中立幾何、面積概念與非歐氏的Ⅲ.36

                         桃園大園國中 英家銘老師

一、導論

歐式幾何最初的五個公設中,最耐人尋味的莫過於有名的「平行公設」了,它說到「同平面內一條直線和另外兩條直線相交,若在某一側的兩個內角和小於兩直角,則若這兩直線經不斷延伸後在這一側相交」。這個公設與其他四個公設和五個公理似乎格格不入,因為那九個命題似乎都是「顯而易見」的。兩千多年來,許多人嘗試要用另外九個公設 / 公理「證明」平行公設,但任何的證明最後都被發現需要假定一個與平行公設等價的假設。

接下來,就是大家所熟知的故事。德國的高斯 (Gauss, 1777-1855)、匈牙利的波里耶 (Bolyai, 1802-1860) 與俄國的羅巴秋夫斯基 (Lobachevsky, 1793-1856) 三人別獨立地假設平行公設是錯誤的,而發現第一種非歐幾何。在這種幾何中,過直線外一點與此直線不相交的直線將不只一條。我們稱這種幾何為羅巴秋夫斯基幾何 (Lobachevskian geometry) 或雙曲幾何。

從那個時代開始,幾何就從歐幾里得的世界中被「解放出來」,許多不同的幾何被建立,其中最有名的就是黎曼幾何 (Riemannian geometry)。雖然如此,歐式幾何仍然在中學生學習基礎數學中,佔有了重要地位,而且它似乎也較符合人類感官的直覺。歐式幾何中較為基本的部分,也就是不涉及平行公設的部分,與雙曲幾何是完全相容的,這些部分被稱為『中立幾何』(neutral geometry) 或『絕對幾何』(absolute geometry)

本篇文章改寫自幾何學家Robin Hartshorne在《美國數學協會月刊》(The Mathematical Association of America Monthly) 110期所發表的 “Non-Euclidean .36” 一文。該文中將《幾何原本》命題Ⅲ.36(按即第三冊第36命題,底下記號仿此)稍微改動之後,證明它在非歐幾何中也會成立,從而,我們可將命題Ⅲ.36視為『中立幾何』的一部分。在以下的內容中,我並不會轉述作者的嚴格證明,但是,我會將一些文中用到的非歐幾何與面積等概念加以說明。

二、中立幾何與物理世界

中立幾何包含所有從一組嚴謹的平面幾何公設出發、而不須假設或否定平行公設,就可以證出的那些定理。在《幾何原本》中,有許多部份的確可以只用前九個公設 / 公理證出,比如《幾何原本》中的前二十八個命題,其中包含三角形全等定理SAS (I.4)SSS (I.8)ASA (I.26),以及三角形兩底角相等為等腰 (I.6) 等基本的定理。而且有趣的是,雖然我們不假設平行公設,但我們仍可證出兩個與平行有關的命題,亦即「若兩直線被一線所截且使一組內錯角相等則兩線平行」(I.27) 與「若兩直線被一線所截且使一組同側內角互補則兩線平行」(I.28)。有些共點定理,如「三角形三內角分角線共點」(參見Ⅳ.4) 可以很輕易的在中立幾何被證明,但其他定理,如「三角形三高共點」則得花一番功夫我們才能確定它也屬於中立幾何。在雙曲幾何中,我們否定平行公設但接受其他歐式幾何的公設。而且,我們可以證明,雙曲幾何中的替代公設與其他歐式公設完全相容,亦即用這個替代公設絕對不會導出與其他公設矛盾的結果,所以,所有中立幾何的內容在雙曲幾何中也會成立,我想這也是中立幾何被稱為「中立」或「絕對」的原因。

在歐式幾何中過線外一點洽可作一條平行線,在雙曲幾何中過線外一點則可作超過一條的平行線,所以很自然地,我們會想到第三種幾何。這種幾何接受所有平行公設以外的歐式公設,且加上一條公設:「過直線外一點無法作一直線不與原直線相交」。然而,我們可以輕易地證明,這條公設與某些中立幾何的結果是矛盾的,比如前述的I.27。為了要得到一組相容的公設,其他的歐式公設必須被改動,再從新公設出發建立一套幾何,這個與雙曲幾何不同的非歐幾何後來被稱為Riemannian幾何或橢圓幾何。

