人文社會科學史料典籍研讀會之《測量全義》導讀

台師大數學系在職進修碩士班 麗山高中 彭君智老師

                      一、緣起

治元13年（西元1276年），元軍攻下南宋首都臨安城（今浙江杭州），隨後於大都（原名燕京，今北京）定都，並設立行省制度，大一統局面大抵告成，獨缺可統一頒行全國的曆法。同年夏末，元世祖忽必烈（1260∼1294）親督設立一個專門編制新曆的機構 -- 太史局，徵調剛從督水監轉任工部郎中不久的郭守敬（1231∼1316）入局，與太史局總負責人張文謙、「算數冠一時」的王恂、「明達曆理」的許衡等人一同編曆。編曆工作在郭守敬「曆之本在於測驗，而測驗之器莫先儀表」的觀點下進行，歷經四年，於治元17年（西元1280年）完成《授時曆》。

明初洪武肇興，因循《授時曆》前制，改成新包裝 --《大統曆》頒行全國。不過，由於禁止民間熟習曆法，再加上當時「司天監」之功能僅限於考驗交食，故曆法自元至明久頒未修，已經不起考驗。終於，在「崇禎二年（西元1629年），推日食不驗，禮部乃始奏請（宣武門外）開局修改，以光啟（1562∼1633）領之」，其他修曆主導者先後有太僕寺少卿李之藻（1565∼1630）、光祿寺卿李天經（1579∼1659，徐光啟奏請的接班人）及西洋耶穌會傳教士龍華民（Longobardi Nicolas 1559∼1654）、鄧玉函（Terrenz Jean 1576∼1630）、羅雅谷（Jacques Rho 1593∼1638義）、湯若望（Schall von Bell Johann Adam 1591∼1666 德）等人。曆法編修前後歷時五年，所成書目分五次恭呈御覽，共計137卷為《崇禎曆書》。

本書內容涵蓋基本五目（法原、法數、法算、法器、會通）與節次六目（日躔、恆星、月離、日月交會、五緯星、五星交會），其效用則為「著定交食七政各有二百恆年表，可為二百年內推算之法；又有太陽、太陰永年表，可為千百年後再算之根；又各有歷指以析諸行之理；并究舊法所以差繆之原，頗明且盡」。其中羅雅谷譯撰的《測量全義》10卷，見於崇禎四年（1631）八月初一日第二次進呈書目之首。

二、版本

崇禎17年（1644）清兵入關，湯若望將《崇禎曆書》刪修為《西洋新法曆書》103卷進獻請降（自此，傳教士第一次進駐欽天監）。至乾隆37年（1772）開四庫全書館時，才又參考當時編曆奏疏及考測辯論之事，於書首增添8卷「緣起」，最後增刪為《新法算書》100卷。

由於實際收藏於中研院傅斯年圖書館《西洋新法曆書》木刻善本版之《測量全義》僅有8卷，故此次導讀文本，採用完整且較易取得的景印《文淵閣四庫全書》手抄版第789冊（頁579∼748）之子部《新法算書》卷87-96。（由台灣商務印書館發行）。

                    三、內容       

書首〈敘目〉開宗明義，即道出本書所論乃『法原』與『法器』之屬的度數之學，其大體輪廓如下：

《測量全義》十卷，前九卷屬法原，後一卷屬法器，法原者，法之所以然也」，而「歷法之原有二」，「此書所論則推測之原也」，至於「古今言推測者又有二」，「此所論者，又綴術也！」，其中「綴術之用又有二」，「曰量法也」、「曰算法也」，因此「歷象之家兼用二法，如鳥之傅兩翼也，則無所不可之矣！

茲將〈敘目〉所提「曆法之原」所涵蓋的內容，以下表呈現：

另外，參對《新法算書》與《西洋新法曆書》版本目錄如下：

我們著重【探討】以下幾點：

（1） 「惠綴之術」一詞應源自沈括（字存中，北宋錢塘人1031∼1095）。而「總物以為度，其幾何大」的「量法」，即今研究 magnitude的幾何學；「截物以為數，論其幾何眾」的「算法」即今研究number的代數學與算術學。

