以HPM為鑑：數學史可以從HPM學到什麼？

                                                   台師大學數學系 洪萬生教授

        有關代數學史的發展歷程，十九世紀末德國史家 Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann (1811-1881) 曾經提出一個『三階段說』，亦即：文辭代數 (rhetoric algebra)、簡字代數 (syncopated algebra) 與符號代數 (symbolic algebra)，並以此來刻畫西方代數學（含阿拉伯數學）的發展風貌。誠然，從古埃及與巴比倫的文辭代數，經古希臘戴奧弗多斯 (Diophantos，第二世紀) 的簡字代數，而發展到十六世紀韋達 (F. Vieta) 的符號代數，終於大功告成。其中九世紀的阿拉伯人，乃至於十六世紀的義大利卡丹諾 (G. Cardano) 再怎麼有貢獻，由於都只是表現了文辭代數，所以當然算是作了鋪路的工作而已。

這種階段說的迷人之處，其實正呼應了西方學界的進步史觀，顯然，它也反映了一種要跟『落伍的』過去文明劃分界線的決絕態度。一旦承認了代數符號法則 (symbolism) 的進步性乃至於優越性，那麼，評論一個文明的數學成就，往往就成了測量它距離符號法則有多遠的工作了。這種通稱為『輝格式』(Whiggish) 史學研究的進路，在幫助我們瞭解古代數學文本時，固然有它的必要性，但是，過渡糾纏的結果，卻很容易簡化歷史演化的錯綜複雜現象，而忽略了數學發展的『在地意義』(meaning in context) 了。事實上，即使史家能夠警覺此一『三階段說』的解釋限制，譬如中國數學史大師錢寶琮，曾注意到中國宋元『天元術』與此說的格格不入，而將天元術刻劃為一種『器械代數學』。然而，錢寶琮之論儘管已經照顧到了中國脈絡，但是，頂多只是點出此說不適用於東方數學傳統罷了。

        一九七０年代以來，由於數學社會史 (social history of mathematics) 的蔚為風潮，所以，這一類不顧脈絡的『階段說』，在數學史家社群中遂逐漸失寵，他們好像認為只要不理會它就行了。儘管如此，數學教育家如鼎鼎大名的 Anna Sfard，在研究數學概念的對偶性格時，卻仍然引述了這種『三階段說』，此說之魅力由此可見。

最近，荷蘭 Utrecht 大學的Freudenthal研究所之新科博士 Barbara van Amerom，在她的的博士論文中，引述了Luis Radford的觀點，而認為『簡字代數』不能成為代數學發展的一個中繼階段，充其量它只是一種技術性的權宜之計罷了。Radford從社會文化的觀點來看，他發現在歷史上書寫與印刷的技術限制，相當自然地導致了文字的縮簡。因此，Van Amerom指出：學生的記號之進步性形式化 (progressive formalization of notation) 是否伴隨著（歷史上）數學抽象化的過程 (process of abstraction)，還有待深入研究。無論如何，她的觀察提醒我們，十九世紀末以降數學史研究中一些相當樸素的觀點或結論，在現代的數學教育與認知科學的映照下，必須大幅度修訂甚至於徹底地揚棄。這正是數學史家可以從HPM甚至於數學教育學習到的啟示。

附記：感謝 Barbara van Amerom惠贈她的博士論文，我們才有更豐富的HPM文獻！

參考文獻

Dauben, Joseph W., Christoph J. Scriba eds., (2002). Writing the History of Mathematics: Its Historical Development. Basel / Boston / Berlin: Birkhause Verlag. 

Klein, Jacob (1968). Greek Mathematical Thought and the Origins of Algebra. New York: Dover Publications, Inc.

Radford, Ruis (1997). “Psychology, Historical Epistemology, and the Teaching of Mathematics: Towards a Socio-Cultural History of Mathematics”, For the Learning of Mathematics 17 (1): 26-33.

Sfard, Anna (1991). “On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Process and Objects as Different Sides of the Same Coin”, Educational Studies in Mathematics 22: 1-36.