《九章術解》卷六校勘
內壢國中
葉吉海老師
第一節、導論
卷六〈均輸〉,劉徽闡明「均輸」,猶均運也。按字面的解釋就是合理地攤派。均輸術是包含著正、反比例的複雜分配問題,它來自秦漢之際官方的徭役和賦稅制度。1〈均輸〉卷共收錄二十八個問題,前四題為均輸本法,其餘為稟粟、持米金出關、負籠、程傳、絲粟互換、成瓦、矯矢、九節竹及各種追及、相遇、工程問題等較複雜的比例問題。
卷六〈均輸〉與卷二〈粟米〉、卷六〈衰分〉三卷為比例題卷,南秉吉於《九章術解》之注解方法均以四率比例法處理,然此法本質雖與劉徽之今有術同,因此,其習得此法與使用的背景是我們要進一步探詢的。
接著,本文將根據《九章術解》的內容,分別針對南秉吉所可能參考的《九章算術》底本、南秉吉注解的特色及其評價,作深入的分析與探討。
第二節、底本的探討
《九章術解》卷六〈均輸〉與眾多版本術文比較的結果,2得知《九章術解》卷六-均輸與微波榭本(1777)、《九章算術細草圖說》(1820)的差異處最少。其餘版本比對之差異處,相對而言眾多。3
細看各個版本比對結果,得知其差異處的相同點如下表所示:
題號 |
《九章術解》卷六〈均輸〉 |
微波榭本、《九章算術細草圖說》 |
3 |
加一斛粟價,則致一斛之「實」 |
加一斛粟價,則致一斛之「費」 |
16 |
半其餘為法、增三分之一 |
半其餘「以」為法、增三分「日」之一 |
17 |
副置下第一衰為法 |
副置下第一衰「以」為法 |
19 |
衰相去「之」 |
衰相去「也」 |
26 |
令日「數」互相乘滿 |
令日互相乘滿 |
這些差異處之相同點即為《九章術解》與微波榭本、《九章算術細草圖說》的差異所在。這些差異處除了「字」、「介詞」的增減異同外,並沒有「結構」上的問題。換句話說,《九章術解》在傳抄的過程中,很可能只發生了「字」、「介詞」的增減異同,而對於原本術文「結構」上的問題並無變動。以下筆者將從字詞的使用、術文的結構、解題評注與題目順序等面向深入探討《九章術解》的底本由來。
字詞的使用:4
1、
“鹽”字,四庫本作“塩”,其餘均作“鹽”;“鴈”字,大典本作“雁”,其餘均作“鴈”字;除此之外,版本錯字情形,請參見附錄表格;
2、
第三題之“賦粟”,微波榭本、《九章算術細草圖說》作“賦粟”外,其餘作“輸粟”;
3、
第四題之“空重相乘為法”的“乘”字,大典本與四庫本作“承”,其餘作“乘”;
4、
數詞十錢、十二錢、十七錢、十三錢、粟一斛十八、一日十錢、粟一斛十六、粟一斛十四錢、粟一斛十二、二十七錢十五分錢之十一、四十八里十八分里之十一、十二兩、十二銖、十六銖、十六,除微波榭本與《九章算術細草圖說》外,其餘版本均作一十錢、一十二錢、一十七錢、一十三錢、粟一斛一十八、一日一十錢、粟一斛一十六、粟一斛一十四錢、粟一斛一十二、二十七錢一十五分錢之一十一、四十八里一十八分里之一十一、一十二兩、一十二銖、一十六銖、一十六;
5、
實如法得一車(錢、斛、斗、里、斤、日、畝、枚)的用法,聚珍版與四庫版用法為實如法得一。
