《幾何原本》（一）文本研讀內容摘要

                                                                                                 台灣師範大學數學系 洪萬生教授

日期：2002年2月2日

地點：台灣師範大學數學系 M417

主讀：洪萬生

贊助：教育部『人文社會科學史料典籍研讀會』計畫

一、版本

明代初刻本 (1607年) 之1611年『再校本』，現藏上海博物館與上海圖書館。上海文物管理委員會於1983年依據上述『再校本』，影印發行。

        至於 1607年之初刻本，是徐光啟與利瑪竇根據丁先生 (Christophorum Clavius) 所編的 Euclidis Elementorum Libri XV (1574) 譯成。原書共有十五卷，他們兩人只翻譯了前六卷。此一拉丁文版本，原與 Thomas L. Heath所勘定之權威英文版 Euclid: Thirteen Books of The Elements (1956) 稍有出入，徐、利兩人在十六世紀末翻譯時，更進行了『在脈絡』(in context) 的斟酌，因此，選擇一些片段來仔細研讀並作比較，預料在認知學習方面，相當可以開展社會文化面向之意義。而這，也正是我們研讀此一文本的主要用意。

二、研讀文本

1. 徐光啟的〈幾何原本雜議〉共八則

2.《幾何原本》第一卷之首：界說三十六，求作四，公論十九

3.《幾何原本》第一卷：第一 ∼ 十二題；第四十三 ∼ 四十八題。

三、研讀內容摘要

    首先，在進入文本之前，我簡單對比了柏拉圖 (Plato) 與亞里斯多德 (Aristotle) 的數學哲學主張，以及它們在哪些面向（譬如『認識論』或『方法論』）影響了歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》。我所依據的數（科）學史家論述，包括了 Carl Boyer (1968)，Morris Kline (1972)，G. E. R. Lloyd (1983)，以及Victor Katz (1993)。此外，由於利瑪竇、徐光啟之譯本根據了 Clavius (1574)，所以，有關丁先生 (Clavius) 的學術背景，我們也參考了 Englefriet (1998)。在這一個關聯中，我也著重說明 Heath (1956) 中的

“postulate”（設準，共五個）與 “common notion”（公論，共五個）在亞里斯多德的『演繹科學』(ductivie science) 結構中之區別。然後，對照 Clavius (1574, 1591) 中的重新安排（求作四則，公論十九則）。最後，再引出現代數學中的『公設』或『公理』(axiom) 之意義。

        在研讀策略方面，我們則通過比較（史學）方法，考察利、徐兩人中譯時如何處理中西算的會通與其相關的認知困擾。為此，我們選擇 Heath (1956) 作為一個標準的文本，同時，也對照了 Clavius (1591)，亦即 Clavius (1574) 的修訂版。後者是中譯的母本，照理應該參考才是，可惜，我們無從得閱，只好日後再想辦法補充。

        在本書的合譯工作中，徐光啟所扮演的角色是『筆受』，至於來自義大利的耶穌會士利瑪竇 (Matteo Ricci) 則是『口譯』。因此，如果說利瑪竇在羅馬學院 (Collegio Romano) 接受丁先生的指導，受過很好的數學訓練，那麼，徐光啟是否擁有相稱的算學能力呢？而且，他是否理解西方（論理）幾何學呢？事實上，前者可以徵之於徐光啟自己的算學著述，至於他的〈幾何原本雜議〉，則可以佐證他對本書嚴密邏輯結構之心領神會。其中有多條常被數學史著述所引述，我在講解時一筆帶過。另外，我則是特別說明底下二則論述之意義： (1) 本書『能令學理者袪其浮氣，練其精心』（第一則）；(2)讀者初覽此書，「疑奧深難通，仍謂余當顯其文句」，於是徐光啟勉勵他們「請假旬日之功，一究其旨，即知諸篇，自首迄尾，悉皆顯明文句。」（第八則）前者似乎意在突顯幾何學訓練的『修心養性』功能，這當然有賴於後者所強調的《幾何原本》知識結構中的『首尾一貫』與『顯明文句』。針對後者，徐光啟還指出：「凡人學問，有解得一半者，有解得十九或十一者。獨幾何之學，通即全通，蔽即全蔽，更無高下分數可論。」（第三則）

