人文社會科學史料典籍研讀會之《測量全義》導讀

台師大數學系在職進修碩士班 麗山高中 彭君智老師

                      一、緣起

治元13年(西元1276年),元軍攻下南宋首都臨安城(今浙江杭州),隨後於大都(原名燕京,今北京)定都,並設立行省制度,大一統局面大抵告成,獨缺可統一頒行全國的曆法。同年夏末,元世祖忽必烈1260∼1294)親督設立一個專門編制新曆的機構 -- 太史局,徵調剛從督水監轉任工部郎中不久的郭守敬(1231∼1316)入局,與太史局總負責人張文謙、「算數冠一時」的王恂、「明達曆理」的許衡等人一同編曆。編曆工作在郭守敬「曆之本在於測驗,而測驗之器莫先儀表」的觀點下進行,歷經四年,於治元17年(西元1280年)完成《授時曆》。

明初洪武肇興,因循《授時曆》前制,改成新包裝 --《大統曆》頒行全國。不過,由於禁止民間熟習曆法,再加上當時「司天監」之功能僅限於考驗交食,故曆法自元至明久頒未修,已經不起考驗。終於,在「崇禎二年(西元1629年),推日食不驗,禮部乃始奏請(宣武門外)開局修改,以光啟(1562∼1633)領之」,其他修曆主導者先後有太僕寺少卿李之藻(1565∼1630)、光祿寺卿李天經(1579∼1659,徐光啟奏請的接班人)及西洋耶穌會傳教士龍華民(Longobardi Nicolas 1559∼1654)、鄧玉函(Terrenz Jean 1576∼1630)、羅雅谷(Jacques Rho 1593∼1638義)、湯若望(Schall von Bell Johann Adam 1591∼1666 德)等人。曆法編修前後歷時五年,所成書目分五次恭呈御覽,共計137卷為《崇禎曆書》。

本書內容涵蓋基本五目(法原、法數、法算、法器、會通)與節次六目(日躔、恆星、月離、日月交會、五緯星、五星交會),其效用則為「著定交食七政各有二百恆年表,可為二百年內推算之法;又有太陽、太陰永年表,可為千百年後再算之根;又各有歷指以析諸行之理;并究舊法所以差繆之原,頗明且盡」。其中羅雅谷譯撰的《測量全義》10卷,見於崇禎四年(1631)八月初一日第二次進呈書目之首。

二、版本

崇禎17年(1644)清兵入關,湯若望將《崇禎曆書》刪修為《西洋新法曆書》103卷進獻請降自此,傳教士第一次進駐欽天監)。至乾隆37年(1772)開四庫全書館時,才又參考當時編曆奏疏及考測辯論之事,於書首增添8卷「緣起」,最後增刪為《新法算書》100卷。

由於實際收藏於中研院傅斯年圖書館《西洋新法曆書》木刻善本之《測量全義》僅有8卷,故此次導讀文本,採用完整且較易取得的景印《文淵閣四庫全書》手抄789冊(頁579∼748)之子部《新法算書》卷87-96。(由台灣商務印書館發行)。

                    三、內容       

書首敘目〉開宗明義,即道出本書所論乃『法原』與『法器』之屬的度數之學,其大體輪廓如下:

《測量全義》十卷,前九卷屬法原,後一卷屬法器,法原者,法之所以然也」,而「歷法之原有二」,「此書所論則推測之原也」,至於「古今言推測者又有二」,「此所論者,又綴術也!」,其中「綴術之用又有二」,「曰量法也」、「曰算法也」,因此「歷象之家兼用二法,如鳥之傅兩翼也,則無所不可之矣!

