與『空無』對話

台師大學數學系 洪萬生教授

書名：《從零開始》

作者：羅伯•卡普蘭

出版：究竟出版社

頁數：293

        本書是有關數目零的第二本數學普及著作之中譯。這幾年來，幾個特殊的實數如圓周率π，尤拉數e與虛數 的故事相繼登場，為數學普及書寫注入了新鮮的活力，對於有志於此道的作者，應該帶來很大的鼓舞作用。

        這幾個實數是『尤拉公式』（ ）的主要組成部分。此一公式曾被國際數學家社群評定為最漂亮的數學公式，大概它最符合數學家所謂『簡單而深刻』的根本要求吧。因此，有關π，e， 與0的故事，都在一九九零年代成為科普書寫的話題。不過，後兩者的故事遠較前二者曲折，譬如相較於π與e來說， 與0都花了相當長時間才獲得了『正當性』。其實，數學史家也不過是在這二十年內，才比較看清楚這兩個數目的滄桑容顏，他們的研究成果，也因而惠及相關的科普著作（譬如本書）。

這應該也可以解釋：何以本書竟有218條註解，而且參考文獻更是多達232則左右，尤其包括不少古典文本（請查閱：牛津大學出版社網站）。由此，我們可以了解本書作者卡普蘭的苦心造詣。卡普蘭擁有高深數學專業，精通多國語言（包括拉丁文與梵文），同時，在哲學與各個民族（包括印度與馬雅）的歷史與（宗教）文化等方面，也有全方位的修養。更難得的，他畢生致力於推廣數學，非常樂意分享數學學習的喜悅。因此，他追隨『自然主義式』的書寫風格，文類則在敘事之外，兼採論說與抒情，從容地『追蹤零的符號與意義』。我們在捧讀本書時，難免被他『隨興』安排的岔路暫時打斷，不過，通過他的眼睛來觀察『空無』的世界，也的確賞心悅目。

        本書共有十七章，作者在安排時別出心裁，特別從『第零章』開始，而非從第一章。顯然，作者運用了『０』的形象比喻，說明他的敘事並非結束，反而是一個入口，引領我們進入永遠等待完成的數學風情畫之中。就全書的論述結構來說，第七章（『典範的轉移』）是『０』的歷史之發展關鍵。在本章中，作者借用了『典範』(paradigm) 一詞，來表彰古印度數學家對於『０』的歷史演化。同時，他也運用了一個『數目共和國』(Republic of Number) 的比喻，說明『０』得以入籍為此一共和國的一介公民的曲折與艱辛。此處，值得引述他的說法：「數（目）共和國的特色在於，如果某物成為一個數（目），它就必須要能和現存的數（目）來往，至少要能和它們寒暄。它必須要能和其他數（目）以常見的方式結合。零如果要跟其他數（目）平起平坐，我們就必須瞭解如何用零來進行加減乘除的運算：這正是古印度數學家所做的事。」結果，『他們促成了一種典範的重大轉移。』

事實上，這一個歷史解釋，也呼應了數學史家、數學教育家對於數學概念本質的考察成果。換句話說，像無理數 ，虛數 ，乃至於0這一類『外來』概念，在取得數目共和國的身份證之前，通常都必須先與其他數目公民建立『運算』關係，直到磨合得這些『外來客』的『身份』變明朗時，才能通過審查而入籍成為新的公民。    數學概念這種通過『關係』而確立『結構』的演化歷程，是本書最具有啟蒙意義的比喻，值得讀者，尤其是中小學的數學教師，好好地咀嚼與反思。

不過，本書作者用字遣詞時，還是儘可能避免『以今鑑古』。這種風格在介紹馬雅文明出場時，尤其顯得審慎與節制。誠然，本書第八章（『馬雅間奏曲』：計算的黑暗面）的確是一個間奏，因為我們無從得知馬雅人的數學遺產是否注入『０』的主流發展。無論如何，馬雅文化『充分地證明了零的觀念與符號可以在一個地區獨立發展。』這是作者的多元文化關懷之表現，只是他也指出：馬雅人由於恐懼『零神』而表現的『野蠻行徑』！

本書其他章節順便論及的符號代數、微積分之發展，既有歷史的興味，也不乏發人深省的觀點，就留待讀者自行享受開卷的樂趣了。不過，由於本書內容相當博雅，譬如作者闡述數學知識結構的演化非常用心，同時，也刻意摻入相關的（宗教或神話）文化意義，所以，我們建議讀者第一次閱讀時，能夠把握本書的一些例證或例題，來作為閱讀與思考的憑藉。至於本書作者在第七章錯誤地解讀了『重演說』，就當作賢者之失好了。還有，中譯本如能附上『索引』，那麼，閱讀起來將會有更大的幫助才是。