阿貝爾兩百年與兩百年的阿貝爾

                                                          台師大數學系 洪萬生教授

一、向大師學習！

        六月六日，我應邀前往挪威參加 Abel兩百週年誕辰紀念研討會。這一會議，是挪威數學界一系列紀念天才數學家阿貝爾 (Niels Henrik Abel, 1802-1929) 的活動之一。此外，還包括其他數學學門的研討會。由於這一兩年來，挪威政府為了紀念阿貝爾，幾乎是全面性舉辦各種活動，其中包括：投入兩千兩百萬美元設置『阿貝爾數學獎』（作為諾貝爾獎的對等部份，明年起開始頒贈），以及發行阿貝爾紀念貨幣與郵票等等。甚至於在今年一整年內，一份主流報紙每天都闢有一個專欄，提供中小學生可以處理簡易的數學問題。這些都可以解釋何以這一兩年來，有關阿貝爾的紀念活動報導，在全國性的報紙上出現頻率多達了一百五十次。

        筆者參加的這一場研討會稱作 “Study the Masters – The Abel-Fauvel Conference”，會場設在 Kristiansand（奧斯陸的西南方海港）的Gimlekollen Mediacentre，由Agder學院 (Agder University College) 的 Otto Bekken 教授主辦。由於1988年在同一地點舉辦過同一名稱的研討會，John Fauvel (1947-2001) 出過很多點子，所以，這一次研討會也一併紀念他的英年早逝。

        十四年前八月，在巴黎ICME-6 (the sixth International Congress of the Mathematics Education) 之後沒多久，Bekken 在 Kristiansand召開了一個名叫 “Learn from the Masters!” 的研討會，以HPM（數學史與數學教學之關連）為主旨。當年，John Fauvel，Jan van Maanen，Michel Helfgott，Fred Rickey與蕭文強 (Siu Man Keung) 等人，都參加了此一盛會。由於 Abel 墳瑩就在不遠的 Froland 教堂，所以，Bekken安排了一場『朝聖』之旅，並由蕭文強撰寫、朗讀了一篇感人肺腑的追思短文。

         在那個特別的場合，蕭文強提及他遠從香港跋涉了16919公里才到達挪威，或許正是巧合吧，他還指出：一個秩 (order) 為16919的群一定是阿貝爾群 (abelian group)，因為 16919 = 7•2417。今年，我有幸從台灣應邀參加Abel兩百週年誕辰紀念活動，儘管路程之遙遠甚於香港，然而，卻覺得收穫頗豐，尤其有機會見識北歐的數學史與HPM，更是深感難得。

        事實上，此一研討會乃是 HPM 2004 Uppsa（瑞典，2004年7月12-17日，Uppsa大學）的暖身會議 (A Nordic pre-conference to the ICME-10 and to the HPM satellite in 2004)。因此，除了 Harold M. Edwards (NYU, USA), Fulvia Furinghetti (現任國際HPM主席，Genova, Italy), David Pengelley (NWSU, USA), V. Frederick Rickey (USMA, USA) 與筆者之外，其他參加者絕大部分都是斯堪地那維亞半島的數學史家與HPM專家。其中，年輕與會者有幾位甚至大學才剛畢業，就能夠在台上侃侃而談他（她）們的學位論文，實在令人對HPM的未來感到樂觀與鼓舞。根據 Bekken的轉述，Bjorn Smestad來台參加 “HPM 2000 Taipei” 回挪威之後，特別撰寫了一篇會議報導文章，其中他推崇我們的籌備工作，相當受到北歐同行的矚目。此外，他也提及我們如何鼓勵研究生上場，帶給北歐朋友很大的啟發。以本次會議為例，他們顯然有意複製此一經驗，而資深的學者也利用此一良機，與後起之秀從容地交換研究心得，呈現了一般學術研討會難得一見的溫馨畫面！

二、踏著阿貝爾的足跡

        在正式提交論文（6月12-15日）之前，我們幾位『外賓』先應邀到奧斯陸盤桓幾天，參加當地的阿貝爾紀念活動。從六月八日起三天，我們幾位來自北歐國家之外的學者與眷屬，就在 Bekken夫婦及研究生 Reindar Mosvold的嚮導下，參觀了挪威偉大畫家Edvand Munch博物館、維京船 (Viking Ship) 博物館以及 Kon-Tiki博物館，後兩者的文物展示，都充分表現了挪威人作為維京人後裔航向大洋的膽識與氣魄，實在令人印象深刻。此外，我們也前往奧斯陸大學參觀阿貝爾紀念活動，在校園中瞻仰了阿貝爾銅像及其基座的雙紐線圖，也在文物陳列室中聆聽 Arild Stubhaug教授對阿貝爾生平事蹟的介紹。按 Stubhaug以《阿貝爾與他的時代》(Niels Henrik Abel and His Times. Called Too Soon by Flames Afar，1996（挪威文版），2000（英文版）) 享譽國際數學史界，目前又接受瑞典政府委託，準備撰寫該國的偉大數學家 Mittag-Leffler傳記。結束後，有一群中學生簇擁而入，原來是他（她）們的老師帶隊，前來參觀阿貝爾的文物。

