《同文算指》的承先與啟後及其評價

                                    國立蘭陽女中數學教師  陳敏皓

   李之藻於《同文算指》的﹙通編﹚卷六中的『測量三率法第十一』，主要是承襲徐光啟的《測量法義》；而其中所附《勾股略》，主要是承襲徐光啟的《勾股義》的部分。李之藻（1565~1630）與徐光啟（1562－1633）過從甚密，常一起討論西算。李之藻所著的《同文算指》中的「測量三率法第十一」有許多題型與內容，與徐光啟所著的《測量法義》相同。於此，我們先介紹《測量法義》。

《測量法義》是徐光啟同利瑪竇合譯《幾何原本》前六卷（1607年）後，認識到《幾何原本》是「度數之宗」、「眾用之基」（徐光啟譯《幾何原本》序），因而以《幾何原本》的公理體系和演繹推理對「西泰子之譯測量諸法」「系之義也」（徐光啟《題測量法義》）的首次嘗試。徐光啟認為西方測量術，就「法」而論，同中國古代《周髀算經》、《九章算術》的『勾股測望術』是「不異」的，然而，西方測量術有《幾何原本》為理論依據，故「貴其義」。於是，他先介紹西方測量術的工具－造器「矩度」的構造；次「論景」，講以直景、倒景佈算的原理；然後，以十五個題目由淺入深講高、深、廣、遠的測量諸法，並進一步提供證明。

《同文算指》承《測量法義》的部分

徐光啟譯《幾何原本》後，即編譯《測量法義》，這是由於他認為測量之法，「廣其術而以之治水治田之，為利鉅、為務急也」（徐光啟《題測量法義》）。這體現了徐光啟既重視數學理論，又重視數學與實踐相結合，這兩者構成了他的數學思想中相輔相成的兩個側面。且讓我們先比較兩本書在編排上的體例順序：

     由上表，可以明顯看出李之藻與利瑪竇在編譯《同文算指》中的「測量三率法」，絕大部分是承襲徐光啟的《測量法義》，[1]而且，其中問題都是使用三率法或簡單的相似觀念即可解決。然而，有一不同點為徐光啟在《測量法義》敘述題目時，都會先置「法曰」，這是《同文算指》所未曾出現的。茲舉（6）、（10）兩題為典範例子說明。而（9）、（13）則分別呈現學習幾何所必備之知識。

（6）平鏡測高：

欲知甲乙之高，置平鏡于丙，人立於丁。其乙丙丁取平，人目在戊，向物頂之甲稍移就之。令目見甲在鏡中心，而甲影從鏡心射目，乃量自丁至丙之度為首率，丁戊為次率，乙丙為三率，算之，得甲乙高。

    以此題為例，是因為此論首見於歐幾里得的《鏡書》第一題，而本題所使用的方法為利用一次三率法，然此題卻是「眾用之基」，因此，歐幾里得把此題放在第一題，一定有其深切用意。

（10）以重矩兼測無廣之深無深之廣：

有甲乙丙丁壁立深谷，不知甲乙之廣，欲測乙丙之深。則用重矩法，先于甲岸上依垂下直線，立戊甲巳勾股矩尺，其甲巳勾長六尺。直以目截取戊甲股上之庚甲之高，得五尺。取壬去甲一丈五尺壬癸勾亦常六尺，從股尺上視勾末癸與谷底丙相參，目截取辛壬之高八尺，如欲求深，以前股所得庚甲五尺與兩勾間壬甲十五尺相乘得七十五尺為實，以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法，除之即得乙丙深二十五尺，如欲求廣者，以勾六尺與兩勾間十五尺相乘得九十尺為實，以辛子三尺為法除之，即得甲乙之廣三十尺。（甲乙之廣應為三十六尺才正確）

    此題並非徐光啟《測量法義》中的問題，雖為李之藻所新立獨創的，但是仍不脫《測量法義》的範圍。不過，也值得在此討論。徐光啟的譯註書中，關於利用『重差術』來實施測量的不在少數。例如《測量法義》第十題『以表測高』；及徐光啟《測量異同》第四題『以重表兼測無遠之高，無高之遠』，第六題『以重矩兼測無廣之深，無深之廣』，皆是運用『重差術』。[2]

然本題所使用的方法為利用兩次三率法，但其簡潔程度仍不失數學本色。現在我們利用現在方法來做比較。

解：

     令甲丁長為x尺，丙丁長為y尺

，   

又 ，  

代入得 。

     中國古代不但在測量工具上種類齊全，並且理論根據完備，[3]在測量方面，也有不少的創見與發明，而且在各古書中屢見不鮮。同時，古算經的測量問題的數據也大都選自實際情境，見下表整理：[4]

然而，針對本題李之藻所使用的重表測量法，其實就是中國古代既有的重差算法。劉徽《九章算術》注的〈自序〉中說：「輒造重差，並為注解，以究古人之意，綴於勾股之下。」而重差術的思想肇始於「以景度日」。[6]即下圖所示：

劉徽非常重視推理過程，他曾於《九章算術》注序的前段說：「事類相推，各有攸關，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。」接下來，劉徽給重差的典型：「立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表乘表間為實，實如法而一，即為南表至南戴日下也。以南戴日下即日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。」這就是建立重差術的來源。如下圖所示：

      令S為日，T為日下，AB、DE為等高二表，BC、EF為表影，所以

（不失本率原則）

    則

（即 ）

如此，我們或可刻畫劉徽的思路歷程如下：

事實上，這也就是重差公式的演進。

（9）以矩尺測遠：

欲于甲測地平遠者，先立一表為甲丁與地平為直角；次以矩尺之內直角置表末丁上，以丁戊尺向所望遠際之，乙稍移就之，使丁戊與乙相參直，次迴身從丁丙尺上亦望地平之巳使丁丙與巳相參直，乃量巳至表下甲為首率，身丁甲為次率又為第三率，依法算之得甲乙遠。

