HPM通訊第六卷第一期

《九章算術》卷五「商功」二字，劉徽注︰「以御功程積實也」；李籍《九章算術音義》︰「商，度也。以度其功庸，故曰商功。」兩者都是指工程中體積計算的意思。¹綜觀『商功章』，其主要內容是在討論立體體積、工程分配以及委粟數量的問題，總共二十八個問題。在中國數學史上，劉徽的注解提供後世對九章題術更進一步的瞭解。在韓國這一方面，《九章算術》則由南秉吉作注解，即《九章術解》。然而，南秉吉究竟對中國《九章算術》中數學知識的認知與瞭解是如何？本文試圖從南秉吉的注解與劉徽對比來回答此一問題。另外，南秉吉注解所依據的《九章算術》為哪一版本？針對此疑問，本文的第一部份先給予底本的探討。其次，討論南秉吉注解的特色，最後則是對南秉吉注解的評價。經由《九章術解》的探究，我們對南秉吉的數學素養有初步了解。

既然我們要釐清南秉吉注解所依據的《九章算術》之底本為何，筆者盡可能地搜羅現存的《九章算術》各個版本來作比較，其中包括有南宋鮑澣之的《九章算術》刻本、戴震校勘的武英殿聚珍版《九章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻入微波榭本的《九章算術》以及李潢的《九章算術細草圖說》（1820），總共五種 (以下各書分別簡稱為南宋本、武英殿聚珍本、文淵閣四庫本、微波榭本以及李潢本)。²底下分為題目順序及單一文字兩方面進行比較。

1. 題目順序︰首先，筆者將手上關於《九章算術》的文本，取各題的關鍵字將題目編號 ( 以南秉吉《九章術解》的編排順序為基準 )，以比較各版本題目呈現的先後順序。對比的結果，我們發現『微波榭本』、『南宋本』以及『李潢本』這三者和《九章術解》題目及術文的編排順序是一致的︰

穿地題、城垣堤溝壍渠術、城垣隄題、冬程人功題、冬程人功術、溝題……委菽依垣題、委米依垣內角題、穿地下廣題……。

另一方面，『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』之題目及術文的編排順序則如下︰

穿地題、穿地下廣題、城垣隄題、冬程人功題、城垣堤溝壍渠術、冬程人功術、溝題……委米依垣內角題、委菽依垣題……。

顯然，題術編排有三處差異。第一處是穿地下廣題在『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』中，被緊接地置於穿地題之後。由於穿地下廣題是將「堅土求穿地」及「垣積反求下廣之逆運算」結合起來的問題，³所以『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』如此編排題目順序，可能是著眼於「堅土求穿地」，而《九章術解》、『微波榭本』、『南宋本』及『李潢本』，則是著重在「垣積反求下廣之逆運算」。第二處差異，則是城垣堤溝壍渠術在『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』中，被插置於冬程人功題及冬程人功術兩者之中，而《九章術解》、『微波榭本』、『南宋本』以及『李潢本』，則是提綱挈領地將術文規置在相同題型的題目之前，可能是戴震誤移所致。⁴第三處差異是委米依垣內角題及委菽依垣題兩者順序相反，就術文來看︰「其依垣者十八而一，其依垣內角者九而一。」，⁵顯然『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』的題目順序和術文沒有前後呼應。

總結來說，比對之下所發現的題術順序差異，就整個「商功章」題術本身的邏輯性而言，並無顯著的影響，但在底本的探討上，卻提供進一步的線索。

2. 單一文字︰接下來將各個九章算術版本逐字對照《九章術解》裡九章術文本的部分。⁶

書名題號\名	九章術解	南宋本	武英殿聚珍本	文淵閣四庫本	微波榭本	李潢本
1 穿地題	為堅為壤	為堅壤	為堅壤	為堅壤	為堅壤	為堅壤
4 冬程人功術曰	程功尺數	程功尺數	積功尺數	積功尺數	程功尺數	程功尺數
5 溝題	袤七丈	袤七丈	袤七尺	袤七丈	袤七丈	袤七丈
5 春程人功題	定功……五分尺之四	定功……五分尺之四	定功……五分之四	定功……五分尺之四	定功……五分尺之四	定功……五分尺之四
7 (答曰)	一千七萬	一千七萬	一十七萬	一千七萬	一千七萬	一千七萬
7 秋程人功題	問當受袤	問當受袤	問各當受袤	問各當受袤	問當受袤	問當受袤
13 (答曰)	三十五尺	三十五尺	二十五尺	三十五尺	三十五尺	三十五尺
14 (術曰)	廣袤相乘	廣袤相乘	廣袤相袤	廣袤相乘	廣袤相乘	廣袤相乘
19 (答曰)	一萬	二萬	一萬	一萬	一萬	二萬
21 (術曰)	一人	一人	人一	一人	一人	一人
22 (答曰)	六十三	六十三	六千三	六十三	六十三	六十三
27 (術曰)	得高尺	得高尺	得高	得高	得高尺	得高尺

