天津記行

參加第五屆漢字文化圈及鄰近地區數學史與數學教育國際學術研討會心得

台師大數學系教學碩士班 陳冠良

距上次搭飛機已是十年光景。說實在的自覺有飛機恐懼症，十年前應說是初生之犢不畏虎，無舊基模之影響，而現今卻是學習的動力所驅動。除此之外，踏上一段未曾經歷的旅程，很自然的會讓我思索未來的方向，或許是個性使然抑或是旅人們的共同交集。

踏上地理名詞—天津

昔日的地理名詞在經過約莫十個小時的行程終於不再虛擬，由於十年前搭機的舊經驗已不復存在，只能如小書童般亦步亦趨地跟著洪老師（其實目前我們在學術上的訓練亦如此接受老師的薰陶），隨著天津師大的接機人員撘上計程車往目的地出發，初入眼簾的是偌大的道路（天津的道路多以道為名），也見了許多大樓，但相對的覺得有點空，這並非存在著任何莫名的優越感，就好像在台北的街頭，熙來攘往的人群、車流、高聳的建築中，我亦覺得少了些什麼元素？

天津的第一天

抵達了天津師大後，被安排住進了留學生宿舍（像飯店的宿舍），大致安定好後，便把握時間直奔研討會場，沒料到因議程些許變動撲了空，正好見敏皓與人正在做學術上的交流對話，就湊了上去由於語言上的相通，溝通上更加方便、親切。這使我想到2000HPM 時我的窘境，當然這不能當作藉口，在學術的研究上不能只期望都碰上同一語言文化之人；亦不能只閉門造車，文化的多面向的體認應是做數學史研究的基本素養。對話結束後陸續看到了同行的夥伴，也與與會的學者、天津師大的研究生做些許的交流，在這樣的一個氣氛與環境之中，分享是一種常態。

就像是初生的嬰孩，對於週遭事物滿懷好奇心，我想在做學問上也應該如此。一行人相約去壓馬路，首先，當然是去天津之地標－電視塔。塔周圍是市集，宛如台灣的夜市，但規模卻比台灣一般鄉鎮的夜市小了些，天津市的橋上的霓虹燈管、高塔、大樓是堪比大都會，但與消費能力又格格不入，或許整個大環境仍在調整之中，不知整個思維的深度與廣度是否也同步演化呢？

說著說著眼見十一點半，過了天津師大門禁的時間，一干人等未入境隨俗，只落得爬牆的窘境。雖然遇見一位韓國留學生，但他只有『我不知道』三個字說得最清楚，所以也是雞同鴨講，無奈以韓國數學史為研究主題的我，韓語學習計畫尚未實施，也沒法使得上力。大伙只好使勁地爬，真難為了瓊茹、文佩、美雲了。

Wow！郭書春老師

隔天起了個大早，背起背包裡頭裝了兩本郭書春老師的大作，等待時機滿足另一種偶像情結，就如同高中時期看了幾篇洪萬生老師的文章也想一睹廬山真面目一般。當上午的議程甫告一個段落，便趨前欲向郭老師自我介紹，說時遲那時快，他就已伸出手，出人意表的說：『你是冠良是吧！』當時頗感意外，在他的細心及親切中，也蘊含了學者的風範。這亦是拖洪老師的福，才讓他有此印象，接著與他拍照時，還幽默的選擇背景與角度。

當然其間亦見到了李迪、李兆華、郭世榮、馮立升等人，這些名字想必在許多人的參考文獻中出現過，他們也都不吝於分享他們的研究成果及回答我們所問的問題。與日本學者接觸的經驗也發現相同的風格，他們更熱情的承諾回日本後，會將更多的相關資料蒐集完備寄送到府，可惜的是這次沒有韓國學者與會。

由這次經驗使我深覺得除了教學相長外，亦要透過批判與對話來拓展思維，當然是否建立這樣的一個環境機制是非常重要的。

參訪東陵－巧遇李善蘭

整個行程中有一天是安排戶外參訪，大伙兒多數決定要往郊外路線，主辦單位安排了參訪清東陵－清朝皇帝的陵墓（含慈禧太后）。縱使當年權傾一時、叱吒風雲的人物，亦是棺槨一具、黃土一坏，但是評論一串。在參觀皇陵的地宮時洪老師還機會教學一翻，指出九章算術中的羨除（墓道）。

就如台灣風景區常見的小販，但這些小販除了販賣紀念品、水果外，仍肩負著重責大任－管理先人的墳墓。原來他們大多是滿族人，而隨著朝代的更迭，境遇亦有重大的轉變。由於每個景點參觀時間有限無法詳細看盡，也因此稍加留連難免擔擱時間，但在這麼一個時間差中，讓我們巧遇李善蘭。

