陳厚耀〈錯綜法義〉研究
朱家生 揚州大學理學院數學系
吳裕賓
揚州大學科技産業處
內容提要：本文主要研究清代數學家陳厚耀的數學論文〈錯綜法義〉中排列組合的問題及其算法，指出這是中國數學家關於排列組合問題的第一次系統討論。
關鍵：陳厚耀，排列組合。
一、前言
排列組合是初等數學中較爲獨特的內容之一，它在機率論、組合數學及級數論等高等數學分支中也有著廣泛的應用。與其他數學分支一樣，排列組合産生發展的歷史也是十分悠久的，在中國最早的文獻記載見於《周易》中關於卦符問題的研究。此後，張遂（或一行）、沈括等人的棋局都數問題，賈憲三角形和宋元算學家的垛積術，清代汪萊等人的遞兼數理研究等，都包含了深刻的排列組合思想和方法。1在國外，從印度和阿拉伯的一些古老演算法中，也可以找到關於排列組合問題研究的蛛絲馬迹。2從現存的資料來看，中國專門系統地討論排列組合問題的論著出現於清代，當爲陳厚耀的〈錯綜法義〉。
明末清初，由於來華傳教士的工作，西方數學傳入中國，中西數學逐漸合流，其中許多內容都與排列組合的計算有關。爲此，陳厚耀撰寫了〈錯綜法義〉一文，系統討論排列組合的各種類型及其計算方法。本文就此作一些探討。
二、陳厚耀和他的數學著作
陳厚耀
(1648-1722)，字泗源，號曙峰，清初江蘇泰州人，曾經追隨梅文鼎學習過天文算法。他是康熙丙戍年進士，因通曉天文曆法，被大學士李光地推薦給康熙皇帝，康熙當面試以算法，其在天文數學方面的才能給康熙留下了深刻的印象。戊子年受命來京，己丑五月，隨康熙皇帝去熱河，途中，康熙與陳厚耀一起探討了許多曆算問題。後陳厚耀因母親年事已高，身邊無人侍奉，便要求回蘇州任教職，得到恩准。但不到一年，又被康熙召入南書房，研究天文算法問題，並入淵鑒齋供職。在這裏，陳厚耀見到了許多在民間難以見得的宮中收藏的科學書籍和儀器，他的曆算之學也因此而有了較大的進步。在與康熙的接觸過程中，陳厚耀上表康熙請求編定步算諸書，以惠天下，此事得到了康熙的首肯。在康熙的支持下，清朝政府開始組織編撰大型類書《律曆淵源》。由於李光地等人的推薦，陳厚耀與梅𠕇成等人一起被召入蒙養齋修書。康熙還賜以《算法原本》、《算法纂要》、《同文算指》、《嘉量算經》、與《幾何原本》等書。癸已年書修成，被授予翰林院編修。
陳厚耀一生所著天文數學著作甚多，但大多都已失傳，手稿本《算義探奧》爲其流傳不多的著作之一，現藏中國科學院自然科學史研究所，爲海內孤本。該書分勾股法義、積求勾股法義、勾股容方容圓法義、三角形求中長法義、測量法義、割圓法義、圓求弧背法義、圓容法義、錯綜法義、推古曆法、推授時曆法、推授時曆百年消長法等章，大多是敍述幾何學的內容。其中〈錯綜法義〉討論排列組合問題。
三、〈錯綜法義〉中的排列組合問題及研究
陳厚耀〈錯綜法義〉卷首稱：「九章諸法皆備矣，而少各色錯綜之法。易曰：『參五以變，錯綜其數。』錯綜者，天地自然之數也。夫奇偶相錯而成卦，干支相錯而成曆，五色相錯而成錦，五音相錯而成調，推而衍之，盈萬累億，無非因錯而後有不窮之妙。其爲義也至精，其爲數也至繁。」這裏，陳厚耀首先強調：排列組合問題雖然來於日常生活和生産實際，但其算理深奧，計算結果也十分複雜。接著，他又指出排列組合具有許多種不同的形式：
而其變也亦不可一例而論。故有上下顛倒相錯而複重疊者（如六十四卦之類），有上下顛倒相錯而無重疊者（如串名類），有上與下各錯，而無顛倒，亦無重疊者（如六十甲子之類），有不分上下，既無顛倒，而雜糅之中，但有重疊者（如六骰之類），有以全數之中，摘取二三數以爲錯，而互增互換以錯之至盡者（如紙牌之類），其義既不一，則其立算也因亦因義而別，然即二字相錯以至十字，則其數已逾萬，況推而百千字乎？其法隱于九章之中，而未暢闕旨，今略具數端，以俟深思者觸類而旁通之。3
陳厚耀這篇論文的主要部分，是通過具體的例題，來說明各種類型的排列組合問題的計算方法。下文分成四小節介紹。
