系列之二：巴比倫文明起源、六十進位法及其影響
中原大學數研所碩士生
英家銘
一、巴比倫文明起源與進展
巴比倫所在的「肥沃月彎」孕育了數個偉大文明，而這些文明對繼之而起的希臘羅馬文明乃至於現代世界都造成很大的影響，「六十進位法」(sexagesimal system) 即為其中之一。當筆者試圖了解六十進位法並找出它的影響時，我回憶起一個以前曾與兩位好友討論過的問題：Why Mesopotamia？以現代人的觀點來看，位處「肥沃月彎」的國家伊朗、伊拉克、敘利亞、約旦乃至以色列的土地不僅不夠肥沃，恐怕還乾旱了些，為什麼在公元前3000年起這裡就出現包含數學在內的文化高度發展的社會？
第一個原因在起跑的優勢。考古學家及生物學家認為，大麥、小麥和豌豆的野生種源出現在肥沃月彎，而且早在約一萬年前即被當地人馴化，使當地族群由狩獵─採集社會進入定居的農業社會。有了農業，才能養活大量而稠密的人口且儲存多餘的食物。此外，人類五大家畜中，狗、羊、豬和牛最晚在8000年前即已在肥沃月彎被馴養，源自烏克蘭的馬匹也在6000年前被蓄養成功。家畜可提供豐富的動物性蛋白質，禦寒衣物，以及擔任運輸和交通的工作。牛車和驢車可將農產品運送到其他地區以換取民生必需品，於是貿易的行為漸漸開始，記帳的需要也促成最早文字的出現，此地的文明於焉誕生。有了農業與畜牧的支持，城市、國家，以及「不事生產」的「專家」，如統治階層、祭司、工程師及數學家才有可能出現。筆者猶記得剛從師大結業實習時，一位女士挖苦筆者鎮日不事生產卻能坐領乾薪。從上述觀點來看，這位女士說得不錯，現代社會的高度分工，也是農、牧業養活大量專家的結果。
第二個原因在其位置，這其實是第一個原因的延伸。肥沃月彎馴化的動、植物及科技發明如文字、輪子等，沿著相同的緯度向東西方氣候類似之地迅速傳播，幫助了四周各民族的發展。肥沃月彎西北方曾出現西臺帝國，西方有腓尼基人和以色列人，西南方有埃及人，遙遠的東方還有印度次大陸。在羅馬帝國興起之前，這裡一直是交通要衝，各地商旅馬車隊的來往，回頭刺激了肥沃月彎的經濟發展，使得商業的計算更顯重要。相對而言，埃及與中國就顯得較為孤立。但孤立的中國仍有豐富的數學遺產，這又是另一段故事了。
第三個原因就是我們熟知的大河了。由於底格里斯河和幼發拉底河不定期的氾濫與漲落，比起我們類似的尼羅河要嚴重許多，這個情況迫使引水灌溉變得更為一門大學問，從水利工程中自然會引發許多數學的問題，帶動數學進步，而數學再反過來推動工程的演進。
當然，實際情況要比上面三段所述複雜許多。以上只不過是筆者將許多學者研究的結果，加上自己的後見之明拼湊而成。若要把這些東西說清楚，也許就超越了我們研究數學史的範疇。筆者討論這個問題，是希望也許能幫助與筆者同樣在中學教數學的教師，甚至是歷史教師，用更宏觀的角度與學生一起思考問題。
二、六十進位法
六十進位法可能是人類最早使用「位值系統」( positional system) 的記數方法，最晚在公元前2100年就已出現。在了解六十進位法之前，我們先來看看何謂「位值系統」，以及有無位值系統對運算造成的差異。
我們所習慣的印度․阿拉伯數碼，就是位值系統最好的例子，這是一個以10為底的計數與演算系統，當我們寫5625時，我們的意思是
。一般而言，若我們選定一正整數b為底，則我們很容易可以證明任意正整數N可以被唯一地表示成下面的形式：
，
其中
，
。接著，我們就可將N表為：
。
所以，一個基本符號在不同的位置就會代表不同的值。例如，在234中的2代表200，25中的2代表20，而102中的2就代表2。在一個完整的位值系統中，必須要有代表「零」的符號，才能將可能缺項的位數補零。我們現在的直式加減乘除，就是建立在這樣的位值系統上。至於不使用位值的系統，大概只有羅馬數字還算為世人所熟悉。這也是一個以10為基底的系統，但它用I、X、C 、M表示1、10、100和1000，再加上V、L、D代表5、50及500作輔助。舉例來說，
1762=MDCCLXII。
若要用它作加減乘除的運算，對現代人而言是十分困難的。但是，如果我們熟記一些規則，比如5個I的和為V，兩個V的和是X等等，再加上羅馬時代也有類似中國的算盤，其實應付10000以下的運算還不會太困難。事實上，古代希臘人、希伯來人及早期的阿拉伯人使用比羅馬數字更複雜的字母系統來代表數字，而且跟羅馬人一樣不使用零，但在當時已經足夠。
接著，我們回到六十進位法。巴比倫使用的這個系統是個不完整的位值系統，因為它缺乏代表「零」的符號。但它與我們現在的系統是很接近的，它使用59個不同的符號代表1至59，當泥板上由左至右出現5、6、3時（我們用
(5, 6, 3) 代表這件事），它的意思是