在向一位小女孩買冰棒時，眼尖的徐澤林教授（目前帶領一研究生研究九數略）發現盛冰的桶子上藏有玄機，大伙仔細一瞧，原來是李善蘭的畫像，應該是從教科書中撕下來糊冰桶用的，李善蘭名字一呼真是觸動了研究數學史的人之神經，大家呼朋引伴爭相探尋，小女孩發現事有奚翹，馬上展現生意人的機靈，蓋起冰桶蓋，當眾宣佈－買冰才給看，此時李善蘭著實幫他挣了不少銀子，除了數學上的貢獻外，這可能是李善蘭萬萬沒想到的吧！

當車行至下一站時，車門一開，小女孩又佇立門邊，或許期望那位冰桶上的人物能再為他多挣些錢吧！令我感到驚奇的是，小女孩是騎腳踏車啊！而我們是搭巴士，我不禁會心一笑，李善蘭的威力再添一筆。回程時腦海中浮現這些塲景，也浮現一些問題，或許小女孩會快樂的數著鈔票，但不解為何李善蘭有如此大的魅力，也許她也沒機會去了解李善蘭是何許人也。

天津再見－再見東京

五天的感受無法在有限的篇幅中道盡，甚而有些仍在蘊釀、沉澱中。有學術上、文化上、政治上的種種感受，也交了一些朋友。思維上的交流及衝擊兼而有之，希望有機會再一一道來。揮別天津機塲時一行人似乎仍受到特別關愛（被機塲人員暗中拍照），深覺對岸在整體學術環境的演化上仍要一段長時間的進程，

而今2002天津再見，亦期盼2005再見東京。

天津之旅

                  蘭陽女中 陳敏皓老師

    八月中旬（8/8－8/13），筆者隨同洪萬生教授前往天津師範大學，參加第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會，同行還有慶章、冠良、文珮、瓊茹與美雲。這次會議除了再次貼近數學史的情境外，也同時拓展我的國際視野，並且有機會與許多數學史家如李迪、郭書春、李兆華、羅見今、杜瑞芝等當面請益，他們的熱情與謙虛，令我十分感佩。還有，那種出現在你面前的眼見為憑（To see is to believe！）的興奮，至今回憶仍覺得十分雀躍，從與談話中，更能體會什麼是大師的器度與風範。

    談到此行的收穫，除了在數學史與數學教育議題有著更寬廣的視野外，同時更了解各與會學者目前所研究的領域與方向。此外，我想還有最重要一點，就是結交志同道合的好友，例如：結識一位來自於烏魯木齊的阿米爾教授（哈薩克人），他是新疆大學數學史專家，為人風趣且友善，雖然年逾六十，但是體力充沛，仍有一股動力想學習許多數學新知。他在研討會期間從不缺席，這種好學精神很值得大家借鏡。同時，他為了在新疆少數民族（哈薩克人、回人、維吾爾人等）中傳播數學史知識，特別用哈薩克文編寫一本數學史教科書。此外，我們還認識一位來自日本的朋友－柳本浩（日本南部和算研究所）。柳本浩為人極為謙虛且熱忱，講話慢條斯理很有學者風範，他帶來日本十七、八世紀所遺留下的珍貴數學遺產照片（『算額題』，匾額內的數學問題），並且非常熱心地向我們解釋、介紹其中內容，甚至還邀請我們到當地做學術交流。

    這次去天津，洪老師還提議讓文珮及我上台報告論文相關議題，我的題目是「李之藻的中西會通工作」。因此，去天津師大是一則為喜、一則為憂，喜的是有機會能出國見識一番，憂的是想到要報告就惶恐不安，畢竟自己在數學史方面的造詣是還不深入，談的上只算報告自己所學內容。但是，一到報告會場那種鼓勵勝過責難的氣氛，馬上讓報告者心情舒坦許多，我也就在如此的情境下，完成一項任務，多位聆聽的教授與學者們，並在我報告完畢後，給予我許多寶貴的建議與應修正部份，令我感到十分被尊重與肯定，這是數學史會議令人著迷的特點之一。

    除了在學術方面有紮實且緊湊的會議外，這次大會在戶外旅遊方面，也十分用心，利用假日帶領大家參觀東陵（慈禧太后陵、清朝皇陵）與天津市郊的薊縣（保有許多古蹟及唐朝佛寺），許多文物與景觀摟令人嘆為觀止！天津市不論在政治、經濟、文化、商業都占有舉足輕重的角色，它在歷史發展的過程中，其地位也是不容許遺忘，例如：天津市區內有許多民初所留下的租界區，漫步其中就彷彿置身於浪漫歐洲街道中。我們幾位當然必須把握時光將天津市逛上一圈，因此，晚上的活動並不遜於白日學術演講緊湊，幾個市區著名的景點與夜市，都有大夥們的足跡與蹤影，大家也採購得非常快意！

