《《同文算指》之研究》摘要

                                              國立蘭陽女中 台師大數學系教學碩士班 陳敏皓老師

《同文算指》是介紹歐洲筆算的第一部著作，該書是根據克拉維斯(Christopher Clavius，1537－1612，明末中譯名『丁先生』) 所著的《實用算術概論》（Epitome arithmeticae practicae，1583）、《算法統宗》等書，由利瑪竇與李之藻編譯而成。它是歐洲近代實用算術傳入中國的開始，對後來的中國算術演算有巨大的影響。同時，李之藻藉此書編譯所播下的西學東漸之種子，也在清朝時開啟新的一頁。《同文算指》一書分為《前編》、《通編》、《別編》三部分。李之藻《同文算指前編》序稱：「薈輯所聞,厘為三種：《前編》舉要,則思已過半；《通編》稍演其例,以通俚俗,間取《九章》補綴,而卒不出原書之範圍；《別編》則測圜諸術,存之以俟同志。」即說明其編譯體例及取材範圍。

《前編》二卷（1613年）主要介紹了筆算的定位法和整數及分數的四則運算，其中加法、減法、乘法及分數除法和今日運算方法基本相同；整數除法是十五世紀末義大利數學家應用的「削減法」（亦即「帆船法」），十分複雜，但值得探索。本編中的分數記法，與古代籌算記法或歐洲的筆算記法正好顛倒過來，李之藻把分母置於分數線之上，分子置於分數線之下。另外，驗算法是印度『土盤算法』中，由於擔心數碼隨時會被抹去，而要求檢驗結果的正確性而產生的，它在筆算中已逐漸失去作用而終被淘汰，而李之藻也認為它『繁碎難用』，只是『錄之備玩』而已。最後，總結通問十四題是運用加、減、乘、除四術，由淺入深、由易入難。

《通編》八卷（1613年）是全書的中心，內容有三率法中含比例（包括正比、反比和複比）、比例分配、疊借互徵法（盈不足問題）、雜和較乘法（多元一次方程組）、數列（包括等差數列和等比數列）、級數（包括等差級數和等比級數）、測量三率法、勾股略、開方（包括開平方、立方與多乘方）與帶從開平方、冪次方等。此外，還輯入《算法統宗》中的一些難題，及徐光啟的《勾股義》與利瑪竇和徐光啟合譯的《測量法義》等內容。其中多元一次方程組、開帶從平方與開多乘方等方法，由於未見於《實用算術概論》，顯然是取自中國算書。

《別編》一卷（未提編譯年代），只有「截圓弦算」一節，全節談論的重點在天文測度方面，整節分成七個部分，內中舉及正弦餘弦表至小數七位，為近代西方三角學傳入中國之首。

本論文將深入分析《同文算指》的內容，並且探討筆算與當時學術環境的關聯，用以確立李之藻在明末算學研究的地位及其影響。例如，梅文鼎在撰寫《筆算》五卷（1693年）時接受了《同文算指前編》所授的四則運算法；他在撰寫《少廣拾遺》一卷（1692年）時，也根據一些書籍及《同文算指》中開方作法本原圖，重新發揮了『立成釋鎖法』的作用。至於《數理精薀》下編中的卷八、卷九講盈朒、借衰互徵、疊借互徵的部分內容，亦取自《同文算指》。還有，清代李善蘭在算式翻譯工作中，繼承了《同文算指》以一、二、三、四、五、六、七、八、九、O為數碼，並襲用了《同文算指》的分數記法，將分母置於分數線之上，分子置於分數線之下。事實上，《同文算指》介紹的筆算，與現今的算法十分接近，清代數學工作者很重視它，並不斷地克服了它的缺點，使筆算漸臻完善，筆算的應用也逐漸普遍起來，可見《同文算指》是具有時代意義及研究價值。