（一）界說

        在〈界說三十六則〉中，我首先說明『界說』與『幾何府屬』二個名詞之意義。其中『界說』之為用 —「凡造論，先當分別解說論中所用名目，故曰界說」，是否也呼應了中國明代晚期算學著述體例，還有待深入研究。此外，『府屬』應是 “category” 之中譯，如此一來，『幾何』當是 “magnitude” 之意譯，而非 “geo” 之音譯，因為「凡曆法、地理、樂律、算章、技藝工巧諸事，有度有事者，皆依賴十府中，幾何府屬。」

    現在，針對幾個『界說』作一點說明。第一界：「點者，無分。」它準確地對應了 Heath (1956) 版的『定義 I.1』: “The point is that which has not part.” 不過，後者卻沒有前者的『備註』：「無長短廣狹厚薄。」第二界：「線，有長無廣。」也『忠實地』呈現了 Heath (1956) 版的『定義 I.2』。所不同的，還是前者的『備註』：「試如一平面，光照之，有光無光之間，不容一物，是線也。真平真圜相遇，其遇處止有一點，行則止有一線。」儘管我們目前無法核對此這些備註的中譯忠實性（相較於 Clavius (1574, 1591) 版），然而，它們出自丁先生的教學考量，當無疑問。第四界：「凡直線止有兩端，兩端之間，上下更無一點。」其備註如下：「兩點之間，至徑者，直線也，稍曲則繞有長矣。直線之中點能遮兩界。凡量遠近，皆用直線。」這似乎也頗能呼應 Heath (1956) 中的『定義 I.4』: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.” 第五界：「面者，止有長有廣。」其備註如下：「一體所見為面。凡體之影，極似於面。想一線橫行，所留之述，即成面也。」其中徐、利兩人還以「無厚之極」來補充說明『極似於面』之比喻。

   按『無厚』一詞出自先秦墨、名二家，公孫龍有所謂「無厚不可積也，其大千里」之命題。這種借用中國古代數學名詞的手法，也見諸於『第四求』：「設一度於此，求作比度，較此度或大或小。」（所謂度者，或線或面或體皆是）在其『備註』中，丁先生比較了『度』（按即 magnitudes）與『數』（按即 numbers）的不同，從而將『度者，可以長亦可以短』中的『短者減之，亦復無盡』之命題，關聯到「莊子稱一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。為甚麼呢？「自有而分，不免為有，若減之可盡，是有化為無也，猶可言也。令已分者，更復合之，合之又合，仍為尺棰，是始合之初，兩無能并為一有也。兩無能并為一有，不可言也。」徐利兩人未進一步說明最後一句，可見它的確是『不可言也』。

    回到第七界：「平面，一面平，在界之內。」其『備註』說：「平面中間線，能遮兩界。平面者，諸方皆作直線。試如一方面，用一直繩施於一角，繞面運轉，不礙不空，是平面也。若曲面者，則中間線不遮兩界。」這兩者的結合，也可以呼應 Heath (1956)『定義 I.7』: “A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.” 第八界是關於平面的角 (plane angle) 的定義（「平角者，兩直線於平面縱橫相遇交接處。」），其中一個備註指出：「如上（附圖）甲乙、乙丙二線，平行相遇，不能作角。」亦即：今日所謂的『平角』（度量為180度）對於本書而言，並非一角。可見，今日國中數學教科書中的『平角』，應該是十九世紀中葉之後歐洲中小學數學教育逐漸普之後，所引入的一個新的概念。至於何以有此必要，似乎值得大家一起來省思。

    有關圓形及其相關幾何量之定義，則出現在第十五－十八界。其中在第十五界圓（圜）的定義之備註中，丁先生也提供了『操作定義』(operational definition)：「一說圜是一形，乃一線屈轉一周復於元處所作。」顯然這是為了教學的考量。

    這種風格在中譯名詞方面有時難以維持。第二十界：「在三直線界中之形，為三邊形。」據此，第二十三、二十四、二十五、二十六、二十七、二十八界分別提供了平邊三角形（即：正三角形或等邊三角形）、兩邊等三角形（即：等腰三角形）、三不等三角形（即：三邊不等三角形）、三邊直角形（即：直角三角形）、三邊鈍角形（即：鈍角三角形）、三邊各銳角形（即：銳角三角形）。從定義的表面形式來看，後五者不能說是第二十界的衍生物，這對於學習者，尤其是初學者來說，一定帶來不小的困擾才是。至於第二十九、三十、三十一、三十二界，分別提出正方形（直角方形）、長方形（未敲定名詞，Clavius (1591) 亦然）、菱形（同前）、平行四邊形（同前）。然後，在第三十三界中，將以上四種方形稱為『有法四邊形』，其他則皆謂之『無法四邊形』。最後這則中譯從何而來，還有待研究。