茲將〈敘目〉所提「曆法之原」所涵蓋的內容,以下表呈現:

 

 

象緯之原

(天事也)

「如《測天約說》所論百中之一二耳,其他散見於《七政本論》,會而通之,聊足著明矣!」

推測之原

(人事也)

 

可以形察、可以度審者

 

不可以形察、

不可以度審者

 

總物以為度,論其幾何大

 

截物以為數,論其幾何眾

 

另外,參對《新法算書》與《西洋新法曆書版本目錄如下

 

《新法算書》

西洋新法曆書

《新法算書》

西洋新法曆書

1

三角形(無卷名)

敘目、測直線三角形

6

    

     

2

測地與物(無卷名)

   

7

球面曲線形

測曲線三角形

3

測地與物(無卷名)

   

8

解正球上大圈相交之度分

測球上大圈

4

測面(無卷名)

   

9

     

     

5

圓面求積

   

10

儀器圖說

儀器圖說

我們著重【探討】以下幾點:

1) 「惠綴之術」一詞應源自沈括(字存中,北宋錢塘人1031∼1095)。而「總物以為度,其幾何大」的「量法」,即今研究 magnitude的幾何學;「截物以為數,論其幾何眾」的「算法」即今研究number的代數學與算術學。

2) 敘目中提及《測天約說》、《大測》、《七政本論》、《弧矢算術》與《測圓算術》等書,其中《測天約說》2卷與《大測》2卷見於崇禎四年(1631)正月二十八日第一次進呈書目,由鄧玉函編撰,湯若望修訂,今分別收編於《新法算書》11、12卷與9、10卷。至於「七政」,自古即是日、月與水、金、火、木、土五星之總稱。而《七政本論》、《弧矢算術》與《測圓算術》目前未查得相同之書目。後兩者可能是明代數學家顧應祥所撰。

四、 界說

〈敘目〉之後,便是與現今三角函數有關的23則界說。之後在第四卷之首,則列有與面有關的十三則『界說』。至於第六卷提要之後,雖無界說之名,卻有(與體有關的)界說之實,其餘各卷則不見界說之蹤跡。

有關第一卷『界說』23則,我們探討了以下問題:

1)《新法算書》的界說緊接於敘目之後,然後才是第一卷,而《西洋新法曆書》則將此界說融入第一卷之首,此與幾何原本》排序相同,前者是否因未留意而於次序抄錄上有誤,待查。

2) 異於現今課堂上從直角三角形三邊的比例或從角的函數對應著手,早期的三角學從圖形上圓與角和半徑的對應來定義「八線」,如此多樣的教學進路,值得教師們多方參酌。又圖形上的半徑習慣以十萬為全數(界說18),與現今的『單位圓』概念不同,故查表所得數據皆為整數,此等迴避小數的動作,或可顯現出人類「數系發展歷程」的一個縮影。

3)1- 3「通弧之相當線」中,「相當」一詞的引用,意指相對應,而非相等。

4)1- 4「圈徑」(今直徑)出現雙重解釋,不僅是圈內線「極大」,還要「過心」。

5)1- 8對「徑之半」以「全弦」名之,然而文後仍習以「半徑」一詞用之。而「象限弧之正弦」中已出現sin90o,推測本書所以如此輕易就跨越銳角三角的鴻溝,應歸功於「八線」的定義。

6)1-9「直線角」即今之圓心角。

7)1-16∼1-21分別以多例談「假設法」的使用,是否為現今數學解題中「設未知數或已知數」的鼻祖?待查。

8)「平形」一詞未見後文用之,似乎與今日「正方形」、「長方形」或「矩形」相通。

9)本卷界說另在七、八、九卷有寬廣的舞台演出。

有關第四卷之界說13則,我們探討了如下問題:

1) 多處內容與《幾何原本》卷一36則界說有交集,但卻似乎是此一時、彼一時的各行其事。「討論、潤色原擬多用人員,今止臣一人,每卷必須七八易稿」,徐光啟在這方面的把關標準或許值得玩味。

2) 關於「有法之形」、「無法之形」的「法」字,多數時候純指 regular”,但常常“uniform ” 嘛ㄟ通,有機會應校對其翻譯母本的原文。(第六卷「有法之體」、「無法之體」與此同)。

3) 4-7最後出現4-12定義的「中長線」,有無違反界說本身的遊戲規則?又中國自古以三為多,此「四界之面」特為列出,應是考量實際需求。

4) 4-9「定度者」與4-10「量算」較不像界說“term”的味道。而量算中,「240方步為畝」與《九章算經》「以畝法二百四十步」同,至於「25方尺為步」出自何處?待查。

