數學與戰爭

台師大數學研系碩士班 張復凱改寫

一、 前言

物理學家、化學家和生物學家常會討論他們學科的後設面向（meta-aspect），包括這些知識在軍事上的影響。越戰期間，美國數學家也注意到這個面向，群起呼籲不要參與戰爭相關工作。此後，陸陸續續有很多刊物探討這個問題。

2002年8月29至31日，四十二位數學家、數學史家、軍事史家、軍事分析家及哲學家，齊聚瑞典的卡爾斯克魯那（Karlskrona）軍港討論下列四個問題：

n         歷史上，軍事對於數學有何影響，特別是在二次大戰後？

n         數學的思維、方法及技術是否將改變現代戰爭的性質及表現？如果是，那麼會如何影響民眾及軍方？

n         戰爭期間，像物理學家玻爾（Niels Bohr）和數學家圖靈（Alan Turing）等名人的道德選擇為何？這些道德研討對數學家又有多少助益？

n         數學思維在建立戰爭與和平的國際法規中扮演何種角色？數學式的爭論可否為實際上的衝突提出解決之道？

二、軍事對數學的影響

從古希臘阿基米德防禦敘拉古、現代初期的彈道學、防禦工事數學、航海所需的三角學到後勤學，這些科技和軍事技術幾乎都只利用當下的數學知識。於是乎，過去軍方總把數學當工具用而不重視進一步的研究。這種現象大概只有一些少數的例外。如：2074BC.蘇美巴比倫（Sumero-Babylonia）的蘇爾吉王（King Shulgi）以戰事緊急的名義，對蘇美帝國施行軍事及行政改革，發明了六十進位法來計算勞工們的工作表現。就是靠著當時戰爭所塑造的社會意志，巴比倫的數學位值系統才能順利發明。不過，大體而言，二十世紀前，軍方對數學的影響實在是有限。

到了二十世紀，情況改變了。軍事與數學的新關係，起於第一次世界大戰而興盛於第二次世界大戰期間。

第一次世界大戰期間，數學及其他純科學主要扮演的角色，是提供一流工程師將理論運用到技術層面，正因工程師的職稱，所以，沒有人會認為數學對第一次世界大戰有決定性的影響。

接著，在第二次世界大戰中，數學科技（雷達、聲納、解密電腦、炸彈）被視為對戰爭有關鍵影響，而深受到軸心國及同盟國雙方的關注。靠著戰爭中提供的大量資助，使原需花數十年的科技在這段期間完成了。期間，為數眾多的數學家被徵募擔任高級工程師，不過，這樣的工作被認為無益於數學發展而引來非議。儘管如此，這些工作終究需要數學家的協助。最明顯的例子，是弗里施（O. R. Frisch）和派爾斯（R. Peierls）的數學公式解決了1940年3月的鈾彈結構問題，並確認軍事上使用的可行性。

其實，解決軍事問題並非全然無益於數學。如電算機科學、資料處理理論、蒙地卡羅模擬（Monte Carlo simulation）、運算研究和統計上質的控制等等，都肇因於軍事需求。到了冷戰期間，這些知識的再應用，使科技加速發展。以電算機為例，過去戰爭讓電算機順利製造，而戰後的商業運用，則讓電算機大量生產、公開競爭、密集發展並降低成本。這樣交互作用下，促進了電算機科學在理論及實務上的發展。

在我們為這些軍事目的的數學研究下結論前，應先區分下列兩種情形：

n          運用既有數學和洞悉新數學的不同。前者如同數學家為軍事機構打雜；

後者則較少受限於軍事機構。

n          這些數學研究不僅是發明純為軍事用途的數學定理。例如：有一種高效率的研究模式─grosso modo：收到軍事問題後，轉換並分割成多個數學問題，解決軍事問題的同時，也完成了一些數學理論的研究。