   『第三十四界』是有關平行線的定義：「兩直線於同面行至無窮，不相離亦不相遠，而不得相遇，為平行線。」若將此一定義對照『第十一論』：「有二橫線，或正或偏，任加一縱線。若三線之間同方兩角，小於兩直角，則此二橫直線，愈長愈相近，必至相遇。」其中有關『無限』之翻譯，顯然並不一致！請徵之於 Heath (1956)『定義 I.23』: “Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.” 並對照 Heath (1956)『設準 5』: “(Let the following be postulated:) That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.” 就這兩個述句中同樣語意的 “indefinitely produced”來說，歐幾里得對於『無限』的迴避態度，可以說是始終如一了。在此，讓我們再引述丁先生的拉丁文原文如下：

                Definitione XXXIV: Parallelae recte linea sunt, que cum in doem sint plano, & ex utraque parte in infinitum producentur, in
         neutram sibi mutuo incidunt.

                      Communes notione XIII: Et si in duas rectes lineas recta incidens, internos ad easdem que partes angulos duobus rectis minores
                faciat, dueille recte in infinitum producte sibi mutuo incident ad eas partes, ubi sunt anguli duobus rectis
                minores.  

讓有興趣的貼近文本的讀者，可以通過查閱字典作一個對比。此外，在本論之後的備註，也很值得引述：「欲明此裡，宜察平行線不得相遇者（界說卅四）。加一垂線，即三線之間，定為直角，便知此論。兩角小於直角者，其行不得不相遇矣。」

（二）〈求作〉與〈公論〉

    由上一節的討論，可知《幾何原本》與其 Clavius (1574) 拉丁文母本中的第一冊之界說、求作與公論，都與 Heath (1956) 不同。就『界說』的數目而言，前二者共有三十六則，而 Heath (1956) 則有二十三則。差異之處在於：前二者的第十九〜二十二則，在後者中併為第十九則；前二者的第二十三〜二十五則，在後者中併為第二十則；前二者的第二十六〜二十八則，在後者中併為第二十一則；前二者的第二十九〜三十三則，在後者中併為第二十二則。前二者的第三十四則（即平行線之定義），為後者之第二十三則（亦即：第一冊之最後一則）。至於第三十五、三十六兩則，是丁先生所額外添加的內容。根據荷蘭漢學家安國風的研究 (Engelfriet, 1998, pp. 168-169)，這兩則定義完全是為了幫助讀者理解『定理 I.43』而設。

    在〈求作〉方面，相較於 Heath (1956) 的五則，《幾何原本》與其 Clavius (1574) 拉丁文母本共有四則，而且只有第一、二、三求相同。Heath版的的第四則『設準』，在後兩書中被安排成為〈公論〉中的「第十論」：「直角俱相等」，至於前述平行設準，即Heath 版中的『設準五』，在後兩書中則被移到〈公論〉『第十一論』之中。至於〈求作〉中的『第四求』（已見前引述），則是丁先生所添加。至於上引徐、利二人之註解，反映了他們對於『無限（小）』的看法，還有待史家深入探索。另一方面，有關《幾何原本》中對〈求作四則〉的說明 —『求作者，不得言，不可作』，安國風接受法國漢學家兼數學史家馬若安 (Jean-Claude Martzloff) 的建議：針對『所求作的圖形』，我們不可能說它不能作得出來 (It is impossible to say that it cannot be done.)。這種理解在徐光啟自己的數學著述中，當然也得到呼應，我們以後再談。

    在〈公論〉方面，第一、二、三、八、九論分別與 Heath (1956) 的五個 “Common Notions” 相同。第十一、十二論如前所述，原是設準四、五所移置的結果。其他如第四〜八論，都可以說是前三論的衍生物，第十四〜十九論的情況也類似，至於第十二、十三論分別涉及直線的性質，譬如「兩直線，不能為有界之形」，「兩直線，止能於一點相遇」，也有一些相關的歷史演化，由於相當複雜，需要專文才能說個明白！總之，在解說本節題旨時，《幾何原本》強調了『公論』的特性：「公論者，不可疑」。在此，著者、譯者至少都指出了『公論』與『求作』的不同，值得數學教育工作者注意。