（2） 敘目中提及《測天約說》、《大測》、《七政本論》、《弧矢算術》與《測圓算術》等書，其中《測天約說》2卷與《大測》2卷見於崇禎四年（1631）正月二十八日第一次進呈書目，由鄧玉函編撰，湯若望修訂，今分別收編於《新法算書》11、12卷與9、10卷。至於「七政」，自古即是日、月與水、金、火、木、土五星之總稱。而《七政本論》、《弧矢算術》與《測圓算術》目前未查得相同之書目。後兩者可能是明代數學家顧應祥所撰。

四、 界說

〈敘目〉之後，便是與現今三角函數有關的23則界說。之後在第四卷之首，則列有與面有關的十三則『界說』。至於第六卷提要之後，雖無界說之名，卻有（與體有關的）界說之實，其餘各卷則不見界說之蹤跡。

有關第一卷『界說』23則，我們探討了以下問題：

（1）《新法算書》的界說緊接於敘目之後，然後才是第一卷，而《西洋新法曆書》則將此界說融入第一卷之首，此與《幾何原本》排序相同，前者是否因未留意而於次序抄錄上有誤，待查。

（2） 異於現今課堂上從直角三角形三邊的比例或從角的函數對應著手，早期的三角學從圖形上圓與角和半徑的對應來定義「八線」，如此多樣的教學進路，值得教師們多方參酌。又圖形上的半徑習慣以十萬為全數（界說18），與現今的『單位圓』概念不同，故查表所得數據皆為整數，此等迴避小數的動作，或可顯現出人類「數系發展歷程」的一個縮影。

（3）1- 3「通弧之相當線」中，「相當」一詞的引用，意指相對應，而非相等。

（4）1- 4「圈徑」（今直徑）出現雙重解釋，不僅是圈內線「極大」，還要「過心」。

（5）1- 8對「徑之半」以「全弦」名之，然而文後仍習以「半徑」一詞用之。而「象限弧之正弦」中已出現sin90^o，推測本書所以如此輕易就跨越銳角三角的鴻溝，應歸功於「八線」的定義。

（6）1-9「直線角」即今之圓心角。

（7）1-16∼1-21分別以多例談「假設法」的使用，是否為現今數學解題中「設未知數或已知數」的鼻祖？待查。

（8）「平形」一詞未見後文用之，似乎與今日「正方形」、「長方形」或「矩形」相通。

（9）本卷界說另在七、八、九卷有寬廣的舞台演出。

有關第四卷之界說13則，我們探討了如下問題：

（1） 多處內容與《幾何原本》卷一36則界說有交集，但卻似乎是此一時、彼一時的各行其事。「討論、潤色原擬多用人員，今止臣一人，每卷必須七八易稿」，徐光啟在這方面的把關標準或許值得玩味。

（2） 關於「有法之形」、「無法之形」的「法」字，多數時候純指 “regular”，但常常“uniform ” 嘛ㄟ通，有機會應校對其翻譯母本的原文。（第六卷「有法之體」、「無法之體」與此同）。

（3） 4-7最後出現4-12定義的「中長線」，有無違反界說本身的遊戲規則？又中國自古以三為多，此「四界之面」特為列出，應是考量實際需求。

（4） 4-9「定度者」與4-10「量算」較不像界說“term”的味道。而量算中，「240方步為畝」與《九章算經》「以畝法二百四十步」同，至於「25方尺為步」出自何處？待查。

