《幾何原本》（二）文本研讀內容摘要

台師大數學系碩士班研究生 林倉億

一、版本

明代初刻本 (1607年) 之1611年『再校本』，現藏上海博物館與上海圖書館。上海文物管理委員會於1983年依據上述『再校本』，影印發行。

二、研讀文本

            1.《幾何原本》第三卷：界說第一、二、三、七、八則；第一、二、十三、十六題。

2.《幾何原本》第四卷：第十、十一、十二、十六題。

3.《幾何原本》第五卷：界說第一、三、五、六、八、二十則；第五題。

4.《幾何原本》第六卷：界說第一、三則；第一、四、十三、十八、三十題。

三、研讀內容摘要

   《幾何原本》第三卷主要是在論圓，計有十則界說，三十七題命題。在《幾何原本》第一卷的第十五至十八界中，已對圓、圓心、徑線（即直徑）與半圓作了定義，所以第三卷就不再定義這些名詞。在第三卷中，比較值得注意的是與切線有關的界說與命題。第二界是在定義何謂切線：

凡直線切圜界，過之而不與界交，為切線。

至於何謂「過之而不與界交」？其備註作了說明：

甲乙線，切乙己丁圜之界以乙，又引長之至丙，而不與界交，其甲丙線全在圜外，為切線。

意即與圓有交點且整條線全在圓外的線，就是切線。《幾何原本》對切線的定義與今日常見的定義：「與圓僅相交一點的直線。」並不相同，不過，今日的定義倒是可由第三卷的第二題推出。第二題是：「圜界任取兩點，以直線相聯，則直線全在圜內。」因此，由界說二及第二題，我們可以輕易地推得切線必與圓僅相交一點，而此性質亦被編入第三卷第十六題的系。

至於第三卷的第十六題，則是筆者認為是整卷中最為有趣的一題：

圜徑末之直角線全在圜外，而直線偕圜界所作切邊角，不得更作一直線入其內，其半圜分角大於各直線銳角；切邊角小於各直線銳角。

現用今日的符號與術語，將此題的題意分為四個部分，並請參見圖一：

        (1)       AB為圓O的直徑，直線AD與直徑AB垂直，則直線AD全在圓外。

        (2)       切邊角BCAD即由BCA弧與AD線段所構成之角，且無法在切邊角BCAD之中插入任何直線（意即：若E為切邊角BCAD內任一點，則AE
         線段必與BCA弧相交兩點）。

        (3)       切邊角BCAD的半圜分角（即AB直徑與ACB弧所成之角BAC）必大於任何的直線銳角（即兩夾邊皆為直線的銳角）。

        (4)       切邊角BCAD小於任何的直線銳角。

其中，切邊角的大小與性質，長久一來一直是西方數學家十分感興趣的問題（見Heath, 1956, Vol.2, pp. 39-43），而這也反映在此題之後的「難曰」之中。「難曰」主要是先對切邊角提出兩點質疑，然後再作解釋。這兩點質疑是：為何切邊角不能被二分？若切邊角小於任一直線銳角，那麼切邊角存在嗎？對於前者，書中解釋的大意是，切邊角只是不能被直線二分，但卻可以用圓弧來二分、三分……等等。至於後者，書中的回答就十分耐人尋味了：

彼所言大小兩幾何者，謂能相較為大、能相較為小者也，如以直線分直線角、以圜線分圜線角是已，此切邊角與直線角豈能相較為大小哉！

言下之意，切邊角與直線角是屬於不能相較大小的兩類，那這豈不是與第十六題的敘述「切邊角小於各直線銳角」明顯地矛盾！對此，筆者十分好奇，為何利瑪竇、徐光啟在翻譯時未能察覺這麼明顯的矛盾？還是說他們對此有另一種的說法或看法？無論是哪一種情況，都有待更進一步的研究。

《幾何原本》第四卷主要是討論圓內接多邊形與圓外切多邊形，計有界說七則，命題十六題。其中第十一題與第十二題分別求作圓內接與圓外切正五邊形，第十六題則是利用圓內接正三角形與正五邊形來作圓內接正十五邊形，並在之後的「注曰」中提到：「依此法可設一法作無量數形。」

《幾何原本》第五卷則是與比例有關的內容，計有界說二十則（在原第十九則之後還增加一則），命題三十四題。此卷所談的比例，與今日的比例並不全然相同，例如第三界「比例者，兩幾何以幾何相比之理」，則界定了必須是同類的幾何量才可以相比。舉例來說，面積就只能和面積相比，而不能和體積相比，因為面積與體積是不同類的。又如第五界「兩幾何，倍其身而能相勝者，為有比例之幾何」，則又對能成比例的幾何對象設限，其在此界的備註中也特別指出：『切邊角與直線角是不能成比例的』，因為無論切邊角增加多少倍，它都無法大於直線角。所以，從今日的角度來看，第五界排除了類似「0：3」的情形。至於第六界：

四幾何，若第一與第二偕第三與第四為同理之比例，則第一、第三之幾倍偕第二、第四之幾倍，其相視或等、或俱為大、或俱為小，恆如是。

則定義了（以今日的符號來表示）a：b＝c：d，其意思是對任意的正整數m、n，當ma、nb的大小關係與mc、nd的大小關係皆一致時，則稱a：b＝c：d。今日在判斷a：b是否等於c：d時，最直接、簡便的作法，就是計算a與d的乘積是否等於b與c的乘積，但這種作法在第五卷中是行不通的，例如當a、b、c、d都是面積時，面積與面積的乘積並不是一個幾何量，於是，也就無法據以判斷是否成比例了。

至於利瑪竇與徐光啟所翻譯的最後一卷，也就是第六卷，亦是與比例有關的內容，計有界說六則，命題三十三題。《幾何原本》第五卷的內容是在討論比例的基本性質，第六卷則是討論一個幾何圖形之中、或是兩個幾何圖形之間成比例的線或面。例如第一題是「等高之三角形、方形，自相與為比例，與其底之比例等。」第十三題則是求作給定兩直線的比例中項：「兩直線，求別作一線為連比例之中率。」至於第十九題以後，則是多與相似形有關的命題。

四、參考文獻

Heath, Thomas L. (1956). Euclid: The Thirteen Books of the Elements. New York: Dover
Publications, INC.