1、可重排列
陳厚耀首先討論了六十四卦的計算。〈錯綜法義〉提出問題：
今如奇劃爲陽，偶劃爲陰，一奇一偶，重至六劃，得卦幾何？
這是從相異的
個元素中（允許重復）選取
個元素排列的問題。其給出的解法是：
一奇一偶，數之二也。以二因二，得二劃之卦四；再以二因之，得三劃之卦八；……再以二因之，得六劃之卦六十四也。如重至七劃以上，亦再以二累因之即得。
亦即
。這裏，顯然相當於給出計算公式：
。至於其另一方法：
或以三劃之卦八自乘，即得六劃之卦六十四。所謂得數自乘，即省一倍乘也。
顯然是爲了算法上的簡捷而給出的。
該書的第二個例子是：
又如乾兌離震巽坎艮坤，八卦也，因而重之，當得卦若干。再重之，又當得卦若干。
這顯然也是一個可重排列問題。陳厚耀給出的解法分別相當於
和
。關於這類問題的解法，陳厚耀解釋說：「卦本無三字，今欲窮其所重之數，故屢加以推之。若每次加一字，亦以八累乘之即得。」
2、無重排列
〈錯綜法義〉例舉『串名』問題來論述無重排列問題：
今如合夥當差，有張李王三家串姓爲名，當排出串名若干？
這是一個從相異的
個元素中（不允許重復）選取
個元素的全排列問題。他給出的解法如下：
以三姓減萬億毫二，二三相乘，…又減二爲一乘之，如故。
亦即
。推至一般情況，則有
。他還將本題無重排列問題的算法與前面的
可重排列作了比較：『前易卦上下顛倒而又有重疊者，故即以本身八遞次乘之；此是有顛倒
而無重疊者，故用遞減相乘法。』
『又如趙錢孫李周吳鄭王八姓，串名當差，其串名只三字，當排出串名若干？』在是一個從相異的
個元素中（不允許重復）選取
個元素的選排列問題。其給出的解法是：
八姓減一爲七，以乘八姓，得五十六，爲二姓相錯之數。又以七姓減一爲六，以乘五十六，得三百三十六，爲三姓相錯之數也。
亦即
，推至一般情形，則其計算公式相當於
.
陳厚耀還給出解釋：
此亦如八卦再重之例，但卦有重疊者，故即以八累乘之即得。此以三字爲名，名必三姓，無重疊者，故即八減爲七乘之，七八五十六，較之八八六十四，則二字姓串名，當除去疊名八，又減一爲六，以乘五十六，的三百三十六，較之八卦再重五百一十二，則三字姓串名，當除去疊名一百七十六也。
此一推導過程，與現代中學數學課本中的方法基本相似。
上述兩個問題可以看作是引出一般公式。接著，他又舉了一些例題，進一步說明這類問題的解法。例如：
今如中庸天命章，只二十二句，當截出長短題目共若干？
他的解法如下：
以二十二句，加一句爲二十三。卻以二十一乘之，得五百零六。折半得二百五十三，此即堆垛法。
至於所依據理由，則是：
一句一題，是二十二也。二句一題，則二十一矣。其次每加一句，則少一題，至全章則止一題，故以堆垛法求之。
實際上，他也是將該此一問題看作是無重排列來處理。
3、可重組合
〈錯綜法義〉利用『骰子問題』論述可重組合的演算法：
今如六個，每個六面六色，當擲色樣共若干？
這顯然是一個從相異的
個元素中（允許重復，且同一元素可反復出現），選取
個元素的組合問題。他給出的解法如下：
列置一二三四五六色爲六行。自右而左，先以一行一，加二行二爲三；即以二行三，加三行三爲六；又以三行六，加四行四爲十；又以四行十，加五行五爲十五；加六行六爲二十一，是即二子相錯之數。再以一行一，加二行三爲四；二行四，加三行六爲十；三行十，加四行十爲二十；四行二十，加五行十五爲三十五；五行三十五，加六行二十一爲五十六，是即三子相錯之數。再以一行一，加二行四爲五；二行五，加三行十爲十五；三行十五，加四行二十爲三十五；四行三十五，加五行三十五爲七十；五行七十，加六行五十六爲一百二十六，是即四子相錯之數。再以一行一，加二行五爲六；二行六，加三行十五爲二十一；三行二十一，加四行三十五爲五十六；四行五十六，加五行七十爲一百二十六；五行一百二十六，加六行一百二十六爲二百五十二，是即五子相錯之數。再以一行一，加二行六爲七；二行七，加三行二十一爲二十八；三行二十八，加四行五十六爲八十四；四行八十四，加五行一百二十六爲二百一十；五行二百一十，加六行二百五十二爲四百六十二，是即六子相錯之數也。
