2002年 ICTM-2希臘紀行
國立勤益技術學院
劉柏宏教授
對數學史稍有喜好的人，一想到希臘這古老國度一定有種莫名的情感。古希臘數學的輝煌成就與嚴謹，跨過兩千多年的時空，對現今數學發展仍有著深遠的影響。希臘之於我，有如耶路撒冷之於基督徒與麥加之於回教徒。這說法或許有點誇張，但對我而言，今年暑假希臘之行的心情，確有如朝聖者一般。
第二屆國際數學教學會議
(2nd International Conference on the Teaching of
Mathematics) 於今年(2002)七月一日至六日，在希臘的克里特島舉行。國際數學教學會議是一個近年新興的國際數學教育會議，每四年舉行一次（第一次會議於1998年在畢達哥拉斯出生地希臘的薩摩斯島舉辦）。本次會議主要針對大學階段的數學教育分為七個主題（教育研究、科技運用、教學方法、課程改進、師資訓練、數學與其他學科之整合、遠距教學）進行研討。數學史與數學課程之整合的議題則納入『課程改進』項下，藉由論文宣讀與研討交換心得。我的博士論文旨在觀察於一歷史導向的微積分課程中，大一新生對數學思考的觀點的發展取向。在課程中透過數學歷史問題之使用，誘發學生思考解題過程的深層意義，並期許他們能超越公式運用與數學僵化過程之表面認知，進一步瞭解數學思考之精神。其中阿基米德求面積與體積的方法，在我的論文中扮演著關鍵的角色。因此，選擇他的祖國作為我論文首次發表的所在，對我個人而言相當具有紀念性。
除論文宣讀外，大會也安排了四場專家學者的座談。其中一個主題即探討數學史在數學教育中之角色定位。這場座談的四位學者，分別為本屆HPM主席Fulvia
Furinghetti，日本學者Masami Isoda，香港大學的蕭文強教授，以及東道主希臘的Constantinos
Tzanakis。除Fulvia Furinghetti外，其餘三位都曾來台參加兩千年的HPM會議。座談會中除介紹近年HPM的相關專書與發展外，亦重視如何將HPM的想法放入教師培育的課程之中。會中提出『整合數學史與數學教學
(integration of history of mathematics in mathematics teaching)』的概念，以取代以往『運用數學史於教學之中
(using history of mathematics in teaching)』的想法。此種呼聲的主要訴求，在於以數學史為一介質，來達成數學教育之目標；希望跳脫以往片斷地、離散地穿插歷史素材的方式，進而將數學史融合於學校教材之中。此項任務需由教育研究者和歷史學者雙方的相互配合方能竟其功。也因此與會人士對於數學史家如何看待這個問題感到興趣。另外來自美國的數學教育學者Annie
Seldon提出一個相當關鍵性的問題：是否有任何證據顯示數學史在數學教學中的確是有效的？(Is
there any evidence showing that history of mathematics is effective in the
teaching of mathematics？)。我相信這個問題也是在HPM這個領域的學者所關心的。在現今教育研究講究方法論的潮流之中，沒有實驗證據支持的論證總欠缺說服力。蕭文強教授也隨即坦言指出，除能夠改善學生對數學的學習態度外，目前的確無足夠的實驗證據，顯示數學史能夠增進學生在數學考試中的表現。Annie
Seldon 和其先生John Seldon是相當活耀的數學教育研究拍檔。在我所讀過他們的文章當中，似乎不曾見到他們提過有關數學史方面的話題。因此，對於Annie
Seldon的提問我個人有點訝異。會後的coffee break我進一步向蕭教授與Masami
Isoda請教他們對此事的看法。Isoda認為數學史的功效宜以質的研究方式進行觀察方能顯現。蕭教授則強調數學史與數學教材的整合，對學生的影響往往是長期的，不適宜以當今的教育研究法於短時間內檢驗出來。在與他們的對話當中，引發了我更大的興趣去找尋適當研究方法，以便彰顯數學史於教育上之應用價值。
希臘之行的另一大斬獲，是終於見到了Alan
Schoenfeld。關於數學解題（problem solving）的研究，始於George
Polya，而在Alan Schoenfeld手中發揚光大。Schoenfeld以其數學家的觀點，在1980年代對於學生的解題行為做了仔細的觀察分析。他發現學生解題能力的貧乏，與他們所擁有的數學知識之多寡並無直接關聯。影響解題表現的兩大關鍵，是解題者的後設認知能力（metacognition）與對數學的信念（mathematical
beliefs）。後設認知是一個人讀取腦中資料庫的的一種行為表現。縱使一個人的數學知識豐富，如果不具備良好的後設認知能力，面對不熟悉的問題時，他（她）的解題行為也是宛如生手一般，盲目嚐試、毫無章法。而數學信念是指一個人對整體數學知識的觀點，對『什麼是數學』的一種認知。根據Schoenfeld的觀察，這種認知與觀點對於解題者的行為有著決定性的影響。例如，假使學生認為數學解題只是一種套用公式的歷程，那他們的解題行為則較僵化，傾向於回憶公式。反之，學生們如果將數學解題視為個人創意的表現，那他們的解題表現將趨於靈活，展現彈性。Schoenfeld的結論相當程度地影響1990年代對於數學解題的學習與教學的研究走向。我的博士論文一方面建築在數學史的研究上，另一方面即立基於Schoenfeld的論證。可是，從一些教育研究者的觀點來看，Schoenfeld的研究缺少信度與效度。由於他的寫作風格，迴異於一般強調樣本取樣、問卷發展與研究方法的教育論文，因此也招惹來一些批評。當我提出我的論文計劃時，一位口試委員即對於Schoenfeld的研究內容不甚贊同，而要求我做相當程度的修改。然而對我而言，部份嚴謹的教育研究論文或許骨架紮實，然往往在做結論時僅止於表面琢磨。而Schoenfeld的報告卻是直扣問題核心、句句血肉。當我以『受害者』身分，向Schoenfeld提及部份教育學者對他研究內容的批評時，他並不以為然。他認為他不僅從不同角度，去觀察學生的解題行為與觀點，而且所使用的問卷皆具有相當的信度與效度（雖然沒有將數據報告出來）。不過，他也指出：有些問卷研究縱使具有效度與信度，卻是毫無意義。我進一步向他請益：這是否由於具數學背景與具教育背景的學者心中有著不同的『研究典範』？他同意這一點並認為這兩個領域的學者應有更多的交流。Schoenfeld並且馬上提供了兩篇他的文章以作為補充說明。他的平易近人與對晚輩的熱心指導確實具有大師風範。由於他女兒身染重病，Schoenfeld平常並不常長途跋涉參與各項會議。我在美國參加了幾次會議想見他一面皆不可得，想不到首次碰頭卻是在那遙遠的克里特島。
參與這次ICTM-2會議，確實激發出不少研究的火花。若說有什麼遺憾的話，那就是由於時間的緊迫無法遊覽雅典市區。更由於船期與大會議程的衝突而未能搭船出海，優遊於那湛藍的愛琴海上，踏訪傳說中具有全世界最美麗日落的聖扥里尼島。然而，綜觀此次希臘之行，雖少了點靈性的洗滌，卻多了點智性的豐腴。希臘！讓咱們相約下次見面的日期。