由上述的底本對比，何者較接近《九章術解》？⁷從題目編排順序討論，筆者首先排除『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』，並且從單一文字對比來看，顯然『武英殿聚珍本』與《九章術解》的差異較多。在本章第5題 (春程人功)中，李潢本有「潢按設問并出土功五分之四當作五分之一」記載，筆者認為南秉吉若是採用『李潢本』，應該會注意到李潢的校定才是，故再排除『李潢本』。剩餘未排除的『微波榭本』、『南宋本』是筆者手邊現存的版本中，比較接近《九章術解》的。

在工程分配問題(冬程人功、春程人功、夏程人功、秋程人功、負土問題、載土問題)以及體積的逆問題(反求穿地下廣、倉高、圓囷周)，南秉吉將題目中的數據引入術文中直接陳述每個步驟，並非全是文字性的抽象敘述。但是關於體積公式的術文解說，則不引入數據，著重在體積公式的說明，採用『周三徑一』、『截面原理』將「方」過渡到「圓」，與劉徽的注是相似的，但不考慮劉徽及李淳風的體積修正公式。就整個體積公式的注解方法來看，劉徽採用的是『棊驗法』和『出入相輔』。同樣地，南秉吉在注解「城垣溝壍渠」術文亦採用『出入相輔』，但南秉吉更進一步解釋︰「上下廣相減，餘折半以加短，乃得中平之廣與并上下廣而半之相等也」。⁸另外，南秉吉證明方亭、羨除、芻甍、芻童等體積公式時，其手法和「棊驗法」相似，但似乎更為直觀，底下以芻甍為例說明︰

以下廣乘上袤又以高乘之，則得長方體一也；以下廣乘下袤而倍之，又以高乘之，則得下廣乘下袤及高所成之長方體二、以上下袤差乘下廣及高所成之方廉體四也，并之共得長方體三即壍堵體六也、方廉體四即陽馬體十二也、將此一壍堵體各加二陽馬體，則成芻甍者六。⁹

假令下廣二尺，袤三尺，上袤一尺，無廣，高一尺。其用棋也，中央壍堵二，兩端陽馬各二。倍下袤，上袤從之，為七尺。以廣乘之，得冪十四尺。陽馬之冪各居二，壍堵之冪各居三。以高乘之，得積十四尺，其于本𣘀也，皆一而為六。¹¹

比較特別的是，南秉吉在注解方錐體積公式卻跳出如同上述的一貫方式︰¹²

又自正方體中心依各稜角至各角剖之則成六尖方體，此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一。若同高扁方體則必為三分之一，故三歸之得尖方體也。¹³

又自甲心依各稜至各角剖之，則成甲乙丙丁戊、甲子寅癸丑、甲癸寅丙丑、甲戊丁子寅、甲乙戊寅癸、甲丙丁子丑六尖方體。此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一。既為倍高正方體之六分之一，則必為同高扁方體之三分之一。故將所得庚乙丁辛之同高方體積三分之。¹⁴

南秉吉採用的可能是《數理精蘊》方底尖體形的數學知識，而此論證方法是針對底長為高兩倍的方錐而言，並沒有說明一般化的情形。此外，《九章術解》和《數理精蘊》亦有一些相似處，例如《九章術解》中的陽馬︰

此陽馬與方錐形雖不同，而法則一也。蓋方錐形尖在正中，陽馬形尖在一隅，然大凡體形，其底面積等，高度又等，則形雖不同，而積則一也。¹⁵夫一正方體剖之得二壍堵，一壍堵體剖之得一陽馬、一鼈臑，而一陽馬剖之又得二鼈臑，是陽馬體為壍堵體三分之二，即為正方體之三分之一，而鼈臑體為壍堵體三分之一，即為正方體之六分之一也。¹⁶

此陽馬體與尖方體，形雖不同而法則一。蓋尖方體形，尖在正中。陽馬體形，尖在一隅。然大凡體形，其底面積等，高度又等，則其體積亦必相等……。故形雖不同而積則一也。¹⁷

夫一正方體剖之，得二塹堵體，是塹堵體為正方體二分之一也。一塹堵體剖之，得一陽馬體、一鼈臑體。而一陽馬體剖之，又得二鼈臑體。是陽馬體為塹堵體之三分之二，即為正方體之三分之一。而鼈臑體為塹堵體三分之一，即為正方體之六分之一也。¹⁸