術文的結構:
1、
第四題,“甲縣四萬二千算粟一斛二十傭價一日一錢”之“傭價一日一錢”,對解題而言,是個贅詞。眾版本皆保留;
2、
第二十二題,“今有一人「三」日為「牡」瓦三十八枚一人「二」日為「牝」瓦”,除微波榭本與《九章算術細草圖說》外,其餘皆作“今有一人「一」日為「牝」瓦三十八枚一人「一」日為「牡」瓦”。「三」日、「二」日與牝牡的錯訛,就結構上來說,如同南秉吉所言:術與答俱誤矣。由第二十二題可知,南秉吉對於底本的術文的誤訛情形,不會擅加修改,而只對術文作解題評注而已。
解題評注:
南秉吉對第二十二題作解題評注時,認為術文中的「術」與「答」俱誤矣。他依原題所述,將術與答重新改寫于評注中,並且作一番的說理解釋。值得注意的是,若南秉吉所參照的底本是《九章算術細草圖說》,應會參見到李潢對此術文的注解:潢按永樂大典三日二日皆作一日當依改正否則於算不合,則南秉吉就不必大費周章地驗算、說理改正術答。由此可知,南秉吉所本之底本內容當只有九章術文及劉李注。
題目順序:
《九章術解》卷六〈均輸〉與眾版本比對結果,5其題目順序及題數皆同。
由以上的分析,南秉吉所參照的底本最有可能的就是微波榭本。而微波榭本為戴震再次校勘《九章算術》之作,其前五卷以汲古閣本為底本,由曲阜孔繼涵刻入微波榭本《算經十書》。戴震或孔繼涵還將微波榭本冒充南宋版的翻刻本。後來,被多次影印、翻刻,影響甚大。6
第三節、南秉吉注解的特色
南秉吉注解與劉李的注解最大不同處,在於前者注解較平易近人,後者注解繁瑣。南秉吉注解卷六時,格式統一,以術為主,先行詳細步驟解題,將術之計算步驟詳盡說明,並以比例四率法貫穿全文,再行說明解題步驟的合理性。7雖然解題過程傾向於程序性解題,但南秉吉會在其後作概念性的補充說明,而概念性說明一般會參照劉李的說法。8而劉李釋題與解題混合使用,繁雜且所使用之數學語言較高。另南秉吉注解非常詳細,與劉李注解之點到為止有異。
南秉吉注解風格與劉李明顯有異。南秉吉敢於如此創新,可見其有所本。細看其注解卷六的風格,與《數理精蘊》頗有異曲同工之妙。劉李注對於比例的問題,是以今有術處理,而南秉吉卻是運用比例四率法處理比率問題。南秉吉於此卷題問上,使用了合率比例、首尾互準差分、相和折半差分、和數比例、較數比例、和較比例等等的比率方法。以下針對《九章術解》、《九章算術劉李注》、《數理精蘊》的異同提供一些比較結果:
1、
卷六中,合率比例、相和折半用術語的使用,9《數理精蘊》有相同的術語,而《九章算術劉李注》無。
2、
卷六中,題目與《數理精蘊》同者或相似者,南秉吉注解格式與《數理精蘊》同。如:第九、十、十四、十九題等。
對於第2點,以下提供第十四題說明:
第十四題:
今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。問犬不止,復行幾何步及之?
《數理精蘊》中題問:
設如二人自鄉上城,一人步行,一人騎馬。使步行者先行三十七里,騎馬者追至一百五十四里,尚不及二十三里。問追及之里數幾何?
