北鄉…… 三十七	北鄉…… 三十七	北鄉…… 三十七	北鄉…… 二十七	北鄉…… 二十七
5(答曰)	南鄉……二千一百七十五分人之	南鄉……二千一百七十五分人之	南鄉……二千一百七十五分人之	南鄉……二千二一百七十五分之之	南鄉……二千一百七十五分人之	南鄉……二千一百七十五分人之
5(術曰)	得一人	得一人	得一	得一	得一人	得一人
6(術曰)	以為列衰	以為列衰	以為列衰	以為衰列	以為列衰	以為列衰
6(術曰)	乘未并者	乘未并者	乘未并者	乘末并者	乘未并者	乘未并者
6(術曰)	得一斗	得一斗	得一	得一	得一斗	得一斗
7(術曰)	得一斛	得一斛	得一	得一	得一斛	得一斛
返衰	返衰(7後)	返衰(7後)	返衰(7後)	反衰(8後)	返衰(7後)	返衰(7後)
8(術曰)	得一錢	得一錢	得一	得一	得一錢	得一錢
9(術曰)	得一升	得一升	得一	得一	得一升	得一升
10今有絲	一斤……一千三百二十八	一斤……一千三百二十八	一斤……一千二百二十八	一斥……數為實定二十八	一斤……一千三百二十八	一斤……一千三百二十八
12今有縑	得錢幾何	得錢幾何	得錢幾何	得幾何	得錢幾何	得錢幾何
13今有布	一百二十五	一百二十五	一百二十五	一百五十五	一百二十五	一百二十五
13(術曰)	布尺數乘價錢	布尺數乘價錢	布尺數乘價錢	布尺數為乘錢	布尺數乘價錢	布尺數乘價錢
14今有素	六百二十五	六百二十五	一百二十五	六百二十五	六百二十五	六百二十五
15今與人絲	得縑……今與人絲四十五斤	得縑……今與人縑四十五斤	得縑……今與人絲四十五斤	淂縑……今與人絲四十斤	得縑……今與人絲四十五斤	得縑……今與人絲四十五斤
15(術曰)	以一十四斤……以一十斤 ……兩數為實	以一十四斤……以一十斤 ……兩數為實	以一十四斤……以一十斤 ……兩數為實	一十四斤……以十一斤 ……兩為數實	以一十四斤……以一十斤 ……兩數為實	以一十四斤……以一十斤 ……兩數為實
16問耗幾何	耗七兩	耗七兩	耗七兩	耕七兩	耗七兩	耗七兩
16(術曰)	絲兩數	絲兩數	絲兩數	絲數	絲兩數	絲兩數
18今有田	太半升	太半升	太半升	大半升	太半升	太半升
19(答曰)	二十三	二十三	三十三	三十二	二十三	二十三
19(術曰)	術曰以價錢	術曰以價錢	術曰以價錢	為實實如法	術曰以價錢	術曰以價錢
20今有貸人	今有貸人 ……貸人	今有貸人 ……貸人	今有貸人 ……貸人	今有貨人 ……貨人	今有貸人 ……貸人	今有貸人 ……貸人
20(術曰)	貸錢數 ……得一錢	貸錢數 ……得一錢	貸錢數 ……得一	貨錢數 ……得一	貸錢數 ……得一錢	貸錢數 ……得一錢

在《武英殿聚珍版》和《文淵閣四庫全書》中，以第一題為例，在術曰的最後「各自為實，實如法得一鹿」中的「鹿」字都予刪除。他們所持的理由是「原本作得一鹿，衍鹿字攷古算凡以法除實，得所求之數，多云實如法而一。……篇內有云：實如法得絲數及得銀數、得粟數之類是也。一乃該舉得所求之數為言，此云得一亦該舉得所求數之辭。不知者妄加鹿字，得一鹿便不足該舉與後妄加斗字、錢字、尺字、斛字、升字，作得一斗、得一錢、得一尺、得一斛、得一升者，皆不可通。」因此，此二書應不可能為南秉吉所採之母本。

至於《微波榭本》與李潢的《九章算術細草圖說》，由於前者為後者之母本，所以，兩者與《九章術解》的差別一致，都是在第五題「三鄉發傜」有關北鄉的答案上。《微波榭本》與《九章算術細草圖說》都把答案誤作「北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百二十七」，但《九章術解》則是正確的「北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七」。所以，若南秉吉採《微波榭本》，應該也經過仔細地校勘才是。至於九章算術《南宋版》與《九章術解》則有一字之差，那就是如表列的「今與人縑」和「今與人絲」之別，當然正確應為後者。由於九章算術《南宋版》後幾卷亡佚，究竟此二書有否關連，我們並無法在此置喙。

第三節　南秉吉註解的特色

在上述九章算術《南宋版》、《武英殿聚珍版》、《文淵閣四庫全書》、《微波榭本》、《九章算術細草圖說》等書的「衰分章」中，常可見「此術今有之義」的注。「衰分」本質上仍是今有之術，只不過更為複雜。所謂的「今有術」實際上就是現今所謂的「四項比例算法」。這種算法，在古代印度稱之為「三率法」，此法從印度傳入阿拉伯回教國家，再由阿拉伯人傳到西歐各國，仍舊保持三率法的名義。²因此，在《同文筭指》通編卷一出現了三率準測法第一「數有顯隱必賴顯以徵隱，故列前三率求後一率。先定三率之位，大都取其相準，如貨準、貨錢、準錢之類。凡第三率必與第二率相乘，而以第一率除之，因得第四率為所求。舊名異乘同除。」³