《勾股算學家－顧應祥及其著作研究》論文摘要

                                台師大數學系教學碩士班 王連發

在中國算學史中，明朝是一個特別的時期，宋、元兩朝所高度發展的算學，到了明朝卻呈現停滯、衰退的現象。最常被史家引為證據的，莫過於顧應祥對於宋元『天元術』的無以索解，而《測圓海鏡分類釋術》中刪去『天元細草』。事實上，顧應祥承認：「但見其每條下細草，雖徑立天元一，反復合之，而無下手之術，使后學之士茫然無門之可入。輒不自揆，每章去其細草，立一算術，又以其所立通勾邊股之屬，各以類分」，『遂貽千古不知而做之譏，惜哉！』

儘管如此，如果我們回到明朝歷史的脈絡中來看，那麼，顧應祥的算學研究還是值得我們注意。這是因為他首先整理了勾股問題而著述《勾股算術》，其次，重新用自己的勾股知識整理《測圓海鏡》的內容，而寫成《測圓海鏡分類釋術》，最後，為普及「測圓」知識，他又將前書改編成較簡易的《測圓算術》。環視他的背景，是整個明朝士大夫率以空疏相尚，朱熹、王陽明的理、心之學爭鬥的學術環境。以一個做到尚書這樣大官的人而言，能夠對數學有這樣的認知與成就，可以說是中國歷史上的一個異數吧！

筆者在這篇的論文中，嘗試回到明朝的算學史中，解析顧應祥的數學觀點與他的數學著作，希望還給他一些不同的歷史評價。

《中國清代1723∼1820年間的借根方與天元術》論文摘要

台師大數學系碩士班研究生 林倉億

借根方與天元術皆是用以處理一元多次方程式的方法，前者在清朝康熙年間由傳教士所傳入，並載於康熙帝御製的《數理精蘊》中；後者則是在金、元時期發展成熟的中國傳統算學，以金、元算學家李冶的《測圓海鏡》與《益古演段》二書為代表性著作。雖然這兩者所處理的對象相同，但在康熙朝時，清朝算學家已無人能曉天元術，因此，在借根方傳入與流傳初期，並未有算學家意識到借根方與天元術間的關係，直到梅  成提出「天元一即借根方解」的說法後，才陸續有許多算學家將這兩者相提並論，也開啟了借根方與天元術間的互動。

        1723∼1820年間的借根方與天元術的發展與互動，是清朝數學史中至為精彩的部分，算學家們在這兩種方法上所進行的會通、對話，甚至是辯論，不僅反映出當時的學術風氣（乾嘉學派學風與西學中源說）與數學發展（會通中西學與興復古法），更具有豐富的認識論面向。本文將先從今日的角度，對借根方與天元術進行比較，而透過比較這兩者，我們將發現這兩者個別的術語、長處與侷限，確實影響了算學家們對它們的理解，也因而影響了它們在清朝的發展與互動。

        其次，在筆者所得見的算書中，此時期載有借根方或天元術的，計有何夢瑤的《算迪》、梅  成的《赤水遺珍》、李銳的重校《測圓海鏡》與《益古演段》、《弧矢算術細草》、《句股算術細草》、焦循的《天元一釋》、張敦仁的《緝古算經細草》、駱騰鳳的《藝游錄》、《開方釋例》、安清翹的《學算存略》、張作楠的《量倉通法》、《方田通法補例》、《倉田通法續編》、羅士琳的《比例匯通》，本文將根據算學家在算學著作中所呈現的借根方或天元術內容，分析他們對這兩者的認識及看法。而透過對個別算學家的分析，我們將會看到相同的借根方或天元術，在不同的算學家的詮釋之下，展現了不同的面貌，而這是見證了在知識的傳播中，知識接受者並非僅是被動的「複製」知識，相反地，知識接受者本身固有的知識、所處的文化背景，都會對知識接受者產生重大的影響。