    總之，很感謝洪老師能讓我們這一群子弟兵有機會跟班，更由衷謝謝天津師範大學作為舉辦的東道主。他們的努力與熱忱，讓我們感覺備受尊重，不論是機場接送、大會議程、餐點飲食、住宿、旅遊參訪等細節，他們都已經做了最好模範。最後，特別要謝謝徐澤林博士在我們要離開天津的早晨，還特別準備巴士並且起了大早為我們送行，如此種種都是我特別懷念「天津之旅」的原因。

天津師大行旅

桃園縣青溪國中 王文珮老師

「第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研究會（ISHME5）」於8月9日至12日在天津師範大學舉行，筆者在洪萬生教授的帶領下與其他幾位研究生同行，很榮幸地能夠在研討會上發表論文，是一次難得的研究學術經驗。

我們一行五人提早在8日到達天津（洪老師與學弟二人晚一日），非常感謝李兆華教授指導下的二位研究生在機場的引領。當天的招待晚宴上，與來自各地的數學史家共進晚餐，而哈薩克族人阿米爾教授（任教於新疆大學）驚奇地說道，我們是他頭一回見到來自台灣的人民，我們也異口同聲地回應著相同的感受，阿米爾教授熱情地將他以哈薩克民族文字所撰寫的數學史著作回送我們。雖然面對的是陌生的文字，但可以感受到世界各地數學史家的熱誠與用心。每日早上安排約二小時的大會報告議程，其餘時間則進行分組報告。大會在同一時間將報告人員共分成四組進行，每場有二十五分鐘的報告時間，報告的內容極為廣泛，有關數學史、數學文化、數學教育，所涉及的地域有中國、阿拉伯、哈薩克、日本、越南、印度。大會在11日安排了市內旅遊及郊區踏青兩條路線任君選擇，筆者參加郊區活動。參觀了北京郊區的東陵及獨樂寺。當天必須起個大早，歷經三個半小時的車程終於到達目的地－東陵，參觀了慈禧太后、康熙及各阿哥的陵墓，有一「倒龍為鳳」以鳳在上，龍在下的雕刻立於慈禧太后陵墓前，這是否也算是當時女性主義抬頭的證據之一呢？遊東陵時，有著一段小插曲。一位八旗後代的年輕女孩前來兜售雪糕，洪老師眼尖地瞧見箱子外糊著印有李善蘭畫像的紙張，對我們探討數學史的一行人產生了同時性（simultaneity）的效應而驚異不已，也為女孩帶來更多的生意。

筆者以此行後即將發表的碩士論文之部分內容為題，在研討會上進行報告。三年前幸運地進入台灣師大數學教學碩士班就讀，與大夥一同學習的日子是充實而愉快，在教學之餘能夠再度進入研究所修習課程，是一件幸福的事。隨著洪萬生老師的引領，得以窺見數學史的浩瀚風貌，促使筆者在洪老師的指導之下，完成以「楊輝算書探微：一個HPM的觀點」為題的碩士論文撰寫工作。在初讀文本時，確有丈二金剛摸不著頭緒的困窘，一天的進度不及一頁，但在洪老師及同學的鼓勵之下，相互切磋討論，逐漸能在文字中找到閱讀的樂趣。經過這二年的學術洗禮，不論成果如何，在學習過程中有困頓、迷惑，但承蒙洪萬生、郭書春、城地茂等多位老師的協助，也終究豁然開朗，其間的個中滋味只有親身經歷才是最真實的感受，知識的進步顯然是實際的收獲之一。此外，對於加諸自身工作的態度上亦較以往坦然，視之為提供學習的好機會，工作不再只是一件苦差事，愉快的心情是處事的重要因素，這是完成論文後的另一體驗。洪老師不斷地給予鼓勵和支持的正面態度，更加強了筆者完成論文的信心和毅力，裨在往後的教學生涯中為我樹立了為人師表應有的典範，這些都是論文寫作過程中點滴累積所得。