《同文筭指》成書於1613年，是明代李之藻等所編譯，為介紹歐洲筆算的第一部著作。《同文筭指》在中國數學發展史上是為歐洲近代數學傳入我國的開始，對後來的算術有巨大的影響。⁴之後1723年的《數理精蘊》在解題時，更直接採用一率、二率、三率、四率的說法。對照南秉吉的註解，我們不難發現其相似性，在全章中，看不到「今有術」這個名詞，而章末「貸錢問題」中還出現了「此合率比例」的說明。至於詳細的註解，稍後第四節將再為讀者介紹。

事實上，《同文筭指》和《數理精蘊》對韓國數學家有很深遠的影響。⁵所以，簡而言之，南秉吉是以西法來註解《九章算術》。另外在「衰分章」第一題的官爵分派上，南秉吉也省略了《墨子》中出處的介紹。或許我們可以大膽假設如此的場景：受到西學薰陶的南秉吉，可能是藉由上述兩本書的影響，或是直接受到歐洲的科學技術以及基督教等西洋的衝擊，當他看到手邊的《九章算術》，不管是九章算術《南宋版》、或者是《微波榭本》，甚至為《九章算術細草圖說》，對於其中註解所採用的中算思維模式想要有所改變，因此有了《九章術解》的產生。

第四節　南秉吉註解的評價

在第一節裡我們提到劉徽在「衰分」的注中有三層含意，現在我們將同樣以南秉吉為「衰分」所做的解釋來作對照。「衰分」如前所述，就是以御貴賤稟稅，用於按等級分配或按不同的因素納稅問題。南秉吉在註解中直接提到「總衰數相併為一率也，總物數為二率也，各衰數為三率也，乘者二三率相乘也，各衰數各為三率與二率相乘也。以一率除二三率相乘積之謂也。一者即所求數也。」。注文中如前文所述直接出現一率、二率、三率。以下再讓我們舉第一題為例：

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？

南秉吉的注解是這樣的：

爵數者大夫五人、不更四人、簪褭三人、上造二人、公士一人，以此數為各衰數。各衰數相併得十五為總衰，五四三二一各衰數。

十五分為一率，五鹿為二率，各衰數各為三率，得四率為各人所得數也。此法以總衰與總鹿之比，即如各衰與各人所得之比也。

以現在的數學符號解讀，就是

總衰：總鹿＝各衰：各人，各人＝（總鹿 × 各衰）÷ 總衰

在「反衰」的注釋方面，南秉吉採取了比劉徽更為詳盡的敘述，劉徽以提綱挈領的方式帶領，但南秉吉對每一步驟都加以解說。例如在「術曰：列置衰，而令相乘動者為不動者衰」之後，南秉吉就依爵次分配，實際演算得出「大夫二十四、不更三十、簪褭四十、上造六十、公士一百二十」的結果。總體而言，到底南秉吉為《九章算術》所作的註解之價值為何？或許我們可藉由《九章術解》書末的跋來做檢驗：

《九章算術》數學之鼻祖也。劉徽注之，李淳風釋之，然俱多未曉處。抑或繡出鴛鴦，而藏其金針之義歟！注釋所以啟來者而終莫能端倪。故余因原術解之，發明其萬一。未敢為覺後覺而使好學者，庶其易曉云爾。

從文化脈絡來說，劉徽通過「析理以辭，解體用圖」，為《九章算術》建構中國古代數學理論體系，展現《九章算術》不朽的風華。《九章算術》之後，中國數學著述主要採用兩種形式，一是為《九章算術》做注，一是以《九章算術》為楷模，編纂新的數學著作。⁶或者我們可以稱南秉吉的《九章術解》，是在學習西方數學後的一種另類的《九章算術注》。

承上所述，以《九章術解》中的「衰分章」為例，我們看到南秉吉盡其可能地詳細解說與鋪陳，在介紹「衰分」和「返衰」的概念以及其後的解題時，就像是夫子在旁諄諄教誨，只要照其敘述，按部就班就可把題目解出。似乎，我們可以把《九章術解》當成是《九章算術》的自學指南。雖然，這與劉徽的註解風格不同，但仔細研讀，使好學者易曉的目的應不難達成。

註解：

1. 參見李繼閔，《九章算術及其劉徽注研究》（台北：九章出版社，1992），頁164。

2. 參見李繼閔，《九章算術及其劉徽注研究》，頁146。

3. 引自明˙李之藻等編譯，《同文算指》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993。

4. 參見趙澄秋，〈《同文算指》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993，頁四75-76。

5. 參見金容雲，〈解題〉，《算學正義》，收入金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系˙數學篇(8)》，漢城：驪江出版社，1985。

6. 參見郭書春，《古代世界數學泰斗－劉徽》（台北：明文出版社，1995），頁。