《中國1368-1806年間的勾股術發展之研究》論文摘要

台師大數學研究所碩士班研究生  黃清揚

所謂「勾股術」，又可稱為「勾股算術」，即指以勾股定理為核心而發展出的算法或公式，其中又可分為勾股互求、勾股測量、勾股容圓、勾股容方、勾股比率及整數勾股等等。中國勾股術的形成甚早，其起源乃在於窺天測地的需要。現存中算史料中，以《周髀算經》及《九章算術》最先提及勾股術，兩者皆只給出算法。在此之後，歷代算家對勾股術多所研究。其中，理論性的論述則首見魏晋南北朝的劉徽及趙爽，兩人分別利用「出入相補法」來進行勾股術的幾何證明工作。而到了宋元時期，算學家更發展出了「天元術」及「四元術」，採用代數的進路來研究勾股，突破了幾何方法的限制。與此相較，從1368年明代朱元璋開國至清代算家李銳在1806年撰成《勾股算術細草》為止，期間勾股術的發展，也是由算術進路到幾何進路最後走向代數進路。整體來說，1368-1806年間勾股術的發展似乎與明代之前有著些許的類似性。

雖然如此，但當我們仔細檢視明代至清中葉的勾股術之發展後，即可了解兩者在本質上有著極大的不同。然而，除了少數算家之外，這一時期的勾股術基本上没有受到相當的重視及討論，特別是明代算學的部分。所以，筆者認為有必要對1368-1806年間的勾股術之發展作一詳細的分析。

為此，本論文將以勾股術中的「勾股互求」為主軸，透過對十部相關文本的分析，來探討1368-1806年間勾股術的發展。這十部算書分別是吳敬的《九章算法比類大全》、王文素的《算學寶鑑》、顧應祥的《勾股算術》、周述學的《神道大編曆宗算會》、程大位的《算法統宗》、徐光啟的《勾股義》、方中通的《數度衍》、梅文鼎的《勾股舉隅》、康熙御制《數理精蘊》以及李銳的《勾股算術細草》。除此之外，由於這一時期跨越明清兩代，算學家對勾股術的研究內涵改變甚巨，尤其是在西學輸入後，中算家對西方數學之學習與會通，以及乾嘉時期以「西學中源」為中心的學術風潮，在在皆與勾股術有密切的關係。所以，經由對這十部算書的研究，正可以了解此一時期算學家對勾股術的看法之不同面貌，進而探討算學家之間的交流與影響。

《李朝世宗時期的朝鮮數學》論文摘要

台師大數學系碩士班研究生  葉吉海

李朝的算學發展過程中，世宗朝可說是一個黃金時期。算學興起的原因，史家們認為是因為世宗朝大規模的測地量田，算學需求大增所致。然而，他們卻忽略了開國太祖及後繼的太宗時期，也都進行大規模的量田事業。當然，測地量田的事業使得算學的需求增加，但並不能使得算學就此興起才是。事實上，從《世宗實錄》的記載，算學的興起應始於對天文曆算的重視。在對李朝世宗時期的朝鮮算學發展進一步瞭解之後，我們可以清楚的得知，世宗大王對朝鮮數學發展的貢獻。世宗極力想掌握天文曆算的企圖心與擁有能自行造曆、頒行精準不輸中國曆法的能力，重用了算學人才及培養了算學人才，使得算學得以興起。

世宗朝之初期，由於對於天文曆算掌握的迫切性，對於算學人才就更加地渴望。世宗朝的數學教育，因天文曆算的需求與測地量田等需求而受到重視。世宗先後設立了「習算局」、「算法校正所」與「曆算所」以因應算學人才的需求。其中，「曆算所」的設置，更是集『歷代算學之法』於一身，它的考講制度更是讓世宗朝的算學人才相繼而出。誠如世祖朝的吏曹所言：『若無曆算所，我國知算法者絕無矣』。