5) 4-11「中垂線」與現今國中「垂直平分線」之簡稱所指迥異。

6) 4-13「直線為有法形之徑」後文未見用之。

有關第六卷之界說無明確區別,今仿第四卷分為12界,茲探討如下:

1) 6-1「體者,面之積」。按徐光啟在《幾何原本》界說五不僅說「面為無厚」,還要強調「之極」,此處卻又接受「面之積」的操作定義,兩種截然不同的想法是衝突?還是併行不悖?另「面為線之積」vs.「面者,有長無廣」與此同。

2) 6-6另有註解「因角體之面無定數,故左方不列其名」,將角錐視為「公法」不多贅述。

3) 6-5、6-7∼6-10引進五種正多面體,另有「《幾何原本》一十一卷詳解其理」之註解,至於其他如角柱(prism)、反角柱(anti-prism)則以「有法之體」概括而未加詳述。

                    五、  體例(體例結構與定理引用未按實際出現先後次序排列,「*」後數字為出現次數)

體例結構

     

1

17

3支* 3

4支* 3

解曰*18

論曰*07

法曰*19

又問* 2

又 增 題

#《幾何》1-5、8、10、18、32*2、34、47*3/2-6/3-3*3、15、20、26*2、27、30、35、36/5-8、15、18、同類、異類、反理、轉理/6-4、13/7-19。

#《全義》界說5、界說8/1-2。

# 書目:《勾股索隱》、《籌算》。

# 其他:「依邊與邊若角與角比例之法」(今正弦定理)、「再用前法」、「用加減法」、「依前論」、「用切割兩線」*8。

2

10

3支* 3

法曰*73

論曰*27

解曰*16

省算法*8

#《幾何》1-29、32*2/5-11/6-2、4*3。

#《全義》1-12-2。

# 儀器:象限儀、矩度。

# 其他:「因角與角之正弦若邊與邊」(今正弦定理)、「交立邊」*4、「交平邊」*5、「互交法」*3、「三率法」*3、「用切線」*6、「重表法」、「用正弦法」*5、「測遠法反用之」。

3

8

增題*5

  

  

法曰*3

# 儀器:象限儀、矩度、矩尺。

# 書目:《幾何用法》*2。

# 其他:「重表法」*3、「四表法」。

4

3

舊法*7

論曰*6

駁曰*3

解曰*3

法曰*4

  *3

#《幾何》1-26/7-17/14-12。

#《全義》1-6、15、16。

# 書目:「能發之根與不發之根之同類異類相乘之容方積詳見《勾股索隱》」、「形之邊為斷幾何:以邊數自之又加邊數半之為形之積,見《算章》遞加法」。

# 其他:「後第三題」、「用勾股法」。

5

9

解曰*4

論曰*5

  *5

1∼7圖

法曰*2

  

1∼5

1∼4

#《幾何》1-11、47/3-21、31、55/4-15/第6卷、6-1+增、2、3、19、33第十增/10-1/12-2。

# 書目:圜書》、《勾股義》。

# 人物:亞奇默德

# 其他:「三倍又七十之十則臑;三倍又七十一之十則盈」、「古設周問積法」、「古設徑問積法」、「量橢圓法」、「量體法」、「量面用法」、「變形法」、「截形法」、「借題」。

6

6

  *3

  

  

亞奇默德曰

默德法曰

  

#《幾何》5卷10界/11*2/12+7增題+系、32/13/14*2。

#《全義》5-2。

亞奇默德之1-31、1-32、1-40。

# 書目:《幾何論》、《圓球圓柱書》。

# 人物:亞奇默德。

# 其他三角形、平圓形、圭竇形、陶邱形、橢圓形。

7

52

  *41

論曰* 4

解曰*11

法曰* 5

1∼10設

1∼30求

1∼3法

古法

#《幾何》1-6、11、12、15/5卷+系+二系+解、5-19/6-4、10、14、17+系。

#《全義》7-3-13系、7-4+系+13系/8。

#《圓球原本1-21

# 書目:《圓球原本》、《宗動天》向上諸篇。

# 人物:古德阿多西阿Theodesius, 100B.C.)。

# 其他:「兩率之中率」、「此二類自明無論」、直角形、斜角形(六問詳見後篇)、不等形、斜角形、「因除法為繁,故約用乘法」、「三題十三系」、「前解」。

8

21

1∼3求

1∼5

  