        在奧斯陸這幾天內，最有意義的行程，莫過於參觀阿貝爾的高中母校 (The Cathedral School of Oslo)。這所教會學校有將近八百五十年的歷史，藏書可以溯及十五世紀歐洲印刷術剛剛發明之後不久的著作，譬如我們就有幸目睹刻卜勒的《論世界之諧和》之第一版。此外，該校為了紀念他們的傑出校友阿貝爾，特別將他當年就學時所借閱過的數學家著作陳列。其中，我們可以發現他在高三畢業前，已經讀遍了包括牛頓、尤拉、拉格蘭吉 (Lagrange) 以及哥西 (Cauchy) 等大師的經典作品了。無怪乎他上大學時，就已經開始著手解決當時最尖端或前沿的數學問題，譬如五次方程的根式解了。

        阿貝爾喜愛研讀數學原典，或許正是這一個時期所養成的習慣。後來在1826年，他在一本巴黎筆記本中 (Paris Notebook) 邊緣空白處，由於深受拉普拉斯 (Laplace)《天體力學》(Celestial Mechanics) 之感動與啟發，特別寫下：『顯然，拉普拉斯所寫下的任何理論，將會遠遠超越次等數學家的研究成果。因此，對我來說，假使吾人想要在數學上有所進展，那麼，他就必須研讀大師而非他的徒弟【之作品】。』(It is readily seen that any theory by Laplace will be superior to all produced by mathematicians of a lower standing.  It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters not the pupils.”) 。而這，也正是本次研討會（乃至於1988年的那一次）之主題。

        六月十一日，我們一行人從奧斯陸坐車前往西南方的 Kristiansand，途中特別造訪阿貝爾臨終臥病在 Froland 的住處。1829年4月6日，阿貝爾因肺結核而病逝於朋友Smith（一位當地著名的鑄鐵工廠老闆）寓所，病榻旁陪伴者有他的未婚妻 Christine Kemp，後來嫁給他的好友 Baltazar Mathias Keilhau。當August Leopold Crelle十萬火急地寄到柏林大學數學系教授聘書時，已經是阿貝爾去世兩天以後的事了。我們除了參觀他的紀念碑（於1905年豎立）、他臨終的病榻之外，也前往 Froland教堂的墓園憑弔。根據當地挪威人的轉述，阿貝爾臨終時曾大聲慟哭，痛恨天不假年，聽來令人鼻酸，否則，他一定可以為數學界與他的國家，成就更巨大的貢獻！根據史家研究，阿貝爾不僅是一位偉大的數學家，同時也是一位有教無類、諄諄善誘的好老師。難怪現代的挪威數學老師，會被阿貝爾的精神所感動，譬如說吧，在Froland地區中學任教的 Ivar Salvesen為了紀念阿貝爾，兩年前就率先發起區域性的 Kappable數學競賽（以班級為單位作 project），目前已經發成為全國性的數學競賽了 -- 今年的競賽主題是『足球的幾何學』，則已經頒獎落幕了。

        六月十一日傍晚，我們抵達 Kristiansand 的Gimlekollen Mediacentre（一所私立的媒體學院），並下榻其招待所，碰到熟識的 Fulvia Furinghetti（國際HPM主席）與第一次見面的Peter Ransom（國際HPM Newsletter 編輯）。有鑒於筆者在台灣持續發行的《HPM通訊》已將近五年（而且內容份量可觀），Furinghetti 與Ramson決定在即將發行的 HPM Newsletter 網路版中，連結我們的《HPM通訊》，可見我們辛苦的耕耘，已經獲得海內外的迴響與肯定了。事實上，有鑑於我們HPM團隊（我們自稱『公館團隊』）的可觀工作成果，上海華東師範大學的張奠宙與幾位年輕的數學史家，也決定自創『海派的數學史與HPM』品牌。不過，這是後話，以後有機會再說。