曆算所的算學人才養成教育，使得曆算學官的數學能力不僅『粗習乘除』而已，「開方」、「開立方」、「三乘方」、「四乘方」以至「九乘方」，還有「方程正負」、「開方釋鎖」、「度高測深」、「重表」、「累矩」、「三望」、「四望」以及「勾股」與「重差」的方法，都是必備的素養。透過交流傳入朝鮮半島的《楊輝算法》、《算學啟蒙》及《詳明算法》，對李朝數學史的影響相當大。其中，尤以《算學啟蒙》和《詳明算法》，在後來的著作中被大量引用，顯示世宗時期的朝鮮數學發展，對於後世的影響，也更加肯定世宗時期中韓數學交流所注入的一股『活力』的意義了。

《楊輝算書的探討：一個HPM的觀點》摘要

             台師大數學系教學碩士班王文珮

宋元數學經過隋唐時代，在知識體系的累積中逐步建立起來，站上了中國算學發展史上的顛峰時期，呈現出的是綜合算學之後的豐富樣貌。有宋一代，政治安定、商業興盛、貿易往來頻繁，促使人們對於籌算的速度要求更高，實用數學成為算學家們重視的主題之一。除了當代在經濟上的高度發展之外，印刷技術的精進，也促使民間學習的風潮更加盛行。在理學思想的映照­之下，學術風氣更顯得開放創新，算學當然也成為其中非常重要的一環。而楊輝正是處在此一黃金時代（宋未元初）的南方算學家之一。

現存楊輝的著作中，除了《詳解九章算法》（1261）是為了註解《九章算術》的算書以外，其餘尚有《日用算法》及《楊輝算法》二本，皆以解決民生問題所發展的實用民生數學及初等算學為主要的題材。其中《日用算法》（1262）僅殘存跋、序及日用斤秤數題。《楊輝算法》共分為三個部分：《乘除通變本末》（1274）、《田畝比類乘除捷法》（1275）以及《續古摘奇算法》（1275）。《乘除通變本末》共三卷，卷上首先提出〈習算綱目〉的教學計畫，依序導引各式基本乘法技巧；卷中介紹進階的乘除捷法，有加法五術、減法四術、求一、九歸等算法諸術；卷下以闡釋卷中內容為要務，詳列一至三百的捷算總術。《田畝比類乘除捷法》共二卷，卷上介紹各類田畝求積問題，並在題後以「比類」型式呈現可以轉化為田畝求積以解答的其他問題；卷下以田畝問題呈現解二次方程式以及一個四次方程式的內容。《續古摘奇算法》共二卷，卷上討論縱橫圖以及48個各類問題；卷下是將各算書中的「摘奇」題目集合並說明。雖然楊輝算書是以普及實用民生數學知識為其職責，但卻不因此而稍稍減其對數學知識深度及內涵的探索與重視，故而在中國數學史上仍佔有極其重要的歷史地位，並對後代算學產生了一股不可忽視的影響力。誠然，楊輝對於普及實用民生數學知識的觀點及作法，的確可提供今日數學教育上的重大啟發。

楊輝算書在實用民生數學方面，有他獨到的見解及方法論方面的特色。在多位數學史家對於楊輝算書的研究與考證分析之下，筆者才得以對楊輝算書的內容有一初步的認識。在此一基礎上，從身為中學數學教師的角度出發，因著楊輝算書於初等數學中有如此重要的標杆地位，筆者乃有將它引入數學教學課程之中的構想。因此，筆者遂採用HPM (Relations between History and Pedagogy of Mathematics) 的觀點，來撰寫本文。希望楊輝的算書風格，可以幫助我們反思目前數學教學的一些理念與作法。同時，以楊輝為師，我們或許也可以在中學數學教學的情境中，恰當地融入古代數學文本，以便提升教學成效。