      徐光啟在中進士前一年，即萬曆癸卯（1603年），在致上海侯劉一塘（著有《量算河工及測量地勢法》）函中，表明他很善於測量之術，並且提到勾股量深法、重矩勾股量深法、重矩重表勾股量高法、以矩尺測遠等測量知識。[7]可見，他的確擅長這一方面的知識。

（13）測高深遠近不諳布算而得其度：

凡測量必先得三率，而推得第四率。三率者其一直影度或倒影度；其二所立處距所測物之底若不能至者，則其影較度或兩測較度也；其三表度或距較度也。設如測一高其影較八，而距較十步，其影較八【一率】，與表十二【二率】之比例，若距較十步【三率】，與其所求之高【四率】。

如不諳算法則于平面畫作甲乙丙兩直線任相交于甲，從甲向乙用規作八平分為影較，甲丁次用元度從丁向以規取十二平分為矩度丁乙，次從甲向丙規取十平分為矩較甲戊【此用度與前兩率度任等不等】，乃從戊至丁畫一直線，次從乙亦畫一直線與戊丁平行而截甲丙線于丙，次取甲戊元規度丙向戊畫得若干分，即所求之高。

《同文算指》承《勾股義》的部分

李之藻『測量三率法第十一』之後補上《勾股略》，曾云：

測量之法專用半矩，則勾股所必藉也，故補入勾股以顯測望原本。舊法勾三、股四、弦五，蓋勾自乘股自乘併之即弦自乘數，故得勾股可以求弦、得勾弦可以求股、得股弦可以求勾，而引申其義，可以求勾股中容方容圓；可以各較求勾求股求弦；可以各和求勾求股求弦，其變化無窮，今撮其要者十五則著於篇。

    徐光啟的《勾股義》撰於1609年，是緊接翻譯《幾何原本》前六卷（1607年）、《測量法義》（1607年）後，徐光啟從利瑪竇身上學的許多西方測量之術。他顯然希望能從論證三角形的方式來討論『勾股術』。這是有別於中國古代討論勾股的方法，例如元代李冶的《測圓海鏡》運用天元術討論勾股容圓的問題，徐光啟就突破孤立考察三角形本身的舊法，而把三角形和圓形的關係聯繫起來考察，從而給出三角形論證的模式。徐光啟將九章的『勾股術』重新整理為十五條正法。就在這個基礎上，他分別論列勾股諸法體現的原理。

正如前述，《同文算指》中所附《勾股略》主要的基礎，是承襲徐光啟的《勾股義》的部分。李之藻於《勾股略》中許多勾、股、弦的求值問題，廣泛地應用平方差與平方和的解題策略，因此，在體例方面有許多都是類似的。另外，李之藻也做了許多刪除與修正，例如：徐光啟的《勾股義》全文長達二十一面（不包含序與後記），徐光啟除了論曰之外，也補再論曰，因此使得篇幅過長，而李之藻的《勾股略》卻僅有七頁。至於修正的部分，如《勾股義》第九題之法曰中的「以股自之得一千一百九十六」，李之藻在《勾股略》已修正為『以股自之得一千二百九十六』。

此外，如徐光啟的《勾股義》第七題（勾股求容圜）問題，為了探討三條內角平分線交于一點（內心），及內切圓與三角形的關係，分別從三個方向出發，但是其中贅言不少，整題論述達五頁，極有可能的原因，是徐光啟並沒有深切地掌握住「相切」的概念。由下圖可以看出（勾股求容圜）這題應該是很困擾著徐光啟。

比較《勾股略》的（勾股求容圜）－見下圖：

甲乙股六百，乙丙勾三百二十，求容圜？以勾股相乘得一十九萬二千為甲乙丙丁方形，倍之得三十八萬四千為丙丁戊己方形以為實，別以勾股求弦得甲丙邊六百八十，併勾股弦得甲辛長線一千六百為法除實，得辛壬癸甲長方形其辛壬邊相等之乙子二百四十即容圜徑。     

可見，李之藻善用內心的性質（到三邊等距離），外加利用三角形的面積關係，使得 （r為內切圓半徑）。

另一方面，徐光啟門人孫元化在『敘曰』之後抄錄的『勾股』，為「刪為正法十五條」的初稿（但缺圖），全文五頁，內容與《勾股略》極為相似。由此可見，李之藻是經過嚴格的增刪與思考過後，才附上《勾股略》。

     現在，且將此十五條轉列成表格，則見端倪如下。假設勾為a，股為b，弦為c，容方的邊長為d，容圓的半徑為r：

結論

    中國現存最古老的天文算經《周髀算經》卷上，就提及用矩（曲尺）－有刻度的直角尺來間接做測量。為了獲得直角，《周髀算經》提出『折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五』的說法。在《九章算術》中，也有章節特別介紹勾股定理的性質及應用。[8]李之藻所補上之《勾股略》中的『勾股求容圓』為中國古代既有之問題，李冶《測圓海鏡》十二卷（1248）中曾云：「以勾股容圓為題，自圓心圓外縱橫取之，得大小十五形。」，也曾在《測圓海鏡》[9]自序稱：「老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹，而嚮之病我者，使爆然落去，而無遺餘。」由此，可臆測李之藻的數學觀點，並不全然承襲利瑪竇的想法。請參看『九和』與『九較』的比較如下：