三、北歐與世界的對話：以HPM為例

        六月十二日，研討會正式開幕。一開始，除了媒體學院主管致歡迎詞之外，Bekken特別介紹了所有與會者，讓大家彼此熟悉。其中，除了包括筆者在內的七位『外賓』之外，其他將近二十五位都是北歐的學者與研究生，由此可見，這是一個迷你型的研討會。其實，這也是 Bekken一開始的規劃，因為他所掌握的贊助款，僅夠二十五人左右開銷（還要涵蓋我們幾位在奧斯陸的訪問費用）。不過，會議規模小型了之後，參與者的互動頻率自然就增長好幾倍，這對於年輕學者或初入門者，絕對是最佳的學習機會，值得喜歡搞學術大拜拜者三思！

        在三天半的研討會中，上午各場的報告時間為四十分鐘，保留給外賓或資深學者。第一天的論文報告者包括了 Otto Bekken，Fulvia Furinghetti，筆者與 Aanders Tengstrand。首先，Bekken補充了十四年來史家對於阿貝爾的更多了解。緊接著，Furinghetti 扼要說明了國際教育界有關HPM研究與教學的概況，當然也提及她在義大利 Genova大學結合HPM 與PME的努力與成果，所謂PME是指數學教育心理學及其國際研究群，Furinghetti在該團體中也十分活躍。然後，則是則由筆者上場，一開始，我介紹了本系大四學生張耀元為《國語日報》所寫的阿貝爾傳記，以及《HPM通訊》的網頁，然後即以 “A Teaching Experiment with Prop. IX. 20 of the Elements” 為題，對於本系大四學生如何對比與反思『質數有無窮多個』的古典 vs. 現代證明，提出一個初步的研究成果。由於歐幾里得 (Euclid)《幾何原本》(The Elements) 中的古典證明已經很少人注意，所以，我的報告引起與會者的熱烈討論，他們對於學生（而且即將擔任實習教師）的反應十分好奇，也提出了很多有意義的評論。報告完之後，Bekken 與Edwards 還特別向我致意，對於古典文本引入課堂的策略，並且引發學生在認識論與方法論方面進行比較深刻的反思，他們都深有同感。對於筆者自己來說，我倒是沒有刻意言宣向歐幾里得這一位大師學習的好處！儘管如此，在我之後報告的 Anders Tengstrand 卻乾脆以 “Back to Euclid” 為題，說明他如何利用美國 Clark大學數學系所佈置的『幾何原本網站』來進行教學。有興趣的讀者，不妨參閱http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html。

        第二、三天上午登場的，主要是來自美國的 Fred Rickey、David Pengelley、Harold Edwards與 Michel Helfgott。前兩位都根據他們的大一微積分教學經驗，舉例說明他們如何將歷史融入教學。任教於西點軍校的 Rickey兩天的報告都是 “We Must Use History in Teaching Mathematics: Examples for the Calculus Classroom”，這一位得過MAA等所頒贈的傑出教師獎的學者，經常利用數學史上的案例，在課堂上製造認知衝突，從而獲得極佳的教學效果。Rickey博學多聞，隨身攜帶筆記本，走到哪記到哪，對於很多數學史實，如數家珍，令人豔羨。

相形之下，任教於新墨西哥州立大學的Pengelley，卻堅持使用古代數學文本。他現身說法，指出他從1989年開始與同事 Reinhard Laubenbacher合作，在該校數學系一門大一榮譽課程中，如何利用原始文本，引領學生體會數學發現之美！他的第一次報告以“The Bridge between the Continuous and the Discrete via Original Sources” 為題，追溯阿基米德、費瑪、巴斯卡、伯努利一直到尤拉等等，說明他們如何代代相傳，在連續與離散之間搭橋，而在最終由尤拉集大成，掌握數值乘冪的總和公式 (formulas for sums of numerical powers)。在隔天的第二次報告中，Pengelley則以 “A Graduate Course on Using History in Teaching Mathematics” 為題，說明他們的數學史與數學教學的結合，已經成功地升級到研究所層次了，而主要的刺激與激勵，則來自1995年開始，他們有機會主持好幾個在地的K-12年級數學教師工作坊。其中，他們指導教師運用古代數學文本，去發展後者在課堂中的『融入歷史的教學模組』(historical teaching modules)，請參考他們的網頁：http://math.nmsu.edu./~history/projects.html。有了這些經驗，新墨西哥州立大學數學系將著手成立數學教育博士班，訓練HPM的學術研究人才。

        此外，任教於紐約州立大學 Oswego分校的 Michel Helfgott 則也開始介入中學數學教師的培育工作了。他以 “Ten Great Books in the History of Mathematics Teaching” 為題，說明他為這些未來的中學教師提供此一課程的動機、構想與實施成果。在隔天的報告中（講題： “A Non-calculus Proof of the Fact that Fermat’s Principle of Least Time Implies Snell’s Law”），他則是指出向大師學習不僅有利於教學內容的豐富，同時，也可以打開知識的新面向。

