《九章術解》卷四校勘
西松高中 蘇惠玉老師
在「少廣」這一卷中，包含的方法，包括少廣術、開方、開圓、開立方及開立圓術。在南秉吉的注解中，我們可以瞭解到南秉吉對這些方法的瞭解，都有他自己融會貫通的見解。在其中，我們也能夠看出《數理精蘊》對他的影響。而在開方、開立方術方面，他以「增乘開方法」為主，像是融合了幾本重要著作如《數理精蘊》、楊輝的《詳解九章算法》、朱世傑的《算學啟蒙》以及程大位的《算法統宗》中的方法，他對開方術的注解釋確實是比劉徽的注解要容易瞭解得多。
第一節 底本探討
本節同樣將南宋鮑澣之刻的《九章算術》、戴震校的武英殿聚珍版《九章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻的微波榭本《九章算術》、李潢著《九章算術細草圖說》等版本作一比較，探討《九章術解》與其之關聯與差異。首先，就卷四的題目順序比對，《九章術解》缺第10題，其餘部分題目順序一致。1
第二節 南秉吉注解的特色
在這一卷的幾個方法的注解中，南秉吉只在少廣術的注解中，以一實際例子（廣為
）來注解。他在「少廣」這兩字之後，注解為︰
以御積冪方圓也，截取其從少以益其廣，故曰少廣也。
這一段話跟《九章算術》中的劉徽及李淳風注中的用字一模一樣，所以，可以猜測他應該是有看過劉徽的注解才是。
這一段之後的術曰，他一句一句的逐句解釋，讓讀者更加容易瞭解《九章算術》術文是如何運算的。但再解釋術文之後，他認為「此法不足為省約也」，而以3、4、5連乘的最小公倍數為分母去通分。
而在「開方」這兩字的注解，他所使用的文字，跟《數理精蘊》中使用的一模一樣，所以，他一定有受過《數理精蘊》的影響是無庸置疑的。但是在開方術及開立方術的注解中，又可以清楚的看出南秉吉所用的方法為以籌算為主的「增乘開方法」，這又和《數理精蘊》及《同文算指》中用的筆算式的直式表示方法不同。在《數理精蘊》及《同文算指》中的定位都是如同現在方法一般，由末位起兩位一個記號；雖然南秉吉使用的籌算方法來開方，與楊輝《詳解九章算法》、朱世傑《算學啟蒙》和程大位《算法統宗》書中所引用的賈憲開方法本質上相同；但是，南秉吉的「借一算」，確是用「隅法」來解釋，這又和楊輝《詳解九章算法》、朱世傑《算學啟蒙》和程大位《算法統宗》書中所引用及解釋的賈憲方法不同。賈憲用的是「下法」，而南秉吉用的是「隅法」這個字。但在秦九韶的《數書九章》中卻也是用「隅」這個字。但是，南秉吉是否有看過《數書九章》卻也是一個謎題。我們只能就流傳到韓國的古文本推測，南秉吉應該有受到楊輝《詳解九章算法》、朱世傑《算學啟蒙》和程大位《算法統宗》等書的影響。
在開方術及開立方術的注解中，南秉吉嘗試以「幾何」的方式來解釋，但是沒有圖形，只有形容。而在《數理精蘊》及《算法統宗》中都有這樣的幾何說明，《算法統宗》中甚至有圖示，而他所使用的術語如兩廉、隅、長廉都與這兩本書同。2
比較值得注意的是，當積有分數時的處理。南秉吉認為「積分必為邊分自乘之數」，也就是說，積的分母一定是邊的分母的平方（或立方）。他會這麼簡單的認為，可能是從上述幾本書中的例題所得的印象，上述幾本書中的例題中，積有分數的例子中，分母都是完全平方或完全立方。南秉吉似乎沒有將其與下一句「若母不可開者」做一區分。
以下以開方術的「劉徽注」及南秉吉的注解做一比較，可以清楚的看到南秉吉在「開方術」上的融會貫通。就「開方術」的注解而言，已將「劉徽注」中較隱晦不明的部份，以他自己的方法，轉化成讓讀者容易瞭解的「開方術」了。
劉徽注：3
開方求方冪之一面也術曰：置積為實。借一算，步之，超一等言百之面十也。言萬之面百也。議所得，以一乘所借一算為法，而以除先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也。除已，倍法為定法倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定法。其復除，折法而下欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘，而以除。如是當復步之而止，乃得相命。故使就上折下。復置借算，步之如初。以復議一乘之欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也，所得副以加定法，以除。以所得副從定法再以黃乙之面加定法者，是則張兩青冪之袤。復除，折下如前。