法曰*7

1∼3

#《全義》7-1設、2設、3設、4設+23求、斜角形、8設3求。

# 書目:《曆指》、《交食曆》。

# 其他:「用前正球一題第三求」、「用三設之第三求」、「見別卷」、「另卷有本表及其用,免算」、「用直角第四設、第二設」、「依上第三題」、「見正球說」、「法見正球四題」。

9

17

法*5

法 曰

#《全義》7-5。

# 人物:馬日諾Antonio Magino, 1555∼1617)

# 其他「二求法見下第一假如」、「或用第二法」、「相易法」。

10

33

用法*7

論曰*4

  *4

1∼4測

分法*2

  

#《幾何》1-16/6-10。

#《全義》3增題、4、9

# 書目:《圭表說》、《揆日定訛》、《右弧矢儀說》、《幾何法3-20、《曆指》、《恆星曆指》、《表度說》。

# 人物:多祿某Ptolemy, Claudius Ptolemaeus, 170∼100B.C.)、日白耳(Gemma Frisius Reiner, 1508∼1555)、第谷(1546∼1601)、先儒丁氏(P. Christophus Clavius, 1537∼1612)

# 其他舊法第一章」。

 

茲探討如下:

(一)關於書目

1)《圜書 (Measurement of the Circle)、《圓球圓柱書 (De Sphaera et Cylindro)》皆亞奇默德Archimedes, 287?∼212 B.C., 今阿基米)著,《籌算》見納皮爾(Napier, 15501617英)計算器

2)《幾何原本》、《勾股義》源於徐光啟。

3)《曆指》、《交食曆》、《揆日定訛》、《恆星曆指》俱見《崇禎曆書》。若依進呈書目的先後次序而言,月離曆指》、《交食曆指》與《五緯曆指》皆為第三、三、四次所進書目,而《交食曆》的出現應是同步編修的關係,遂在此(第二次進呈書目)提及

而此處《曆指》有可能是指《恆星曆指》、《日躔曆指》、《月離曆指》或《交食曆指》,待查。

4)《勾股索隱》、《幾何用法》、《算章》、《幾何論》、《圓球原本》、《宗動天》、《右弧矢儀說》、《幾何法》、《表度說》、《圭表說》,目前未查得相同之書目。

5) 關於《幾何用法》、《幾何論》、《幾何法》可能都是指艾儒略15821649口譯、瞿式谷(清)筆授,仿照《幾何原本》前四卷所重新改寫,後被湯若望加進《西洋新法曆書》的《幾何要法》,此書是否因為徐光啟本身的關係而被剔除在《崇禎曆書》之外,待考證。

(二)關於體例與定理引用

1) 綜觀古今歷史,曆書的編修多出自政治考量,以徐光啟的特殊經歷而言,是否在治本(透過欽天監發展科學學術並教導監生學習)與治標(政令宣導)的把關監控之間尋得平衡點,值得細究。

2) 十卷內容的體例撰寫盡量延用《幾何原本》的模式,然而彼此格式像是什錦燴飯,統一度不高,曆書編撰雖由徐光啟領之,但光啟已年邁困疾(他在觀象台考驗時,「不意偶然失足,顛墜台下,致傷腰膝,不能動履」),其憂心在奏疏的字裡行間,已表露無遺:「目下算數、測候、謄寫員役雖不乏人,而釋義、演丈、講究、潤色、較勘、試驗獨臣一身,即使強健逾人尚苦茫無究竟,況今疾困支離,臥病一日則誤一日之事,……,其理義甚奧而鰿,法數甚曲而繁,非集思廣益,何能速就?況臣既衰且病,不得不瀆臣於聖明之前也!」

3) 全書前後的結果常常自我引用,其邏輯論證體系可說是儘可能模仿《幾何原本》。不過,由於十卷所涵蓋的數學內容實在太廣,故無法自成一格,即或只是引述書目,就已超出徐光啟所掌握的《幾何原本》卷一至卷六的內容。又各題出現「解曰」、「論曰」、「法曰」體例不一,其出現與否的時機也值得探討。另值得注意的,是某些公式的引用(如正弦定理)常是不勝其煩的全盤托出,而不註明是第幾卷第幾題。同時,定理本身也缺少證明。更有甚者,是出現前文引「後果」(卷七:六問詳見後篇)、無須證明(卷七:此二類自明無論。卷八:免算),或是交代不清的情況(卷七:見別卷。卷八:另卷有本表及其用)。凡此種種,應當是徐光啟心有餘而力不足吧!