        最後，則是紐約大學數學系的 Harold M. Edwards，他的兩個講題分別是： “What Does it Mean to Solve a Polynomial Equation?” 與 “Abel’s View of Abel’s Theorem”，對於阿貝爾與加羅瓦這兩位天才數學家的洞察力，有相當深刻的闡述。筆者初見Edwards於1985年紐約科學院的數學史與科學史演講會場，當年我就讀於紐約市立大學。出國前，我老早知道他採取歷史進路，撰寫了好幾部膾炙人口的著作如：Riemann’s Zeta Function (1974)，Fermat’s Last Theorem (1977)，Galois Theory (1984)，我甚至於還讀過他所寫的『線性代數』與『高等微積分』教科書呢。Edwards 出身哈佛，任教NYU幾十年來，從未有機會指導研究生撰寫數學史論文，然而，喜好數學史並融入教學，一路走來，始終如一。

        另一方面，Reinhard Siegmund-Schultze 也提交報告：“How Can We Use Descartes La geometrie for the Teaching of Fundamental Mathematical Notions and an Improved Understanding of the Mathematical Method?”。可惜，由於他的報告時間排在最後一天（六月十五日）早上，我必須在當日一早離開返回奧斯陸趕搭返國班機，無法聆聽他的報告，至感遺憾！德國籍的Siegmund-Schultze 原任教於柏林大學，是國際學界頗為知名的數學史家，兩年前才受聘到 Agder學院來擔任數學史教授 (professor of the history of mathematics)。可見，該校在Bekken的主導下，為了強化數學教育博士班的教學陣容，已經將數學史列為主要的訓練學科之一了。此外，2004年主要負責承辦HPM國際研討會的 Sten Kaijser 也以 “Some Important Problems in the Development of Mathematics” 為題作了簡短報告。他目前是瑞典數學會的副會長，雖然主要研究領域是泛函分析與調和分析，但是對數學史卻一直保持了濃厚的興趣。

四、初試啼聲的研究生

        下午的報告時間從早上的40分鐘減為30分鐘，提交報告者都是北歐在地的學者 / 研究生。這些研究生的報告內容儘管有一點生澀，但都充滿了在地的特色，可以體會他們的老師輩的HPM願景。譬如 Kristin Bjarnadottir，就以 Algorismus（約1240-1270年寫成）一書為例，說明12-14世紀之間，基督徒如何將印度阿拉伯-數碼及其演算法則引進冰島。Kajsa Brating 來自瑞典Uppsala，她的報告題目是 “Malmsten’s Proof of the Integral Theorem – An early Swedish paper on Complex Analysis”，介紹瑞典數學家C. J. Malmsten (1818-1886) 如何發現哥西證明的不足，而企圖提出邏輯嚴密的證明。Johan Prytz也來自瑞典Uppsala，他的題目是 “Farewell Newton and Leibniz, welcome to school – A didactical study”，針對瑞典數學家 Emil Fogelmark 在1873年所寫的一本微積分教科書，分析它的內容並據以理解其教學法之相關脈絡（譬如作者如何考量哥西的經典著作 Course d’Analyse）。在茶敘時間之後，Bjorn Smestad 以 “Historical Topics in Norwegian School Books” 為題，指出挪威一至十年級學生數學教科書內容中的數學史比例，結果發現只有1-2%的份量，其中還有史實的謬誤發生。此外，有一些教科書只納入歷史上的記數系統（尤其還只是羅馬記數法）而已。再者，對於哪些數學家應該選入成為角色模範也沒有共識，奇怪的是，阿貝爾這一位挪威的民族英雄，竟然也幾乎不曾現身在這些教科書之中。不過，Smestad認為與其光是批評，不如起而行，他目前已就機率此一單元，考慮如何將相關數學史融入教學內容之中。

        第二天下午，分別由Claire Vaugelade Berg、Steffan Rodhe, Marit Lahn-Johansen與Ivar Salvesen作報告。Berg是法國人，目前正在Bekken的指導下，撰寫她的碩士論文，她的報告題目是 “Evaiste Galois”。Rodhe是瑞典 Uppsala大學的高級講師，剛剛在六月三日通過博士論文答辯。在他的報告中（題目為：“Samuel Klingenstierna (1698-1765) – A study of his life and mathematics until 1731”），他簡要地說明了十八世紀這一位瑞典最重要數學家的生平事蹟，這位傳主可能擔任歐洲第一位物理教授 (Professor of Physics)，時間是1750年。Lahn-Johansen目前任教於Bergen的一所高中，也正在 Bekken的指導下撰寫碩士論文，她的題目是有關十八、十九世紀挪威數學家 Frederich Christian Holberg Arentz (1736-1825) 的故事，這一傳主曾任教於 Bergen的教會學校。至於 Salvesen，則是前述的 Froland地區的中學教師，他以一位中學教師的身份，上台報告 Kappable 數學競賽的內容，也講述了阿貝爾的生平故事。

