希爾伯特的難題--
評《希爾伯特的23個數學難題》

台大數學系 翁秉仁教授

1900年在巴黎舉行的國際數學家會議(ICM)才第二屆,今天大家之所以還記得這個會議,都是因為偉大德國數學家希爾伯特在會議中提出的23個問題。愛好數學的學生,多少都聽過這段故事,它就像數學史上的一則傳奇,是這些懷有熱情理想學生的時空聖地。在想像中,會議當天冠蓋雲集,希爾伯特如同巨人般站在講壇上,為當世與未來的數學家提出將要照亮後世的23個經典數學問題。

但是,真正的歷史呢?如果讀者對下面這段文字也能夠讀得津津有味,那麼您大概就會是葛雷這本書的知音:

十九世紀末,作為專家機構的各國數學學會才成立不久;如今獨霸一方的美國數學界,當時還是化外之地;1900年的大會,只是新世紀巴黎大大小小科學會議中的一個,顯得雜亂無章;因為定稿太晚,希爾伯特的演講並不是主要演講,而是廁身傳記歷史類的演講,演講當天他其實只講了十個問題,而且演講後的聽眾反應算是冷冷淡淡,希爾伯特自己酸酸地說「與會者質量都不怎麼樣。」

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針對23問題,一般的評價是領域不平均,有些問題問得不高明。有些問題壽命很短,例如第三問題在講稿付梓前就被解決了;另外有幾個問題,問得含糊不清,比較像想法的勾勒。基本上,希爾伯特較拿手的領域如代數、數論、數學基礎,甚至分析,他都提出具生命力的好問題。但其他像物理公設化的問題,物理學家似乎並未當真。另外幾何、拓樸與隨機數學幾乎沒問出什麼問題,相對於廿世紀裡這些領域的蓬勃發展,倒也清楚看出希爾伯特的界限。

許多人喜歡拿希爾伯特與法國數學家彭卡勒(Poincare)並比是有道理的,兩人一時瑜亮,思考取徑也涇渭分明。廿世紀前半期,希爾伯特的影響讓數學基礎與純數學蔚然成風,竟讓本來水乳交融的數學與科學,產生斷裂的危機。廿世紀後期,這個趨勢才逐漸轉回彭加勒式的取向:幾何、直覺與親近科學。

於是,廿世紀末最有希爾伯特架勢的數學家之一的阿提雅(Atiyah),在《數學:邊界與展望》(2000)序中,說道

......希爾伯特問題對廿世紀數學的影響,可能是被誇大了,當然他掌握到重要的議題...但是希爾伯特他在同節後面又說本身數學工作的影響力更大。

最後,廿世紀後半期的數學又走回一個不那麼強制的觀點,比較接近彭卡勒的精神,強調幾何的思考,即使在代數與數論領域都不例外......

葛雷的這本書充分地闡明阿提雅的第一段話,就希爾伯特對廿世紀數學影響的許多「想當然爾」的論斷,作者都能成一家之言予以回應,小心地恢復希爾伯特思想的合理原貌。但是如果作者也想藉23問題的演變,描繪新世紀的數學地貌,那書中缺乏幾何的視野,就是一個明顯的過失。令人覺得可惜的是,本書顯然是為了千禧年與希爾伯特致詞百年而寫的,而且就其主旨而言,似乎也該引介新世紀前夕的數學現況與前景,但是作者在這方面著墨甚少。事實上筆者十分不解的是,葛雷連名列第八問題,如今也是Clay研究院懸賞七大百萬名題的「黎曼假說」竟然也不佔什麼篇幅。

這不是一本科普書,作者是英國的數學史家,出版社是牛津大學出版社,科普書常見的人物軼事很節制地穿插在本文內(如果讀者對人物較有興趣,應該讀另一本也是針對23問題的新書The Honors Class)。葛雷的主旨是藉著希爾伯特的問題,描述廿世紀數學社群的遷變與數學思想的變化,尤其是數理邏輯與數學哲學間的糾結,以及純數學與應用數學邊界的挪移。書最後附上的希爾伯特演講全稿,更可增加這本書的保存價值(其中前言部分最值得細讀,希爾伯特成熟通透的數學思想,躍然紙上)。

因此,這本書的優點恐怕也就是它的弱點。文中尷尬使用的數學術語很多,完全見證了數學知識的累積性或排他性。而且葛雷行文冷靜謹慎,對他自己議題的關注,遠甚於挑動讀者的閱讀欲,再加上他所處裡的課題之一是廿世紀數學社群的歷史,這都需要讀者有強烈的求知慾與歷史感才行。本地出版社願意迻譯本書,恐怕是文化使命感遠大於商業考量,真是令人感佩。