南秉吉的注解:
以不及三十步與先行一百步相減,餘七十步為一率,追之二百五十步為二率,不及三十步為三率,得四率一百七步七分步之一,即及之里數也。此法兔先走一百步,今犬追之,止不及三十步,是一百步內已追過七十步也。追過七十步必須二百五十步,今尚不及三十步,則必須一百七步七分步之一方能追及也。10
《數理精蘊》題問解法:
法以不及二十三里與先行三十七里相減,餘一十四里為一率,追至一百五十四里為二率,不及二十三里為三率,推得四率二百五十三里,即追及之里數也。此法蓋因步行者已先行三十七里,今騎馬者追之,止不及二十三里,是已追過十四里也。追過十四里,必須一百五十四里。今尚不及二十三里,則必須二百五十三里方能追及也。
上兩題雖題目數據及文字不盡相同,但同為追及題型中同一問題。詳細比對其注解的格式,兩者可說是一模一樣。由此可知,《數理精蘊》為南秉吉所本的說法就更加有利了。
由於使用比例四率法的關係,南秉吉處理數據資料,一率、二率、三率皆盡量化為術文中的最小單位及整數化的形式。
從南秉吉的注解可看出,他本身有其一套數學基礎。《九章術解》,顧名思義,即南秉吉對《九章算術》中的術,運用其本身的數學素養,將其重新詮釋的作品。當然,在詮釋的過程中,難免犯一些錯誤。11但對整體而言,並無影響。
第四節、南秉吉注解的評價
南秉吉的注解值得稱許的一點是比劉李注精簡易懂,如此有助於普及教育的推廣。而他在注解時,不會任意竄改術文是另一值得稱許的。由卷六其注解的格式看來,南秉吉對《數理精蘊》的熟悉度不在話下,然由第二十二題可知,其實事求是、有多少證據說多少話的注解精神。總的來說,南秉吉以既有的術文,加上本身的數學素養,成就了《九章術解》。
附錄:
均輸第六單一文字對比
書名 題號\名 |
九章術解 |
南宋本 |
武英殿 聚珍本 |
文淵閣 四庫本 |
微波榭本 |
李潢本 |
1 |
均輸 |
缺 |
均輸 |
均輸 |
均輸 |
均輸 |
1 |
丙縣一萬二千三百五十戶 |
缺 |
丙縣一萬二千三百五十戶 |
丙縣一萬三千三百五十戶 |
丙縣一萬二千三百五十戶 |
丙縣一萬二千三百五十戶 |
1(術曰) |
乘未并者 |
缺 |
乘未并者 |
乘未并者 |
乘未并者 |
乘未并者 |
1(術曰) |
實如法得一車 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一車 |
實如法得一車 |
1(術曰) |
以二十五斛乘車數即粟數 |
缺 |
以二十五斛乘車數即粟數 |
以二十五斛乘車數即粟數 |
以二十五斛乘車數即粟數 |
以二十五斛乘車數即粟數 |
2(術曰) |
乘未并者 |
缺 |
乘未并者 |
乘未并者 |
乘未并者 |
乘未并者 |
2(術曰) |
實如法而一 |
缺 |
實如法而一 |
實如法而一 |
實如法而一 |
實如法而一 |
3 |
十錢、十二錢、十七錢、十三錢 |
缺 |
一十錢、一十二錢、一十七錢、一十三錢 |
一十錢、一十二錢、一十七錢、一十三錢 |
十錢、十二錢、十七錢、十三錢 |
十錢、十二錢、十七錢、十三錢 |
3 |
欲以縣戶賦粟 |
缺 |
欲以縣戶輸粟 |
欲以縣戶輸粟 |
欲以縣戶賦粟 |
欲以縣戶賦粟 |
3(術曰) |
一斛之實 |
缺 |
一斛之費 |
一斛之費 |
一斛之費 |
一斛之費 |
3(術曰) |
乘未并者 |
缺 |
乘未并者 |
乘未并者 |
乘未并者 |
乘未并者 |
3(術曰) |
實如法而一 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法而一 |
實如法而一 |
4 |
傭價一日一錢 |
缺 |
傭價一日一錢 |
傭價一日一錢 |
傭價一日一錢 |
傭價一日一錢 |
4 |
十八、十錢、十六、十四、十二 |
缺 |
一十八、一十錢、一十六、一十四、一十二 |
一十八、一十錢、一十六、一十四、一十二 |
十八、十錢、十六、十四、十二 |
十八、十錢、十六、十四、十二 |
4(術曰) |
空重相乘為法 |
缺 |
空重相承為法 |
空重相承為法 |
空重相乘為法 |
空重相乘為法 |
4(術曰) |
實如法得一日、實如法得一斛 |
缺 |
實如法得一、實如法得一 |
實如法得一、實如法得一 |
實如法得一日、實如法得一斛 |
實如法得一日、實如法得一斛 |
4(術曰) |
即致一斛之費 |
缺 |
即致一斛之費 |
即致一斛之費 |
即致一斛之費 |
即致一斛之費 |
5(術曰) |
列置 |
缺 |
列直 |
列置 |
列置 |
列置 |
5(術曰) |
反衰之、副并為法、乘未并者 |
缺 |