        第三天下午，提交報告者計有馬瑮（Ma Li，瑞典籍的華人教授）、Peter Ransom、Steinar Thorvaldsen與Bengt Johansson等人。馬瑮的講題是 “Magic Squares in Ancient Times and Modern Classroom”，提及她在 Linkoping大學教授『線性代數』時，如何在例證中引入縱橫圖（或魔方陣）以提升學生的興趣。Ransom則打扮得像他的傳主十六世紀的 John Blagrave，他的講題是 “John Blagrave, gentleman of reading”。根據 Ransom所拍得的照片，Blagrave在教堂中的的紀念雕像中出現了柏拉圖五種多面體，這是英國僅見的第四處類似雕飾品。Johansson以 “Kepler’s Contributions to Computing and Computer Science” 為題，報告了他所研究的刻卜勒 (Johann Kepler) 之數值計算，其中還提及刻卜勒使用的計算機，可能比巴斯卡所發明的還早20年。

五、感想

        綜觀這一趟挪威之旅，收穫良多，非常值得回味。首先，當然是對阿貝爾的脈絡的一個更貼近的認識，對於他的數學貢獻的一個更深刻的體會。回想三十幾年前，我還是一位生嫩的大二學生時，初讀高木貞治的《近代數學史談》，始終無法理解何以雙紐線在橢圓函數研究中佔有那麼重要的地位，又何以阿貝爾與傑可必 (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1805-1851) 對橢圓函數產生那麼大的興趣？其次，我對當時柏林大學的 Crelle 更是另有一番評價。他創辦 Crelle Journal（現在易名為 Journal fur die reine und angewandte Mathematik）固然為柏林大學的即將成為世界數學中心鋪路，不過，最重要的，卻是阿貝爾的所有論文都是在此一學報發表。或許阿貝爾英年早逝後即享盛名，也正是柏林學派崛起的背景下，他與傑可比競爭橢圓函數研究的一個自然結果吧。

        不過，北歐儘管位處邊陲，但是，從第十世紀開始通過基督教與西歐接軌，到十九世紀時，科學、文學與藝術應該都已完全融入西歐體系之中了。以數學為例，當時十九世紀德國數學（以柏林大學為中心）逐漸崛起之際，阿貝爾適時到訪所引爆的不凡才氣，為未來柏林學派留下了美好的願景！另一方面，阿貝爾的英年早逝，並未阻斷他的挪威後濟者之數學膽識，在十九世紀的挪威數學史上，還有兩位偉大的數學家：Sophus Lie (1842-1899) 與Lydvig Sylow (1832-1918)。事實上，在北歐學術圈之中，丹麥（譬如量子力學的哥本哈根學派）與瑞典（譬如斯德哥爾摩大學的 Gosta Mittag-Leffler）也都有令人驚奇的表現，值得我們效法與學習。

        回到數學史與HPM上面來。由於 2004年的ICME-10以及其HPM與PME衛星會議，都將在兩年後分別在丹麥與瑞典召開，所以，如前所述，本次研討會可以視之為HPM的會前會。正因為如此，筆者有幸應邀參加，得以深入瞭解北歐乃至於美國同行的工作實況，並思考將來促成HPM國際合作的可能性，實在是難得的一次旅程。期待2004 HPM國際研討會召開時，國內學者也能到場，提出令人驚豔的研究報告。最後，請容許筆者在此先感謝挪威政府以及我國國科會的部份旅費贊助。

參考文獻

Bekken, Otto (1988). “Read the Masters – Read Abel! A biographical sketch”.

Dunhaam, William (1999). Euler: the Master of Us All. Washington, D.C.: MAA.

Jackson, Allyn (2002). “Norway Establishes Abel Prize in Mathematics”, Notices of the AMS 49 (1): 39-40.

Lauben, Reinhard & David Pengelley (1999). Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers. New York: Springer-Verlag New York, Inc.

Studhaug, Arid (2000). Niels Henrik Abel and His Times: Called too soon by flames afar.
Berlin / Heidelberg: Springer-Verlag.