    對於許多剛接觸非歐幾何的學生而言,他們常會提出的疑問是:「到底哪一種幾何才是真的呢?」當然,他們的意思是:「哪一種幾何才能適當地描述我們所在的物理世界呢?」撇開需要許多拓樸學理論的量子世界不談,即使只以人類感官的尺度來看這個宇宙,這個問題也沒有直接了當的答案。歐式、雙曲與橢圓幾何在某種程度來說都可以同樣良好地描述我們的物理空間,它們也都沒有與自然定律明顯相違背的結果。如果我們把這個問題看成物理的問題而去做實驗求證,這個問題仍然沒有被解決。在歐式幾何中三角形內角和為180度,而雙曲與橢圓幾何分別是不足與超過180度。Gauss本人曾測量三座山峰所形成的三角形內角和,但求得的內角和與180度的差距都在儀器測量的誤差範圍之內。筆者記憶中曾讀過一篇報導,現代天文學家曾試圖測量恆星所形成的這種大三角形的內角和,結果仍是相同。我們不知道這個問題是否會被解決,所以我們其實應該考慮的不是「最真實」的幾何,而是「最方便」的幾何。顯然地,在我們的經驗中,歐式幾何在學習上與應用上仍然是最容易的。

三、歐式幾何中的面積概念

大概所有對歷史稍有認識的數學教師在教授幾何時,都會提到 “geometry”這個字的字源:土地測量。古希臘著名史家Herodotus認為埃及每年因尼羅河氾濫而需要的土地測量是希臘幾何的起源。在考古證據中,我們也發現到許多古埃及人所了解的面積公式,有些是近似公式,如圓面積為(256/81) ,有些是正確公式,如三角形面積為底高積之半。無論如何,這些公式都把一個圖形的面積計算成一個數字。如果我們接受Herodotus的說法,我們就被迫問一個問題,為什麼在歐幾里得的《幾何原本》中,沒有任何一個將圖形計算成數值的面積公式呢?

在台灣,我們從小學就教學生接受一個公式:長方形面積為長寬之積。若我們定義邊長為一的正方形面積是一平方單位,則這個公式在長寬都是整數單位長時明顯成立。假使長寬皆為有理數,也不難證明。若一矩形長寬分別為 ,其中mnpq為整數,則我們可以將「單位長」再細分為mp等份,如此長寬分別成為npmq個小單位長,長寬化為整數後,可得矩形面積為mnpq平方小單位,既然原先一平方單位變成 個小平方單位,我們知道矩形面積為 平方單位,此即長與寬之積。然而,當我們在國中引進無理數的概念時,我們並沒有去「證明」這個矩形面積公式在邊長是無理數時也會成立,筆者不曾看過類似的證明,我也很懷疑這個證明是否存在。美國在五零年代由SMSG (School Mathematics Study Group) 所撰寫的數學教材(台灣稱之為「新數學」)中,關於歐式幾何的公設二十就是長方形面積為長與寬之積,所以,沒有上述問題。在台灣,可能我們比較不強調嚴密性,而重視引發學生對數學的興趣與實用性(當然,某些數學教師也認為幫助學生升學也是數學的實用性之一,如果這不是唯一的實用性),所以,我們沒有特別用公設說明這件事。

        現代幾何理論中,我們必須先定義一個有序交換群 (ordered abelian group) G以及一個由歐式平面幾何圖形所成的集合映至G的面積測量函數。再經由一番努力之後,我們才能證明三角形的面積為底高積之半(不是長方形公式!),由此再去證明其他所有的面積公式,建立起嚴密的面積理論。對此有興趣的讀者,可參閱Hartshorne (2000)

        筆者對歐幾里得的了解其實很少,所以,我不敢幫他回答為何他不在《幾何原本》中給出面積公式的問題。我只能猜想,以《幾何原本》對嚴密性的講究,可能歐幾里得認為當時希臘所累積的幾何知識,還不適合發展嚴密的面積測量理論,所以,他才不提。如此的先見之明,在他把平行公設加入幾何原本這件事上,就已經可以看出。當然,這只是猜想,僅供參考。