整體而言，戰爭期間的數學研究造就了一些基礎數學理論的革新，圖靈（Alan Turing）、馮．諾伊曼（John von Neumann）、香農（Shannon）、沃爾德（Wald）和龐曲爾根（Pontryagin）是這方面的代表性人物。至於軍事上的運用，則主要由前述的數學工程師來處理。這些工程師的處理能力，倚賴了他們所精通的各類數學，所以，不可忽略地，數學研究的發展，拓展了這些使用者的能力。

三、數學對軍事的影響

伯格斯坦（Colonel Svend Bergstein）指出戰爭中的壓力及睡眠不足，都會影響軍人的行為模式，因此，我們無法事先評估戰爭的情形。另外，過去普魯士的軍事思想家克勞塞維茨（Carl von Clausewitiz）也提出：有太多外在不可預測的因素。

不過即便如此，數學仍是戰爭中不可或缺的部分。以下是數學在戰爭中扮演的角色：

n         影響武器採買、演習及後勤學。

n         提升武器及武器系統的有效性─這關係著彈藥、訊號傳遞系統、接觸面偵察控制及通訊、情報連繫和高速密碼傳遞。

n         武器系統的可行性仰賴數學，武器系統的消毀也需靠數學計算。戰略武器限制談判SALT（Strategic Arms Limitation Talks），即利用數學分析消毀武器系統的狀況，免除戰力不平衡的風險。

n         軍事分析家強調，軍人常因環境造成的自欺性樂觀與悲觀而產生誤判，所以，委託數學專業人員進行資料分析，較能精準判斷戰略得失。

n         人道團體極力反對用豬測試砲彈對人體的殺傷力，於是，數學模擬便派上用場。

n         如同希特勒形容德國防衛軍（Wehrmacht）快如格雷伊獵犬，牢韌如lederhosen（德式齊膝短褲），堅固如克魯伯鋼鐵；我們則形容數學使戰爭以航空電子技術而迅速，以全球定位系統（GPS）而準確，以有效的運作計畫而安全。

n         任務模式的數學符號化讓軍方輕易、精確地完成任務。

由此看來，戰爭與數學的關係有兩個特徵。首先，為求獲勝，數學常被用來評估軍事策略的運作成效，藉此免去人為疏忽的風險。但另一方面，這也會在不平衡的戰爭中造成強欺弱的情形─如果數學分析下，科索沃戰爭中，征服塞爾維亞需要七十億的花費，也就是南斯拉夫每人只需花七百塊，這將誘使類似的問題都用武力解決。其次，把「克魯伯模式（Krupp model）」轉為「無限克魯伯模式（infinite Krupp model）」。十九世紀，克魯伯（Friedrich Krupp）首先發展鎳鋼盔甲來抵抗當時所有的子彈，接著，發展出鉻鋼子彈穿透鎳鋼盔甲，緊接著，高碳盔甲片的發明又可抵抗鉻鋼子彈，最後，雷管發射式子彈穿透了上述的盔甲片。這種不斷的精進與重覆的武器競賽是無盡的。即便這些軍事發明相當昂貴，但這類競賽只求軟硬體不斷精進，從沒有預算和智慧上的限度。在這方面，物理及化學或許有自然的侷限，但數學卻沒有。也因無限度的特質使交戰雙方更加重視數學。

四、數學與戰爭道德

一般人認為數學是中立的。正如奈曼（Jerzy Neyman）所言：「我只是證明並發表定理而不論之後產生的影響。」這種中立的特質，也一直是數學努力的目標。

不過，「數學與戰爭」這個標題則隱含著道德上的兩難，以下有幾則名人的例子：

n         費爾茲獎1950年得主施瓦茨（Laurent Schwartz）利用他學術上的名望，拒絕參與美法在阿爾及利亞和越南的戰爭。他認為這種政治上的參與，與他的數學研究無關。

n         丹麥物理學家玻爾（Niels Bohr）得知德國的核子彈計畫後，立即支持敵對的英美陣營發展核子彈武器。後來，發現這會使英美陷入危險，於是，對邱吉爾和羅斯福提出警告，並試圖利用他的名望來阻止英美發展核子武器。不過，玻爾顯然高估了他自己的影響力。