（5） 4-11「中垂線」與現今國中「垂直平分線」之簡稱所指迥異。

（6） 4-13「直線為有法形之徑」後文未見用之。

有關第六卷之界說無明確區別，今仿第四卷分為12界，茲探討如下：

（1） 6-1「體者，面之積」。按徐光啟在《幾何原本》界說五不僅說「面為無厚」，還要強調「之極」，此處卻又接受「面之積」的操作定義，兩種截然不同的想法是衝突？還是併行不悖？另「面為線之積」vs.「面者，有長無廣」與此同。

（2） 6-6另有註解「因角體之面無定數，故左方不列其名」，將角錐視為「公法」不多贅述。

（3） 6-5、6-7∼6-10引進五種正多面體，另有「《幾何原本》一十一卷詳解其理」之註解，至於其他如角柱（prism）、反角柱（anti-prism）則以「有法之體」概括而未加詳述。

                    五、  體例（體例結構與定理引用未按實際出現先後次序排列，「＊」後數字為出現次數）

茲探討如下：

（一）關於書目

（1）《圜書 (Measurement of the Circle)》、《圓球圓柱書 (De Sphaera et Cylindro)》皆亞奇默德（Archimedes, 287?∼212 B.C., 今譯阿基米德）著，《籌算》見納皮爾（Napier, 1550∼1617英）計算器。

（2）《幾何原本》、《勾股義》源於徐光啟。

（3）《曆指》、《交食曆》、《揆日定訛》、《恆星曆指》俱見《崇禎曆書》。若依進呈書目的先後次序而言，《月離曆指》、《交食曆指》與《五緯曆指》皆為第三、三、四次所進書目，而《交食曆》的出現應是同步編修的關係，遂在此（第二次進呈書目）提及。

而此處《曆指》有可能是指《恆星曆指》、《日躔曆指》、《月離曆指》或《交食曆指》，待查。

（4）《勾股索隱》、《幾何用法》、《算章》、《幾何論》、《圓球原本》、《宗動天》、《右弧矢儀說》、《幾何法》、《表度說》、《圭表說》，目前未查得相同之書目。

（5） 關於《幾何用法》、《幾何論》、《幾何法》可能都是指艾儒略（1582∼1649）口譯、瞿式谷（清）筆授，仿照《幾何原本》前四卷所重新改寫，後被湯若望加進《西洋新法曆書》的《幾何要法》，此書是否因為徐光啟本身的關係而被剔除在《崇禎曆書》之外，待考證。

（二）關於體例與定理引用

（1） 綜觀古今歷史，曆書的編修多出自政治考量，以徐光啟的特殊經歷而言，是否在治本（透過欽天監發展科學學術並教導監生學習）與治標（政令宣導）的把關監控之間尋得平衡點，值得細究。

（2） 十卷內容的體例撰寫盡量延用《幾何原本》的模式，然而彼此格式像是什錦燴飯，統一度不高，曆書編撰雖由徐光啟領之，但光啟已年邁困疾（他在觀象台考驗時，「不意偶然失足，顛墜台下，致傷腰膝，不能動履」），其憂心在奏疏的字裡行間，已表露無遺：「目下算數、測候、謄寫員役雖不乏人，而釋義、演丈、講究、潤色、較勘、試驗獨臣一身，即使強健逾人尚苦茫無究竟，況今疾困支離，臥病一日則誤一日之事，……，其理義甚奧而鰿，法數甚曲而繁，非集思廣益，何能速就？況臣既衰且病，不得不瀆臣於聖明之前也！」

（3） 全書前後的結果常常自我引用，其邏輯論證體系可說是儘可能模仿《幾何原本》。不過，由於十卷所涵蓋的數學內容實在太廣，故無法自成一格，即或只是引述書目，就已超出徐光啟所掌握的《幾何原本》卷一至卷六的內容。又各題出現「解曰」、「論曰」、「法曰」體例不一，其出現與否的時機也值得探討。另值得注意的，是某些公式的引用（如正弦定理）常是不勝其煩的全盤托出，而不註明是第幾卷第幾題。同時，定理本身也缺少證明。更有甚者，是出現前文引「後果」（卷七：六問詳見後篇）、無須證明（卷七：此二類自明無論。卷八：免算），或是交代不清的情況（卷七：見別卷。卷八：另卷有本表及其用）。凡此種種，應當是徐光啟心有餘而力不足吧！