反衰之、副并為法、乘未并者 |
反衰之、副并為法、乘未并者 |
反衰之、副并為法、乘未并者 |
反衰之、副并為法、乘未并者 |
5(術曰) |
實如法得一斗 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斗 |
實如法得一斗 |
6(術曰) |
實如法得一斛 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斛 |
實如法得一斛 |
7 |
鹽 |
缺 |
鹽 |
塩 |
鹽 |
鹽 |
7(答曰) |
二十七錢十五分錢之十一 |
缺 |
二十七錢一十五分錢之一十一 |
二十七錢一十五分錢之一十一 |
二十七錢十五分錢之十一 |
二十七錢十五分錢之十一 |
7(術曰) |
實如法得一錢 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一錢 |
實如法得一錢 |
8(術曰) |
實如法得一返 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一返 |
實如法得一返 |
9 |
程傳 |
缺 |
程傳 |
程傳 |
程傳 |
程傳 |
9 |
五日三返 |
缺 |
五日三返 |
五十三返 |
五日三返 |
五日三返 |
9(答曰) |
四十八里十八分里之十一 |
缺 |
四十八里一十八分里之一十一 |
四十八里一十八分里之一十一 |
四十八里十八分里之十一 |
四十八里十八分里之十一 |
9 |
實如法得一里 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一里 |
實如法得一里 |
10 |
十二兩 |
缺 |
一十二兩 |
一十二兩 |
十二兩 |
十二兩 |
10 |
十二銖 |
缺 |
一十二銖 |
一十二銖 |
十二銖 |
十二銖 |
10(答曰) |
十六銖三十三分銖之十六 |
缺 |
一十六銖三十三分銖之一十六 |
一十六銖三十三分銖之一十六 |
十六銖三十三分銖之十六 |
十六銖三十三分銖之十六 |
10(術曰) |
乘之為實 |
缺 |
乘之為實 |
乘之為實 |
乘之為實 |
乘之為實 |
10(術曰) |
實如法得一斤 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斤 |
實如法得一斤 |
11 |
粺米十斗 |
缺 |
粺米一十斗 |
粺米一十斗 |
粺米十斗 |
粺米十斗 |
11(術曰) |
實如法得一斗 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斗 |
實如法得一斗 |
12 |
善行者行一百步 |
缺 |
善行者行一百步 |
善行者行一百步 |
善行者行一百步 |
善行者行一百步 |
12(術曰) |
以善行者之一百步 |
缺 |
以善行者之一百步 |
以善行者之一百步 |
以善行者之一百步 |
以善行者之一百步 |
12(術曰) |
實如法得一步 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一步 |
實如法得一步 |
13 |
先行十里 |
缺 |
先行一十里 |
先行一十里 |
先行十里 |
先行十里 |
13(術曰) |
實如法得一里 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一里 |
實如法得一里 |
14(術曰) |
實如法得一步 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一步 |
實如法得一步 |
15 |
償錢五千 |
缺 |
償錢五千 |
價錢五千 |
償錢五千 |
償錢五千 |
15(術曰) |
以十乘 |
缺 |
以一十乘 |
以一十乘 |
以十乘 |
以十乘 |
15(術曰) |
五千 |
缺 |
五千 |
五十 |
五千 |
五千 |
16 |
至家 |
缺 |
至家 |
至家 |
至家 |
至家 |
16(術曰) |
半其餘為法 |
缺 |
半其餘以為法 |
半其餘以為法 |
半其餘以為法 |
半其餘以為法 |
16(術曰) |
增三分之一 |
缺 |
增三分日之一 |
增三分日之一 |
增三分日之一 |
增三分日之一 |
16(術曰) |
一日行 |
缺 |
一日行 |
一日行 |
一日行 |
一日行 |
17(術曰) |
副置下第一衰為法 |
缺 |
副置下第一衰以為法 |
副置下第一衰以為法 |
副置下第一衰以為法 |