筆者此行報告的主題是截取楊輝《乘除通變本末》下卷的「加因代乘三百題」及「歸減代除三百題」，探討楊輝算書時較被忽視的部分。楊輝在下卷以專章詳列一至三百乘法與除法的說明及例題。以數學知識的角度來看，《乘除通變本末》上卷已經說明了乘除法則，下卷將六百題捷法一一詳列，似乎顯得太過多餘而累贅；但從HPM（Relations between History and Pedagogy of Mathematics）的觀點來看，楊輝算書以初等實用民生數學為主要的內容，適合初學者研讀，《乘除通變本末》下卷的安排就有其存在的必要性。以筆者的教學經驗為例，中等程度學生在學習的過程中，一次的說明是不足以將所需習得的概念加以建立，加強數學例題及花費更多時間的說明，在教學過程中有實際的必要，因此，筆者提出「量變」產生「質變」的觀點。吾曾在教學過程中，曾多次非正式地對於中等程度以下的學生加強基本數學題目的示範解說，並增加接觸練習題的次數及數量，並給予難題上的解答。在一學期之後，該類學生在數學的學習成果方面有明顯進展，進而提升其數學學習的興趣，不再需要太多的外在動力，便能夠在數學領域自我學習。這更促使吾人相信，量變產生質變在教學上的作用。在場者有李迪、郭書春、程貞一等幾位教授以及數位日本學者，特別要感謝郭書春教授的稱許及指正，使吾人此行後發表在即的碩士論文更為充實。會後，日本南部和算研究所的柳本浩教授贈予他編著的「高等學校數學基礎學力調查－問題集」一冊及上一屆本研討會所發表的論文數份，希望能帶回台灣與同好者一同分享他的研究心得。

感謝大會給予研究生在國際會議上有發表論文的機會，藉此成為進入學術研究領域的試金石。而筆者有幸參與，在學習過程中產生了重要的啟發功用。在之前僅能拜讀前輩們的大作，如今能在會議上親見大師們的風采，讀者對於他們的著作領受到更深一層的意義。除此之外，有機會結識各地的學習夥伴，與研究生們相互交換學習心得，更能理解到各方的研究環境。在回程中，於香港機場巧遇中研院史語所所長黃寬重教授，黃教授在宋代史方面有深入的研究，他的著作給予筆者在碩士論文中頗多幫助，當應再次致謝。此行共費時六日，返家時雖感到幾分疲憊，心中卻是帶著一路上的愉快心情，與家人一同分享行旅中的點點滴滴。

PME26英國行（7/20∼7/25）

                             彰師大科教所博士班研究生 蕭雅慧

   懷著興奮的心情，我於7/18搭上長榮班機飛往倫敦，主要目的是參加PME26，順道拜訪倫敦大學的教育學院，以及夢幻中的劍橋大學，想去探訪志摩走過的足跡，尋幽訪勝。

什麼是PME呢？PME是一年一度的數學教育國際學術研討會，世界各地數學教育學者與會一堂。2001年在荷蘭，2002年在英國，2003年在夏威夷，2001年數學史國際研討會HPM在台灣舉行，2004年在瑞典舉行。如果每年至少參加一次國際研討會，20年後一定會博學又多聞吧!

今年來參加PME的台灣人有10位。林福來處長曾說，來參加PME的人數多的話，可以引起國際學者對台灣數學、科學教育的重視，提昇我們科學教育、數學教育在國際上的地位。國際研討會最重要的就是英文，論文寫完以後要翻譯成英文，present時要說得流利，但因為非英語系國家還是佔多數，也不必說的太快，這樣大家才可以聽得清楚。討論時，最怕的就是聽力跟不上，就怕愈慌張愈聽不懂。

想起這兩年來，我每天都訓練自己的聽力，去年我在PME25晚宴時曾和德國教授東南西北的聊天，沒想到今年聽英國人演講時，還是聽不太懂。這才發現，外國人說的英文，以日本人說的英文最容易懂，其次是非英語系的如德國人、荷蘭人，英國人口音，我們聽不太習慣。美國人因為是他們自己的語言，演講或討論時，雖然已經注意速度要很慢，還是比對談時快很多，因為對談時，他可以根據你的回答來調整他談話的內容和速度，所以，與外國人一對一溝通，可能不是難事，但是團體討論時，如果你顧忌別人對你的想法，也許是有時聽不太懂，或者心慌對英文沒自信，就很難達到對答如流了。我想：這是我們多數沒有留學經驗的人，要克服的心理障礙。