《清代算學家徐有壬及其算學研究 》摘要

台師大數學研究所教學碩士班 阮錫琦

自1723年康熙御製的《數理精蘊》出版後，讓清代的算學家能夠有系統地學習地西方所傳入的數學知識。在乾嘉時期，西方數學不能繼續傳入中國，古典考証學成為一時風氣，在以「興復古算、昌明中法」為職志的乾嘉學派所經營的學術環境下，中國傳統算學得獲得極大闡揚與重視。至於其手法，顯然是許多人透過西法來解釋中法，其西法的依據就是《數理精蘊》。透過乾嘉學派的輯佚、校勘與考証的工作，讓失傳五百年之久的古算典籍如《算經十書》、乃至宋金元四大家的傑出作品，得以重見天日。在這時空環境之下，數學發展所提供豐富的資源，培育出許多優秀的中西會通數學家。本論文的主角徐有壬（1800∼1860）正好處於清中、晚期，乾嘉學派由盛到衰，西法派捲土重來的交替時期，因此，徐有壬及算學研究，可以說是我們洞悉清中晚期算學研究風貌的極佳切入點。

        徐有壬早年曾在天文台當天文生，接受西算的訓練，關於割圓術、三角函數冪級數的展開式、對數造表法、截球體積表面積深受《數理精蘊》的影響。又在乾嘉學派所經營的學術環境中，能夠博覽許多中國傳統數學書籍如《四元玉鑑》、《算學啟蒙》等。可徵之於他的自述：「余讀四元玉鑑究心於垛積招差之法，推之割圜諸術無所不通。」事實上，徐有壬自稱《造各表簡法》是在研究《四元玉鑑》的基礎上得出，他對垛積招差之法最有心得，並推廣至割圜諸術而無所不通。由此可見，徐有壬的八線對數展開式研究，完全是在中國古代數學基礎上，從割圓術方面所得到的成果。此外，徐氏在研究截球體積方面，也有其獨創性的心得。他是以梅文鼎和《數理精蘊》的理論為架構，透過巧妙的幾何模型並綜合運用出入相補和祖氏原理，推導出簡單又嚴格的球體積公式，並求得有關球表面積、球帶、球冠和球外切圓柱側面積的關係。因此，「算學創新」與「昌明中法」原來並不矛盾。這也可說明：徐氏的算學著作真是「中學為體西學為用」，且兼具「獨能貫通西術，宣明古蘊」的長才。

        本論文將深入分析徐有壬的算學著作《務民義齋算學》七種本，《割圓八線綴數》四卷，也將探討徐有壬與同時期中算家之間的互動關係，以便瞭解探討其算學研究與學術環境的關聯，以及可能顯現的意義。此外，我也將參考清代學者與現代數學史家對他的評價，來釐清徐有壬在清代算學研究的地位與價值。同時，也期待藉由研究徐有壬的算學著作，提供給數學教師的教學和學生的數學學習上，讓他們獲得更多的啟發和應用。

           《清代算學家戴煦及其算學研究》摘要

                         台師大數學系教學碩士班 陳啟文

    明末清初西方數學的傳入，給予算學家吸收外來學術的機會，但同時也造成「西學」與「中算」孰優孰劣的爭辯衝突。當時所傳入的西方數學知識，雖然已在康熙御製的《數理精蘊》中，獲得了保存與闡揚的機會，但卻也因康熙「西學傳自東方」之思維的推波助瀾，反使「西學」面臨另一波的嚴厲挑戰。再歷經雍正採取保守的閉關政策，西學無法傳入，直至乾隆、嘉慶年間「乾嘉學派」的興起，方使「中算」轉獲得更高的地位，成為古典考據的寵兒。一時之間，中國古代算書的注釋與刊印，蔚為風潮，很多古算便成為算學家爭相研究、討論的議題。所幸《數理精蘊》因被冠以御製，即使在乾嘉學派中法的主導，它仍是研讀中算的憑藉，甚至連著述編纂(如早期的李銳)的取材，也無不受到《數理精蘊》的影響。本文主角戴煦，即在該書為基礎下，開始他對二項式展開式以及級數展開式的研究。