並進一步推廣：『如再加一子，亦再如此式加之既得。』關於這一算法，陳厚耀解釋說：
此乃有重疊而去其顛倒者（重疊如麽麽二二之類，顛倒如麽二二麽之類，骰子不論顛倒，故去其同），故用法與前易卦串名法不同，不用乘除，但照行加之，視第六行末所加之數即是。
這相當於利用公式
，推導出其計算公式：
。此外，陳厚耀還利用分類的思想，討論了這一問題的解法：六色各不相同（1）、一對（30）、兩對（90）、三對（20）、分象（15）、三子一色（60）、三子一色合一對（120）、四子一色（60）、四子一色合一對（30）、五子一色（30）、六子一色（6）。這一分類既無遺漏，亦無重復。顯然，其算理與現代數學課本中的解釋基本相同。
4、無重組合
〈錯綜法義〉提出問題：
今如紙牌三十張，張各一形，每副只取九張，當錯出副若干？
這是一個從相異的
個元素中（不允許重復），選取
個元素的組合問題。他給出的解法如下：
以牌三十張爲實，另以三十減一，爲二十九，乘之；又減一，以二十八乘之；又減一，以二十七乘之；又減一，以二十六乘之；又減一，以二十五乘之；又減一，以二十四乘之；又減一，以二十三乘之；又減一，以二十二乘之，其共乘得五萬一千九百一十七億七千八百五十九萬二千爲實。卻以每副九張，亦用遞減，以八乘之，又以七乘之，又以六乘之，又以五乘之，又以四乘之，又以三乘之，又以二乘之，其一如故不乘，共乘得三十六萬二千八百八十爲法。以除前實，得一千四百三十萬零七千一百五十副。
這相當於給出了公式：
.
陳厚耀解釋說：
此亦如前八姓串名之例，但串名中雖無重疊而有顛倒者。此則副各九張，張各一色，既無重疊，又無顛倒者，故其用法又異。其先以三十張遞減相乘，得五萬一千九百一十七億七千八百五十九萬二千之數，即前串名法也。名有上下顛倒，而牌無上下顛倒。故又去其顛倒之同者，乃以九張遞減相乘爲法以除之，則得實數矣。
顯然，他已經注意到了紙牌與串名法的差別。
此外，陳厚耀還研究了一些形式上不屬於排列組合、但實際上可用排列組合的思想方法處理的問題：
今如天干十，地支十二，遞次相配，當得甲子若干？
他給出的解法如下：
以天干十、地支十二相乘得一百二十。卻以十與十二用約分法對減之，各得二，以除一百二十，得六十。或先以約分法約得二，以除天干十，得五，以五乘地支十二，亦得六十。
他還解釋說：
凡以奇數乘偶數，必互乘乃遍。以偶數乘偶數，則不能遍。故用約分法以約之，約得數以除之，乃得正數也。然亦有以奇乘偶而不能遍者，如三之乘六，五之乘十，…亦有以奇乘奇而不能遍者，如三之乘九，七之乘二十一，…又必用約分以約之，乃乘得正數。
又如甲子紀年六十，每年月建十二，紀日亦六十，每日生時亦十二，推得生人八字若干？
他給出的解法則如下：
以年之六十，乘月之十二，得七百二十。又以日時相乘得七百二十乘之，得五十一萬八千四百。
關於『紀日亦六十』，他進一步指出：
每月只三十日，而亦周曆六十甲子者，以月有大小之故也。
至於本題未用『約分法』處理，陳厚耀則解釋說：『此以偶數乘偶數而不用約分法者，以月建生時，已約得十二也。』
四、結語
由本文論述可知，陳厚耀儘管在清初就已經對排列組合問題進行有系統的探討，可惜，後繼乏人，〈錯綜法義〉流傳不廣，或許是主要原因之一吧。直到近代中國數學教育與世界合流以後，這一題材的系統討論，才被寫進了數學教科書而被人們所瞭解。
註解：
1. 劉鈍
(1993).《大哉言數》，遼寧教育出版社。
2. M. 克萊因
(1985).《古今數學思想》第一冊，上海科學技術出版社。
3. 陳厚耀
(手稿本，年代不詳).〈錯綜法義〉，《算法探奧》，現藏中國科學院自然科學史研究所。後面引未注明者皆同此條。