=18363，這使得一個很龐大的數字變得容易紀錄。這裡就引發了一個問題，為什麼在四千多年前，巴比倫人就發展出這種與現代位值系統相似的六十進位法呢？筆者的猜想是因為數字管理的需要加上書寫工具的缺乏。中國人在公元二世紀才發明造紙術，在紙張傳遍歐亞大陸之前，任何足以長期保存的書寫工具都是很昂貴的。前面一節提到，古巴比倫時代已有良好的農業發展及頻繁的商業往來，再加上早熟的天象觀察，使得記載龐大數字並長久保存有其必要。大家可以想像一下，當時捏製一塊泥板，把一些文字與數字小心地用一跟尖尖的棍子刻上去，再將之烘培定型保存起來，是十分費時的工作，可見書寫文字在當時是很「昂貴」的事。古代蘇美社會（約公元前3200至2340年）中，只有掌控社會經濟的廟宇才能使用文字紀錄，此外，目前出土的泥板中，最大超過六公斤，面積大到要助手雙手扶著供書記官書寫才行。所以，用很小的空間紀錄很大的數字就變得很重要，在一些較為古老泥板中，1的60倍被寫成一個比較大的「1」，但後來被簡化成原來的大小，再將數字放在不同位置代表60的不同倍數，帶有位值便利性的六十進位法於焉誕生。
至於為什麼用60而非10為底，有學者相信應該是為了統一當時的度量衡。當時可能有兩種常用的單位（如同我們將公制和英制混合使用），這兩個單位最常用的比例都是
等，如果我們規定，大的單位剛好是小的的60倍，則大單位的10,
和
倍就都是小單位的整數倍，使得換算便利許多。另外，60比10多了許多因數也可能是選擇60的原因。
巴比倫六十進位法也不是完全沒有缺點，如前所述，它一直沒有「零」的符號，也沒有小數點。因此，(5, 6, 3)也可以代表
，
或者
，
或是其他的數字？雖然有時他們會將某一位空下來以代表缺項，但也因沒有統一使用，讓我們後人無法直接從數字符號上去確定它的值，此時我們只能從泥板的上下文去判斷了。這樣容易混淆的狀況，一直到約公元前300年波斯人「發明」了「零」的符號，才大有改善，但小數點仍一直沒有被使用。
三、六十進位法對世界的影響
六十進位法在人類歷史上留下了不可磨滅的痕跡，這部分應該是我們中學師生最感興趣的部分。我們現在將一小時劃分成60分鐘 (minute)，一分鐘分成60秒 (second)，還有我們將圓周分成360度之後，再將一度切成60分，一分再切成60秒以表示細微的角度，這些劃分法都可以回溯到蘇美人的時代。這種劃分法是如何進到現代世界的呢？這是一段跨越4000年的故事，但我們可以簡短地描述它。
古代巴比倫人很早就對觀察天象有興趣，他們也用天文觀測的結果，來幫助他們訂定每年週期的曆法，以協助農民決定播種和收割的日期。後來的希臘人，從商業來往和軍事征服中取得巴比倫人留下的資料，希臘的天文學家也得以運用它們。這群龐大的資料都是用六十進位法所記載的，希臘人就用這個系統來書寫他們在天文觀測中所紀錄到的分數，他們把六十分之一稱為「第一小單位」，六十分之一的六十分之一稱為「第二小單位」，以此類推。在希臘人的天文學著作被譯成阿拉伯文，以及後來在12世紀歐洲學者將阿拉伯文的文本翻成拉丁文時，上面的表示法一直都被沿用下來。六十分之一還有六十分之一的六十分之一在拉丁文中分別被寫成 pars minuta prima 和 pars minuta secunda。最後，它們進到了英語的世界，就被簡化成「minute」和「second」這兩個我們常用的詞彙了。
除了「分」、「秒」之外，一部分的讀者可能也見過其他的巴比倫度量衡單位。《聖經》中常見的重量及貨幣單位他連得（talent）、彌那（mina）還有舍克勒（shekel）都是由巴比倫傳到以色列的，其中
1他連得 = 60彌那，
1彌那 = 60舍克勒。
它們的換算也是用六十進位法。
參考資料
1. 莊新泉 (2001).《美索不達米亞與聖經》。台北縣新店市：橄欖文化基金會
2. Bunt, L.N.H., Jones, P.S., Bedient, J.D. (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. Englewood, Cliffs, N.J.：Prentice-Hall.
3. Diamond, J.M. (1997). Guns, Germs, and Steel: The Fates of Human Societies. New York：W.W. Norton & Co.
4. Eves, H. (1975). An Introduction to the History of Mathematics, 4th ed. New York：Holt, Rinehart and Winston.
5. Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York：Oxford University Press.
6. Struik, D.J. (1967). A Concise History of Mathematics, 3rd ed. New York：Dover Publications, Inc.