(三)關於各卷

1) 〈敘目〉中,編者對三角形下了一個操作定義:「三角形繇兩視線、一徑線。徑線者,所測物之廣也,徑之兩端出兩直線,入交於目睛之最中而成形。」同時,也再次與《幾何原本》呼應,強調學習數學可以修養心性:「習之奈何?習手與目以求其貫也!習心與意以求其信也!不習、不貫,未有能信者也!習且貫,未有不信者也!

2) 第一卷出現不少三角函數的公式,如正弦定理、和差化積等,徐光啟如何面對這些只套用結果卻不論其證明的數學知識?而關於海龍公式更有一番長篇大論的說明,頗值得考古。

3) 卷二、卷三透過「象限儀」、「矩度」、「矩尺」等儀器說明各種測量高、深、遠、廣的處理與計算,若仔細區分,將發現這些原本放諸四海皆準的簡儀,似乎都有其習慣的使用時機。而卷十的內容,也不僅止於介紹儀器,其間尚夾雜「論曰」,甚至還有「按」,由此可見,編修者的出發點著實不單純。

4) 卷三末附有「割圓八線小表」(15分為單位),應是配合卷二與卷三各種測量所需,而《新法算書》卷81、82,則另闢有以1分為單位的「割圓八線表」。

5) 卷四對於正多邊形之介紹依序為「量四邊形」、「量三邊形」、「量多邊形」,與今日中小學從正方形著手引進各種面積公式的方法相同。而其間所碰觸到的有理數、無理數則給了「能發之根」、「不發之根」的特別名稱。另有「駁曰」來辨證舊法、古法之謬誤。

6) 卷五引進圓面積的證明及阿基米德的《圜書與《圓球圓柱書》,但是,此一數學知識的引進,對中算家而言似乎未激起任何漣漪。而文中對於古法「徑一周三」、「周自之,十二而一」以及「徑自乘,三之四而一」,則給予「究舊法所以差繆之原」,但對於圓周率求得更精確位數一事,卻又覺得是畫蛇添足,多此一舉:「徑與周之比例,古士之法如此(指阿基米得的3 與3 ),今士別立一法,其差甚微,然子母之數積至二十一字為萬億億,難可施用」,從π的發展史來看待此一歷史插曲,值得深思。

7) 第六卷提要對於關乎日、月、星等天文測量之事,何以要先研究點、線、面、體的「測量之全義」(本書名稱緣由)有一番充分的解釋,值得咀嚼。而對於體的介紹,多有《九章算》之例,如「委粟」的倚垣、外隅、內隅、「塹堵」、「陽馬」、「虌臑」等,而對於立體幾何興趣不大,五種正多面體的引進只因是「有法之體」,其用則單純為「比例之法」。(直到梅文鼎才在《幾何補編》中揪其繆誤,同時還還討出幾個阿基米德立體的演變)

8) 關於七、八、九卷的球面幾何知識,值得入門一探。

9) 卷10出現「地球」一詞,對當時的中土學者而言,「天圓地方」的世界觀,是否已很自然而然地轉化為古老的「神話傳說」,其演變歷程待研究。右圖為摘錄自《古今圖書集成》的北京古觀象台。

                    六、 參考資料

1) 洪萬生 (2002).〈《幾何原本》(一)文本研讀內容摘要〉HPM通訊》第五卷第四期http://math.ntnu.edu.tw/~horng

2) 陳遵嫣、湛穗豐 (1995).中國天文學家的故事》,台北:銀禾文化事業有限公司。

3) 梅榮照主編 (1990).《明清數學史論文集》,江蘇:江蘇教育出版社。