有一位博士班學生第一次來參加PME，看到他的學姊在conference的presentation做的很好，說：「學姊，你為什麼能做得這麼好？」，學姊說：「我也是經過很多的努力，一步一腳印才做到的，你最初來參加conference，可能有很多聽不懂，就當作是付學費吧！不管學會什麼，都是要付學費的。」學妹說：「如果都聽不懂，來參加PME能學到什麼？」，我說：「去年，我來，最大的收穫，就是認識了在台灣為數學教育貢獻的前輩，平時他們很忙，特別去拜訪他們，還不見得有時間說話，反而是在conference時，比較有機會請教他們，和他們談話，使我覺得勝讀十年書的感覺。同時，他們也對我鼓勵有加，告訴我，數學教育需要很多人來共同參與。參加PME，知道要努力加強英文聽和寫，知道自己努力的方向和目標，增長了許多見識，認識了許多朋友……這些對我來說，是很寶貴的。」

學妹說：「那麼，今年呢？」「今年，知道要加強了解，要先做準備，把當天要討論的議題，先做預習；了解來參加conference，可以了解世界各國的數學學者研究的方向和時下的熱門議題，也定下了明年努力的目標。老師告訴我，可以在這裡找到研究的題目，也可以買到國內還沒出版的書。」

老師的話，使我想起為什麼唐朝皇帝要表彰三藏西域取經的貢獻，從前交通那麼不方便。即使是現在，書籍仍然是很重的，教授們每年不辭辛苦的出國，把最先進的學問、書籍帶回來，使我們的科學教育、數學教育能與國際學術接軌，我們學生何其有幸？我們只要努力用功就能報答師長的栽培嗎？不，我們要努力的去傳承師長的學術以及他們做人做事認真，樂於學、勤於教，一生奉獻學術的精神，弟子要去追隨師長走過的足跡。如果有一天師長走不動了，弟子要繼續走，不使學術斷層。也就是說，在學術上承先啟後，任重道遠是我們不或忘的職責。

去年荷蘭行認識了兩位大師：Alan Bishop和David Tall，這次英國行認識了兩位數學教育大師 Babara Joworski和Lyn D. English兩位大師。Alan Bishop很帥，鋼琴彈的好極了，David Tall很胖，學問可以和他的身材比美，David Tall即將來台灣師大講學，問我要不要去上他的課，我告訴他，我很樂意去上課，但是我得先請示我的指導教授。平日讀Babara Joworski的文章，以為她是一個道貌岸然的老夫子，想不到她是瘦瘦的，面帶微笑，很可愛的女教授。我去參加她所主持的workshop，人氣很旺，很多人慕名而來，主題是：投稿期刊應該注意的事項。由於語言的不適應，這堂課雖然我沒有什麼收穫（因為在台灣，課堂上都上過了），但是能發現，Babara上課討論的方式，很高興竟然和張靜嚳教授的建構教學模式一樣。常常覺得建構教學，教師應當以學生為中心，先設計鷹架，讓學生在老師設計的鷹架裡，無形中step by step的主動建構，而不是放牛吃草，放任學生毫無方向的探尋。

每一次研討會，主辦單位都會舉辦旅遊活動招待與會學者，這一次我和台灣師大博士班學生楊凱琳同遊英國的大花園。凱琳善良、聰明，反應很靈敏，一路上很照顧我，我們是忘年之交，凱琳和金鈐老師的小師妹（現在是劍橋大學的博士班學生）交談甚歡，竟也討論我的年齡，他們驚訝於我看起來比實際年齡年輕，我半真半開玩笑的說：「可能是我很認真的討論學問時，常常忘我吧！甚至於地球也忘了轉動吧!」

我們在英國的大花園裡，巧遇Lyn D. English。她在認知和model很有研究，編輯了一本有關數學教育的handbook很受重視。我想很難得的機會，要幫她照相，但是她不喜歡照相，只好偷拍。林處長說11月在台灣師大舉行國際研討會，會邀請他們來。我想國內舉辦的國際研討會若能踴躍參加，實在是太賺了，既省學費又省交通費。我看到國內教授們在國外所做的貢獻超越個人的恢弘氣度，深受感動，想到自己常常為自己的小問題打轉，不禁汗顏。

Conference很快的結束，每一個人的行囊裡，除了厚厚四本的資料，又增加許多新書。這些學者有一個共同的嗜好，喜歡讀書，看到和自己研究有關的新書如獲至寶，毫不考慮台幣英鎊是50：1的匯兌，真是可愛。我們在倫敦大學教育學院主要是去買書，學的是數學教育，但是有關數學、教育學、心理學、社會學、哲學的書，都是必讀的。買書之外，最重要的還是閱讀，閱讀之外還要多寫、多思考、多討論。參加Conference可以認識很多學問上的朋友，當我挑燈夜戰時，天涯若比鄰，我不覺得孤單。只要有任何問題，隨時可以和世界各地的學者以Email討論。重要的是，我要好好磨練自己英文的聽、說與寫，因為那是知識之鑰。