但是,對於恰當的讀者來說,這可能是近幾年來最令人興奮的數學普及書之一,即使在數學科普書的參考書中,也很少見到這許多可能只有數學家,才會閒餘閱讀的刊物(The Mathematical intelligencer, Bulletin AMS, NOTICE AMS, Archive for History of Exact Sciences等),事實上這一二十年來,是現代數學史研究成果豐收的時候,作者將許多新近的材料放進來,讓只是讀過Reid的希爾伯特傳記或M. Kline數學史著作的人,有可以重新閱讀思辯的樂趣。葛雷也等於是藉這個數學家最感興趣的課題,在枯燥的數學史專著中擷精取華,從側面作一次數學史成果的展示。

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現在談一談中文譯本,如上所述,本地出版社為讀者引入這本書,本身是件值得敬佩的事。而這本書的完成度也很高,全部的內文全部譯出,包括可能是台灣第一份希爾伯特演講的中文完整譯文,再附上全部參考資料,並且為中文讀者貼心譯作一份頁碼索引(熟悉國內科普書的讀者應該會會心一笑)。

科學書難譯,數學書更難譯,我們可以想見翻譯與編輯作業的困難度,本書的譯者是當行的數學家,在翻譯充滿數學詞彙的本書時,絕對會比一般譯者來得可靠也省力得多,不過譯者的文筆不脫專業的深澀,這種情況尤其在譯者可能比較不熟的數理邏輯領域特別明顯,讀者得花一些精神來適應。由於譯者不是專業筆耕者,編輯可以在文字流暢的處理上再加把勁。不過有一些瑕疵可能編輯也不容易察覺,筆者舉幾個例子:

在談到「地位」(status)時,出現這句「數學的地位不只有利於人或是學校,也有助於領域及問題」,但原文的意思應該是是「在數學中,地位不只會在個人或大學上積累,也會凝聚在領域或問題之上。」(p.23

『在整個十九世紀,幾何就是因為嚴謹的典範而式微」這個令人訝異的斷言,其實是「就作為嚴格性的典範而言,幾何的地位在十九世紀逐漸式微。」(p.33

在希爾伯特講稿中說「嚴謹(這已經成為數學的別稱)的要求正對應到『了解』在哲學意義上的必要性。」,若按拙譯「嚴謹(這已經是數學家的口頭禪)的要求正對應到人類知解中普遍的哲學必然性。」(p.304

數學上的錯誤:有些是原書的錯(p.332, 335, 340),譯者在翻譯時沒注意到,大部分則是校對上的疏忽,如p.102,103兩個專欄都有錯,後者錯得相當離譜。另外,在附錄的23問題列表(中譯本移到書前)、〈關於邏輯〉以及〈名詞術語〉部分,都出現明顯的誤譯(例如「函數表為平方和」譯為「平方和的函數」;詞彙「代數函數」的解釋),頗嫌美中不足。另外將method of exhaustion譯成「窮舉法」(應是「窮盡法」),也是錯誤的。

最後還有一個值得商榷的譯法,在書中譯者將代數中的field依大陸用法譯為「域」,而不是台灣常用承襲日譯的「體」,雖然「域」的譯法就英文來說較正確,但是由於代數中還有domain一詞,一般也譯為「域」(例如integral domain整域,大陸譯為「整環」,並不合英文用法),偏偏在書中還出現「有限整域」(finite field of integrality),另外也出現「基本域」(fundamental domain, fundamental field)兩詞一譯的情形,這些紛亂似乎應該釐清或加註說明。

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在結語中,葛雷在歷史中穿梭,評價希爾伯特的成就,站在巴黎講台上那理性自信的青壯身影,驀地清晰起來。希爾伯特的演講是一個分水嶺,將數學從進步清晰的十九世紀康托樂園,送入爭議四起、確定性失焦的廿世紀,也暗喻著兩次大戰的人類史轉折。在數學史上也許只有這麼一刻,能夠這麼堅定單純,仿如飽滿的青春年少。到底要怎麼跟年輕的數學學子談論這段歷史呢?突然間,一切似乎也變得難以確定了。也許能夠確定的是,只要學生對數學的熱情持續不減,相信這本書總有一天會重回他們的案頭來。