（三）《幾何原本》第一卷：第一 ∼ 十二題

    本卷之題數一如 Heath (1956) Book I。茲就體例之差異，提供一點起碼的說明。針對『求作』（即：幾合作圖題）的命題（如：第一、二、三題）而言，《幾何原本》的體例一定列出『法曰』一項，以便說明作圖過程，此外，再繼以『論曰』，亦即『證明』。最後，再額外提供一個『（其）（又）用法』，有時是比較簡便的幾何作圖，不過，有時涉及後面的命題，作者會強調『此法今未能論』。然而，在 Clavius (1591) 與 Heath (1956) 版中，『作圖』與『證明』完全連在一起，不作任何區隔，此外，後書甚至也不提供另類『作圖方法』。因此，前書中的『用法』(praxis) 應該是十六世紀的產物。

    另一方面，如果是純粹的證明題，則《幾何原本》一定列出『解曰』一項，以便依據附圖（包含其記號），來解釋命題之意義。然後，再繼以『論曰』（證明）。這種體例上的分隔，在 Clavius (1591) 與 Heath (1956) 中也未出現。此外，《幾何原本》中有一些命題之後，會補上『增（題）』或『系（題）』，顯然出自 Clavius (1591) 中的 “Corollarium”，可是，卻未曾在 Heath (1956) 中現身。

    在有關『論證』的說明中，徐、利二人特別在『第一題』『論曰』後備註說：「凡論有二種，此已是為論者，正論也。下倣此。」並且在『第四題』『論曰』後也加註說明：「此以非為論者，駁論也。」這種『正論』、『駁論』的具體說明，究竟是否（或如何）影響明末清初以後的中國人的思維模式，則有待進一步探索。

    在命題的內容方面，我特別著重說明第一題（『於有界直線上，求立平邊三角形』）的『求作』之開宗明義，與第五題（『三角形若兩腰等，則底線兩端之兩角等，而兩腰引出之，其底之外兩角亦等。』）在學習認知上的意義。

（四）《幾何原本》第一卷：第四十三 ∼ 四十八題

    在這些命題中，第四十三∼四十五題論及『面積貼用』(application of area) 之概念，可能是為了第二冊的命題之證明作準備。令人不解的是，這一方法並未應用在『畢氏定理』（即第四十七題）的證明上，儘管此一證明後世稱作『面積證法』，與另外兩個證法（即『弦圖證法』與『比例證法』）鼎足而三。在 Clavius (1591) 中有一些『增題』，顯然是他自己所添加的內容，最好的證據，莫過於第四十七題的第四增題，其內容亦即：「已知直角三角形的兩股長，求斜邊長」。值得注意的，是《幾何原本》也將此一問題之解法冠以『法曰』。此外，針對此一解法，原書也加註：『此以開方盡實者為例。不盡實者，自具算家分法。』。

    茲將本卷最後這幾個命題內容抄錄如下，以供大家參考：

第四十三題：凡方形對角線旁兩餘方形，自相等。

第四十四題：一直線上，求作平行方形，與所設三角形等，而方形角有與所設角等。

第四十五題：有多邊直線形，求作一平行方形，與之等，而方形角有與所設角等。

第四十六題：一直線上，求立直角方形。

第四十七題：凡三邊直角形，對直角邊上所作直角方形，與餘兩邊上所作兩直角方形，并等。

四增（題）：三邊直角形，以兩邊求第三邊長短之數。

四、參考文獻

Clavius, Christophorum (1591). Euclidis Elementorum Libri XV. (本書複本承摯友馬若安博士致贈，謹此致謝。)

Engelfriet, Peter (1998). Euclid in China: The Genesis of the First Translation of Euclid’s Elements in 1607 & its Reception up to 1723. Leiden / Boston / Koln: Brill.

Heath, Thomas L. (1956). Euclid: The Thirteen Books of the Elements. New York: Dover Publications, INC.

Katz, Victor (1993). History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCollins College Publishers.

Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press.

洪萬生 (2001).〈貼近《幾何原本》與HPM的啟示：以『驢橋定理』為例〉，刊於網頁：http://www.math.ntnu.edu.tw/~horng.