副置下第一衰以為法 |
17(術曰) |
實如法得一斤 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斤 |
實如法得一斤 |
18(術曰) |
六少於九三 |
缺 |
六少于九三 |
六少于九三 |
六少於九三 |
六少於九三 |
18(術曰) |
實如法得一錢 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一錢 |
實如法得一錢 |
19(術曰) |
實如法得一升即衰相去之 |
缺 |
實如法得一即衰相去也 |
實如法得一即衰相去也 |
實如法得一升即衰相去也 |
實如法得一升即衰相去也 |
20 |
鴈 |
缺 |
雁 |
鴈 |
鴈 |
鴈 |
20(術曰) |
實如法得一日 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一日 |
實如法得一日 |
21(術曰) |
實如法得一日 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一日 |
實如法得一日 |
22 |
一人三日為牡瓦…一人二日為牝瓦 |
缺 |
一人一日為牝瓦…一人一日為牡瓦 |
一人一日為牝瓦…一人一日為牡瓦 |
一人三日為牡瓦…一人二日為牝瓦 |
一人三日為牡瓦…一人二日為牝瓦 |
22(術曰) |
實如法得一枚 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一枚 |
實如法得一枚 |
23 |
今令 |
缺 |
令令 |
今令 |
今令 |
今令 |
23(術曰) |
用徒一人太半人 |
缺 |
用徒一人太半人 |
用徒一人大半人 |
用徒一人太半人 |
用徒一人太半人 |
23(術曰) |
實如法得一矢 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一矢 |
實如法得一矢 |
24(術曰) |
實如法得一畝 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一畝 |
實如法得一畝 |
25(術曰) |
耕耰畝數 |
缺 |
耕耰畆數 |
耕耰畝數 |
耕耰畝數 |
耕耰畝數 |
25(術曰) |
實如法得一畝 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一畝 |
實如法得一畝 |
26(術曰) |
實如法得一日 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一日 |
實如法得一日 |
26(術曰) |
令日數互相乘滿 |
缺 |
今日互相乘滿 |
令日互相乘滿 |
令日互相乘滿 |
令日互相乘滿 |
27(術曰) |
二四六互相乘 |
缺 |
二四六互相乘 |
二四六互相乘 |
二四六互相乘 |
二四六互相乘 |
27(術曰) |
實如法得一斗 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斗 |
實如法得一斗 |
28(術曰) |
實如法得一斤 |
缺 |
實如法得一 |
實如法得一 |
實如法得一斤 |
實如法得一斤 |
註解:
1.
劉鈍,《大哉言數》,頁165。
2. 比對之版本有《武英殿聚珍版》(1774)、微波榭本(1777)、文淵閣《四庫全書•九章算術》(1784)、《九章算術細草圖說》(1820)、南宋本。其中南宋本無卷六。
3. 版本完整比對請詳見附錄表格。
4. 以下眾比對結果,請詳見附錄表格。
5. 比對之版本有《武英殿聚珍版》(1774)、微波榭本(1777)、文淵閣《四庫全書•九章算術》(1784)、《九章算術細草圖說》(1820)、南宋本。其中南宋本無卷六。
6. 郭書春譯注 (1993),《九章算術》p.42,瀋陽︰遼寧教育出版社。
7. 南秉吉於完成術文解題後,會再補充說明其解題的合理性,而其常使用的語法為:蓋……,則……,應……也等。同《數理精蘊》之用法。
8. 如第十八題,錐行者如立錐初一次二次三次四次五各均為一例者也。
9. 《九章術解》中,合率比例用語出現在第十題與第十一題,相合折半用語出現在第十九題;而《數理精蘊》則出現在下編卷三與卷五。
10. 「一」百七步七分步,南秉吉誤寫為「二」百七步七分步。
11. 第五題,南秉吉對術的注解中,有一段有誤。如下:蓋糲率最多取粟宜多稗率為次取粟宜次鑿率最少取粟宜少。應為:糲率最多取粟宜少……鑿率最少取粟宜多。