從上述對比來看，《九章術解》和《數理精蘊》兩者的文字內容及語氣轉折幾乎相同。無獨有偶地，《九章術解》的芻童和《數理精蘊》的上下不等長方體，兩者幾乎如出一轍。¹⁹在修辭方面，《九章術解》和《數理精蘊》兩者均用「因」、「歸」以及「……為一率，……為二率，……為三率，得四率……」做陳述；²⁰在多面體亦有相同的名詞。²¹

綜觀《九章術解》商功第五，幾乎未收入劉徽的注和李淳風的釋，而是南秉吉自己重新將九章術本文做注解。然而，有關劉徽在立體和委粟問題所注釋的體積修正公式、對「非標準棊」的論述，以及用無窮小分割證明陽馬和鼈臑的體積比為2︰1，南秉吉均隻字未提，究其原因，是否正如同他在《九章術解》的跋所言︰「劉徽注之、李淳風釋之，然俱多未曉處，抑或繡出鴛鴦而藏其金針之義歟。注釋所以啟來者而終莫能端倪……。」或許是可能的，但亦不能憑此驟下定論。至於《數理精蘊》是否有影響南秉吉對九章術本文的注解，就諸多相似處來看，答案應該是肯定。另外，就南秉吉注解的方式來看，他將題目的數據引入術文，詳細說明每一步驟，呈現程序化的計算性；在體積公式論證方面，與『棋驗法』略有差異，較貼近《數理精蘊》的證明形式。總結來說，算法詳細有數據、論證直觀簡明，為南秉吉注解的最大特色。

1. 參見李繼閔，《九章算術及其劉徽注研究》( 台北︰九章出版社，1992 )，頁301。

2. 南宋鮑澣之的《九章算術》刻本，到了明朝，只存前五卷。清初汲古閣主人毛扆影抄錄這五卷，世稱汲古閣本。明朝《永樂大典》中載錄的《九章算術》，其底本是不同於鮑澣之的另一抄本。清乾隆三十九年，戴震將《九章算術》從《永樂大典》輯出校勘，收入《武英殿聚珍版叢書》，並於乾隆四十九年抄入《四庫全書》。在乾隆四十一年，戴震曾經重校《九章算術》，以聚珍版的底本參校汲古閣本。次年，其前五卷以汲古閣本為底本，再次校勘，由孔繼涵刻入微波榭本。

3. 參見郭書春譯注，《九章算術》(瀋陽︰遼寧教育出版社，1998 )，頁332。

4. 參見郭書春，〈九章算術提要〉，( 收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙‧數學卷一》，鄭州市︰河南教育出版社，1993 ) ，頁89。郭書春認為是戴震誤移於此，戴震︰「按此節之上，原本有術曰二字，上兩節并注。原本誤入上城垣堤溝壍渠皆同術之下，今訂正合為一條。」。　

6. 溝題和春程人功題皆編列到題號5裡；穿渠題和秋程人功題皆編列到題號7裡。

7.《九章術解》本身也有文字上的錯誤。芻童曲池盤池冥谷術文︰「其曲止者……」，當中的「止」字應改為「池」；委粟術文︰「……程粟一斛積三尺七寸……」，當中的「三」字應改為「二」；第二十七題︰「今有倉，廣……，問斛幾何」，當中的「斛」字應改為「高」。另外，《九章術解》的用字和其他版本也有些不同︰「鼈臑」的「臑」字，南宋本為「腝」字；「答曰」的「答」字，微波謝本、楊輝本、南宋本為「荅」字；「圓堡壔」的「堡」字，微波謝本為「堢」字。

10. 劉徽︰「蓋說算者乃立三品棋，以效高深之積。」說明劉徽是記述前人的棊驗法。

11. 參見郭書春譯注，《九章算術》( 瀋陽︰遼寧教育出版社，1998 )，頁316。

14. 引自清‧康熙御制，《數理精蘊》，( 收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙‧數學卷三》，鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁822。

19. 體積公式的論證方法是完全相同的，並且陳述語氣︰「……其二上下方面，俱如……，其二上下方面，俱如……，其一上下方面，俱如……，其一上下方面，俱如……」亦相同。只是《數理精蘊》多用甲乙丙丁…等符號標示所指的體積部分。參見清‧康熙御制，《數理精蘊》，頁825-826；南秉吉，《九章術解》，頁366。

20. 「因」、「歸」通常是表示一位數的乘、一位數的除，但南秉吉在夏程人功術文中卻用「四因十五歸」。

21. 尖方體、扁方體、三稜體、尖圓體、長圓體、長廉體、方廉體。

	中央壍堵	兩端陽馬
標準芻甍︰下廣二尺、袤三尺、上袤一尺、高一尺	2個	4個
長方體︰ [(2下袤+上袤)×廣]×高＝14尺	12個(6尺)	24個(8尺)
長方體︰標準芻甍	6︰1	6︰1