    但此股以「復古為尚、中法為尊」的乾嘉學風，卻因對傳入之西法漠視與韃伐，又加上除了發掘、整理傳統的中算典籍外，對於數學的創新卻少有貢獻，致使清代中葉的算學研究存在極大的限制與隱憂！於是這些中法派，終在「西法派」的質疑與「鴉片戰爭」的失利，西方數學再度傳入，而喪失優勢。事實上，即使在當時，是由乾嘉學派主導了中法的學術環境，但算學家對於西方的數學研究並未停止！從「杜氏三術」到明安圖的「杜氏九術」，仍然是許多傾向西學派學者的注意焦點，甚至連對傳教士如艾約瑟都不假詞色、稱故拒見的戴煦，其研究成果仍都以西學為宗。

    儘管如此，乾嘉學派對於當時的中算家仍有很大的貢獻 (譬如李銳等人的研究成果)，而且在其「非專不精，終身以之」學風的薰陶下，晚清算學研究便轉向西方了數學，同時算學家的角色亦從專門名家中逐漸地分化出來。因此在數學專業化與制度化兩方面，都為清中葉算學家留下了珍貴的資產，戴煦就是受惠者之一。

    本論文將藉由上述的歷史回顧，探討戴煦如何在當年的學術環境中，透過自已對古算學的鑽研，將《數理精蘊》的西學內容延伸推廣，走出自已在「對數」和「三角函數的冪級數」的專業素養；同時也要以一位從事數學教育者的角度，從現有的一些有關其著作《對數簡法》、《續對數簡法》、《外切密率》、《假數測圓》的研究報告，再予重新解讀和補充。另一方面，我們也要試圖從HPM的觀點，在儘可能地與戴煦原有的思維接軌的要求下，從其文本的字裡行間，細審戴煦的數學思考模式以及處理手法，期待對今日數學教師在教學上，能有更多的啟發或省思。

《明代算書《算法統宗》》摘要

台師大數學系教學碩士班  陳威男

    一般人談到晚明較有名的數學書，印象最深刻的大概都是《算法統宗》一書。在《算法統宗》出版前後，明代有許多數學書出版，均流傳不廣，只有《算法統宗》受到人們的普遍歡迎。在該書出版後，不斷的翻刻、再版、重印，而且出現各種改編本、縮編本，甚至流傳到朝鮮、日本等國。究竟《算法統宗》有何魅力，能夠造成這麼大的流行？其原因為何？實在是值得我們對該書的作者及內容，做全面性的研究。

    本論文主要藉由分析《算法統宗》成書的時代背景及各卷的內容，將其以現代語言呈現出來。我們期望該書的輪廓因而更為清晰，而讓我們有助於掌握《算法統宗》所繼承的數學傳統，和該書的創造性等。

    本文先從《算法統宗》一書的寫作過程以及所處的時代背景談起；其次，則介紹作者程大位，包括其生平事蹟、思想、著書原由等。緊接著，即是本論文的中心主題，我們將分析並探討《算法統宗》全書內容：包括珠算的基礎算法及定位法、傳統數學的應用問題集（分方田、粟布、衰分、少廣、分田截積、商功、均輸、盈朒、方程、勾股等卷）及難題雜法等，內容十分豐富。此外，由於本書中收集了大量的趣味算題，並以詩詞歌訣的形式命題，涉及到的內容豐富多采，妙趣橫生，有不少至今仍在社會上流傳。所以，我們不僅可以從這本書中獲得珠算知識及數學知識外，還可以獲得樂趣。在探討完內容分析後，我們所關心的問題是《算法統宗》的體例結構，為了使讀者對於本書有一個更完整的了解，本論文將從本書的內容摘要、編寫方式及本書的取材來源三方面，逐一介紹。

    從分析內容可看出，程大位已將計算工具由「算籌」，成功的轉換為「算盤」。不論在計算過程或在計算速度上，皆有明顯的改善，這可說是程大位的一大貢獻。此外，由於本書是明代算書中，涉及珠算內容最完整、最豐富的著作，因此，《算法統宗》堪稱是明代珠算理論的集大成之作，也是中國珠算史上第一部兼綜百家的作品，它不僅是一部數學書，也可說是一部珠算書。