南秉吉注解：
開方
術曰：置積為實即方冪。借一算步一即隅法，超一等方冪即每邊自乘積而邊與積同起單位邊進一位則積近二位故隅法恒超一等。議所得以一議者商也一者除也商得可除之數也乘所借一算為法以商得數乘隅法置於實積之下隅法之上為法，而以除以商得數乘法是為自乘數故以減方冪則除得每邊也。除已倍法為定法即廉法。其復除折法而下折者退也其復除餘積也廉法一退。復置借算步之如初即隅法再退也隅法恒為一故亦可為復置借算也。以復議一次商得可除餘積之數也乘之乘隅法，所得副以加定法以除副又也以次商乘隅法所得數又加於廉法仍與次商相乘以減方冪則除得每邊之奇零也蓋邊數有二位者初商除後必有餘積即初商積縱橫兩傍各有以初商為長次商為闊之長方冪一段是為兩廉故倍法為廉法也兩廉相湊之一隅有次商自乘之平方冪一段故以次商乘隅法以加廉法也邊數多位者皆倣此。以所得副從定法此邊數多位者之廉法也從加也以次商又加廉法則為初商次商共數之倍也。復除折下如前如除得次商之術也。
而在開圓術及開立圓術中，南秉吉所使用的圓周率一律為三，他並沒有提到徽率或是密率，僅以π=3去解釋開圓術及開立圓術中用到的圓面積及圓體積。值得注意的是，南秉吉在開立圓術中用到的圓體積是正確的，儘管《九章算術》中的公式是錯誤的。但是，在劉徽注中有解釋為何錯誤，而南秉吉卻以直接導出正確公式的方式來說明錯誤。而在他的解釋中，也可以看出《數理精蘊》的影響，例如「球體外面積應為球徑平圓面積四倍」、「外面積與半徑相乘得數以三歸之及球積也」，在《數理精蘊》中都有這樣的公式。但是，與《數理精蘊》不同的是，在《數理精蘊》中，以π=3.1415926並以方積、球積比例的四率法來算出球徑，而南秉吉簡單的以π=3來說明「球積必居立方積之半」。
最後，與少廣術不同的是，在開方、開立方、開圓及開立圓術中，南秉吉並沒有以實際例子來解釋，或許是他認為這些注解的過程中，有其一般性，而這樣的解釋即已足夠。
第三節 南秉吉注解的評價
在少廣術的注解中，南秉吉以實際例子來解釋，可能是意識到像這樣的問題，必須以實際分母數多少來決定，所以他實際例子來說明。但是，他也意識到「各分母徧乘諸分子」的方法不能省約，所以他在舉例的最後，以最小公倍數（在此例中為3×4×5）來乘諸分子，但是卻沒有寫出最小公倍數的求法；同時，在後面的例題中，《九章算術》術曰中的解法，有些並不是以最小公倍數來解的（例如分母最大到6、12），南秉吉也並沒有指出這些不同處，及為什麼是與少廣術不同的這樣的解法。雖然如此，因為在劉徽的注解中，仍然是以較為繁瑣的合分術來解，所以，可以看出他已進一步將合分術融會推廣。
我們可以在南秉吉的注解中，找到許多受《數理精蘊》影響的證據，但是，在開方、開立方術的注解中，南秉吉卻不用《數理精蘊》中所用的筆算的直式方法，反而是以擺算籌方式的「增乘開方法」來解釋。也有可能南秉吉想要以同樣是籌算的方法來解釋《九章算術》中的術文。不過，南秉吉在注解中融會貫通中算中對開方術的研究成果，這一點是無庸置疑的，他以相當清楚的方式，將「開方術」解釋的相當詳盡。
不過，在開圓術及開立圓術中，圓的面積及體積都必須要用到圓周率的值，而南秉吉一律以π＝3來表示及計算。不管在劉徽注或是《數理精蘊》中，都有提到更精密的圓周率之值，為什麼他沒有採用？為了計算方便？還是因為他對圓周率近似值求法的不了解？我們知道劉徽的割圓術求圓面積及π的近似值，是劉徽注中相當精采的一部份，南秉吉略過不提π的近似值，是因為他不了解嗎？或是他認為在計算過程中不需要？這就不得而知了。不過，或許他在跋中所寫的：
劉徽注之李淳風釋之然具多未曉處，抑或繡出鴛鴦而藏其金針之義歟。注釋所以啟來者而中莫能端倪，故余因原術解之發明其萬一，未敢為覺後覺而使好學者庶其易曉云爾。
可以為我們提供一些答案。
註解
1.
九章術解目錄指出少廣第四凡廿十四問，但《九章術解》文本中只有廿十三問，缺第十題：「今有田廣一步半、……、十二分步之一。求田一畝，問縱幾何?」。
2.
在開方術中用的兩廉、隅和《數理精蘊》相同，而在開立方術中用的方廉、長廉，《算法統宗》中為平廉與長廉。
3.
以下「劉徽注」引郭書春匯校
(1990)