n         英國數學家圖靈（Alan Turing）以其傑出的能力報效國家，協助解決國家的軍事需求。

n         小倉金之助（Kinnosuke Ogura）是日本民主現代化的推動者，曾反對日本參加德國及義大利的聯盟。但在1937年日本侵略中國後，強烈愛國主義及視戰爭為現代化之途的想法，使他成為組織日本數學界協助軍方的中心人物。戰後，他也僅對此略表歉意。

n         美國數學家馮•諾伊曼（John von Neumann），和圖靈一樣，在二次大戰及冷戰初期運用他傑出的能力於軍事研究。他全力發展氫彈，目標是先發制人。

n         前蘇聯統計學家龐曲爾根（Lev S. Pontryagin）放棄了代數拓樸及控制理論的研究路線，投入洲際彈道飛彈的發展，目的則是要阻止先發制人的攻擊。

n         數十年前，英國數學家哈代（G. H. Hardy）為避免發展破壞人類生活的科學，於是，投身於看似與戰爭最無關的數論研究。諷刺的是，後來數論變成軍事上密碼學的來源。

n         積進派和平主義者，英國物理、心理學家理查生（Lewis Fry Richardson）知道預測一天後的天氣需要六萬四千台電腦用超過一天的時間來計算，於是，在1922年出版了「數化天氣預測」（Weather Prediction by Numerical Process），並保證數位化天氣預測不會作為軍事用途。

這些名人有何種程度的示範？大致上有兩種不同的情形，一種是施瓦茨，哈代，和理查生：以深刻的懷疑主義檢視社會或社會的部分面向而採取敵對的態度；另一種人則不同程度地贊同他們的社會、戰爭或軍事策略。後者雖受環境支持，道德兩難較少，不過也非完全沒有。像圖靈把政治決策交給有正式頭銜的人決定；或像玻爾則表明自己的立場並提出警告。至於前者則在具備傑出能力的前提下，利用參與戰事與否，發揮他們的影響力。但是，若只為避免數學冠上「貪汙」之名而刻意和軍事用途保持距離是無益的，畢竟這不僅是放棄軍事應用，更放棄了許多數學研究。

大致而言，數學可能的中立性應該不是依附於這些道德選擇上。

五、啟蒙觀點的透視

啟蒙運動中，人們相信動機引導發展。

盧梭（Jean Jacques Rousseau）和斯威夫特（Jonathan Swift）指出科學常被探討道德上動機的合理性。狄孚（Daniel Defoe）的《魯賓遜漂流記》中也提到「動機是數學的本質及來源」。到底從動機的角度看來，今日數學處於何種地位呢？

雖然上述的戰爭數學化大多指向負面，但吾人也要知道：第一、這些應用絕不只在軍事上，亦在科技化的生活中。第二、即便從軍事觀點著眼，數學仍扮演著另一層面的角色：冷靜地排除自欺式的樂觀及悲觀。以數學為根基的動機，可讓我們丟棄陳腐的知識，挖掘並分辨實用與實在的事物，更藉由合理的分析，讓我們在處理問題上覓得較佳的方法。

另外一方面，如果動機真的是「數學的本質及來源」時，我們就可以數學式的具體例證呈現戰爭的不合理性，而不只是意識型態的（ideological）老生常談。反之，如果數學沒有上述的功用，那麼，我們針對它所認定的文化價值，或許只是無情科技之次樂觀化（suboptimization）的藉口罷了。

一般認為在政治及數學的用途上，方法的合理性比動機重要。在這方面，數學理論的中立性依舊爭論不休，依舊是道德的模糊地帶。不論如何，所有的責任仍在於開創者、傳播者和使用者身上。

本文改寫自 Bernhelm Booss-Bavnbek and Jens Hoyrup (2003),“Mathematics and War: An Invitation to Revisit”, The Mathematical Intelligencer 25(3): 12-25.