        下面,我們將要提到的《幾何原本》命題Ⅲ.36,牽涉到面積相等的問題,既然《幾何原本》中不用數值代表面積,我們就必須去了解《幾何原本》中如何說明兩個幾何圖形面積相等。歐幾里得本人從未定義何謂面積相等,但若我們仔細推敲《幾何原本》第一冊的內容,我們可以了解以下的涵義。兩個平面圖形PQ是「可等分解的」 (equidecomposable) 如果我們可以將P分割成有限多個三角形,再將這些三角形組合成Q。兩圖形PQ (歐式)「面積相等」如果存在第三個圖形R使得 是可相等分割的(這裡的「+」代表不重疊的聯集)。希爾伯特 (David Hilbert) 在他的《幾何學基礎》(Foundations of Geometry) 中,證明了上述的「面積相等」是一個平面圖形的等價關係,對面積而言這是十分自然的性質。在這裡,讀者可能又要問一個問題,可等分解性與(歐式)面積相等這兩者有何不同?很明顯地,若兩圖形是可等分解的則它們面積相等,因為我們可以取第三個圖形為三角形。反過來不一定會成立,而反例會存在於「非阿基米德」(non-Archimedean) 的幾何中。有名的『阿基米德公理』是這麼說的:給定線段ABCD,必定存在自然數n使得nAB相加後會大於CD。這個公理與歐式幾何所有的公理或公設相互獨立。《幾何原本》第五冊關於比例理論中,這個公理雖沒有被事先說明但卻被使用。我們的確很難想像非阿基米德的世界,但這樣的幾何系統卻是可以被造出來的。關於非阿基米德幾何與上述反例,讀者仍然可參閱Hartshorne (2000)

四、『中立幾何』中的Ⅲ.36

《幾何原本》第三冊命題36 (III. 36) 是這麼說的:若P為圓外一點,PA為切線且PBC為割線,其中ABC在圓上,則 。我們可以用兩種方法來理解這個命題。在第三冊中,歐幾里得將 視為邊長是PA的正方形, 視為長寬為PBPC的長方形,等號則視為上述的面積相等。歐幾里得對Ⅲ.36的證明,是使用了畢氏定理 (I.47),以及第二冊中許多的結果。另一種理解Ⅲ.36的方法,是將我們的平面視為佈於一個體F的笛卡兒平面。那麼PAPBPC可視為線段的長度,是F中的元素,且 就成為F中的運算。這種形式的Ⅲ.36可以很輕易地用相似三角形證出。

        這兩種Ⅲ.36的解讀方法,可以用前一節所提到的面積測量函數連結起來。我們現在對此平面上每個圖形P給予一個F中的元素 ,稱為P的「面積」。我們可證明兩圖形PQ(歐式)面積相等若且唯若 。前一節提到面積測量函數測出的三角形面積是底高積之半,故長方形面積為長寬之積。所以,兩種解讀方法是等價的。(哈哈!繞了好大一圈,所有的面積公式計算又回到小學生的直覺了。)

        現在我們開始大略說明Hartshorne如何將Ⅲ.36納入中立幾何的證明。在非歐幾何中沒有長方形(因為三角形內角和不等於兩直角和!),所以,我們必須把Ⅲ.36的內容稍加修飾,使它在中立幾何中有意義。我們定義平面上一個四邊形是「半長方形」(semi-rectangle),若它的兩雙對邊相等且至少有一內角是直角。我們可以立即證出:直角的對角也是直角,而且其餘兩內角相等(使用SSS全等性質)。若他的四邊相等,我們稱之為半方形 (semi-square)。請注意:給定兩線段ab我們可以得到唯一的以ab為兩股的直角三角形(歐式與非歐幾何皆然),接著,我們將兩個這樣的三角形從斜邊黏合,我們便可得到唯一的一個半長方形。

        我們已知在歐式平面上Ⅲ.36會成立。在橢圓與雙曲幾何中,有一個與歐式幾何十分不同的特性。歐式幾何的角度是絕對的,長度則是相對的,隨單位長而異;橢圓與雙曲幾何的長度和角度都是絕對的,且我們可以證明:三角形內角和與兩直角的差,都可作為面積函數的一種度量。作者借用雙曲幾何的Poincarè 模型與橢圓幾何的球面模型,以及以角度所作出的面積測量函數,證明在雙曲與橢圓幾何中Ⅲ.36都會成立。詳細證明請讀者參閱原期刊論文。

        許多歐式幾何的命題,可能在非歐幾何中也有類似的定理,但證明可能得費一番功夫,本文的主角即是。

參考資料

趙文敏 (1992).幾何學概論》,台北:九章出版社.

Eves, H. (1966). A Survey of Geometry. BostonAllyn and Bacon.

Eves, H. (1975). An Introduction to the History of Mathematics (4th ed). New YorkHolt, Rinehart and Winston.

Hartshorne, R. (2000). Geometry: Euclid and Beyond. New YorkSpringer-Verlag.

Hartshorne, R. (2003). “Non-Euclidean .36”, The Mathematical Association of America Monthly 110495-502

Wallace, E. C., West, S. F. (1998). Roads to Geometry. New JerseyPrentice Hall.