（三）關於各卷

（1） 〈敘目〉中，編者對三角形下了一個操作定義：「三角形繇兩視線、一徑線。徑線者，所測物之廣也，徑之兩端出兩直線，入交於目睛之最中而成形。」同時，也再次與《幾何原本》呼應，強調學習數學可以修養心性：「習之奈何？習手與目以求其貫也！習心與意以求其信也！不習、不貫，未有能信者也！習且貫，未有不信者也！」

（2） 第一卷出現不少三角函數的公式，如正弦定理、和差化積等，徐光啟如何面對這些只套用結果卻不論其證明的數學知識？而關於海龍公式更有一番長篇大論的說明，頗值得考古。

（3） 卷二、卷三透過「象限儀」、「矩度」、「矩尺」等儀器說明各種測量高、深、遠、廣的處理與計算，若仔細區分，將發現這些原本放諸四海皆準的簡儀，似乎都有其習慣的使用時機。而卷十的內容，也不僅止於介紹儀器，其間尚夾雜「論曰」，甚至還有「按」，由此可見，編修者的出發點著實不單純。

（4） 卷三末附有「割圓八線小表」（15分為單位），應是配合卷二與卷三各種測量所需，而《新法算書》卷81、82，則另闢有以1分為單位的「割圓八線表」。

（5） 卷四對於正多邊形之介紹依序為「量四邊形」、「量三邊形」、「量多邊形」，與今日中小學從正方形著手引進各種面積公式的方法相同。而其間所碰觸到的有理數、無理數則給了「能發之根」、「不發之根」的特別名稱。另有「駁曰」來辨證舊法、古法之謬誤。

（6） 卷五引進圓面積的證明及阿基米德的《圜書》與《圓球圓柱書》，但是，此一數學知識的引進，對中算家而言似乎未激起任何漣漪。而文中對於古法「徑一周三」、「周自之，十二而一」以及「徑自乘，三之四而一」，則給予「究舊法所以差繆之原」，但對於圓周率求得更精確位數一事，卻又覺得是畫蛇添足，多此一舉：「徑與周之比例，古士之法如此（指阿基米得的3 與3 ），今士別立一法，其差甚微，然子母之數積至二十一字為萬億億，難可施用」，從π的發展史來看待此一歷史插曲，值得深思。

（7） 第六卷提要對於關乎日、月、星等天文測量之事，何以要先研究點、線、面、體的「測量之全義」（本書名稱緣由）有一番充分的解釋，值得咀嚼。而對於體的介紹，多有《九章算》之例，如「委粟」的倚垣、外隅、內隅、「塹堵」、「陽馬」、「虌臑」等，而對於立體幾何興趣不大，五種正多面體的引進只因是「有法之體」，其用則單純為「比例之法」。（直到梅文鼎才在《幾何補編》中揪其繆誤，同時還還討出幾個阿基米德立體的演變）

（8） 關於七、八、九卷的球面幾何知識，值得入門一探。

（9） 卷10出現「地球」一詞，對當時的中土學者而言，「天圓地方」的世界觀，是否已很自然而然地轉化為古老的「神話傳說」，其演變歷程待研究。右圖為摘錄自《古今圖書集成》的北京古觀象台。

                    六、 參考資料

（1） 洪萬生 (2002).〈《幾何原本》（一）文本研讀內容摘要〉，《HPM通訊》第五卷第四期http://math.ntnu.edu.tw/~horng

（2） 陳遵嫣、湛穗豐 (1995).《中國天文學家的故事》，台北：銀禾文化事業有限公司。

（3） 梅榮照主編 (1990).《明清數學史論文集》，江蘇：江蘇教育出版社。