《九章術解》卷六校勘

內壢國中 葉吉海老師

第一節、導論

    卷六〈均輸〉,劉徽闡明「均輸」,猶均運也。按字面的解釋就是合理地攤派。均輸術是包含著正、反比例的複雜分配問題,它來自秦漢之際官方的徭役和賦稅制度。1〈均輸〉卷共收錄二十八個問題,前四題為均輸本法,其餘為稟粟、持米金出關、負籠、程傳、絲粟互換、成瓦、矯矢、九節竹及各種追及、相遇、工程問題等較複雜的比例問題。

        卷六〈均輸〉與卷二〈粟米〉、卷六〈衰分〉三卷為比例題卷,南秉吉於《九章術解》之注解方法均以四率比例法處理,然此法本質雖與劉徽之今有術同,因此,其習得此法與使用的背景是我們要進一步探詢的。

        接著,本文將根據《九章術解》的內容,分別針對南秉吉所可能參考的《九章算術》底本、南秉吉注解的特色及其評價,作深入的分析與探討。

第二節、底本的探討

《九章術解》卷六〈均輸〉與眾多版本術文比較的結果,21得知《九章術解》卷六-均輸與微波榭本(1777)、《九章算術細草圖說》(1820)的差異處最少。其餘版本比對之差異處,相對而言眾多。3

細看各個版本比對結果,得知其差異處的相同點如下表所示:

題號

《九章術解》卷六〈均輸〉

微波榭本、《九章算術細草圖說》

3

加一斛粟價,則致一斛之「實」

加一斛粟價,則致一斛之「費」

16

半其餘為法、增三分之一

半其餘「以」為法、增三分「日」之一

17

副置下第一衰為法

副置下第一衰「以」為法

19

衰相去「之」

衰相去「也」

26

令日「數」互相乘滿

令日互相乘滿

  

 這些差異處之相同點即為《九章術解》與微波榭本、《九章算術細草圖說》的差異所在。這些差異處除了「字」、「介詞」的增減異同外,並沒有「結構」上的問題。換句話說,《九章術解》在傳抄的過程中,很可能只發生了「字」、「介詞」的增減異同,而對於原本術文「結構」上的問題並無變動。以下筆者將從字詞的使用、術文的結構、解題評注與題目順序等面向深入探討《九章術解》的底本由來。

    字詞的使用:4

1、        “鹽”字,四庫本作“塩”,其餘均作“鹽”;“鴈”字,大典本作“雁”,其餘均作“鴈”字;除此之外,版本錯字情形,請參見附錄表格;

2、        第三題之“賦粟”,微波榭本、《九章算術細草圖說》作“賦粟”外,其餘作“輸粟”;

3、        第四題之“空重相乘為法”的“乘”字,大典本與四庫本作“承”,其餘作“乘”;

4、        數詞十錢、十二錢、十七錢、十三錢、粟一斛十八、一日十錢、粟一斛十六、粟一斛十四錢、粟一斛十二、二十七錢十五分錢之十一、四十八里十八分里之十一、十二兩、十二銖、十六銖、十六,除微波榭本與《九章算術細草圖說》外,其餘版本均作一十錢、一十二錢、一十七錢、一十三錢、粟一斛一十八、一日一十錢、粟一斛一十六、粟一斛一十四錢、粟一斛一十二、二十七錢一十五分錢之一十一、四十八里一十八分里之一十一、一十二兩、一十二銖、一十六銖、一十六;

5、       實如法得一車(錢、斛、斗、里、斤、日、畝、枚)的用法,聚珍版與四庫版用法為實如法得一。

    術文的結構:

1、    第四題,“甲縣四萬二千算粟一斛二十傭價一日一錢”之“傭價一日一錢”,對解題而言,是個贅詞。眾版本皆保留;

2、    第二十二題,“今有一人「三」日為「牡」瓦三十八枚一人「二」日為「牝」瓦”,除微波榭本與《九章算術細草圖說》外,其餘皆作“今有一人「一」日為「牝」瓦三十八枚一人「一」日為「牡」瓦”。「三」日、「二」日與牝牡的錯訛,就結構上來說,如同南秉吉所言:術與答俱誤矣。由第二十二題可知,南秉吉對於底本的術文的誤訛情形,不會擅加修改,而只對術文作解題評注而已。

解題評注:

南秉吉對第二十二題作解題評注時,認為術文中的「術」與「答」俱誤矣。他依原題所述,將術與答重新改寫于評注中,並且作一番的說理解釋。值得注意的是,若南秉吉所參照的底本是《九章算術細草圖說》,應會參見到李潢對此術文的注解:潢按永樂大典三日二日皆作一日當依改正否則於算不合,則南秉吉就不必大費周章地驗算、說理改正術答。由此可知,南秉吉所本之底本內容當只有九章術文及劉李注。

題目順序:

    《九章術解》卷六〈均輸〉與眾版本比對結果,5其題目順序及題數皆同。

由以上的分析,南秉吉所參照的底本最有可能的就是微波榭本。而微波榭本為戴震再次校勘《九章算術》之作,其前五卷以汲古閣本為底本,由曲阜孔繼涵刻入微波榭本《算經十書》。戴震或孔繼涵還將微波榭本冒充南宋版的翻刻本。後來,被多次影印、翻刻,影響甚大。6

第三節、南秉吉注解的特色

    南秉吉注解與劉李的注解最大不同處,在於前者注解較平易近人,後者注解繁瑣。南秉吉注解卷六時,格式統一,以術為主,先行詳細步驟解題,將術之計算步驟詳盡說明,並以比例四率法貫穿全文,再行說明解題步驟的合理性。7雖然解題過程傾向於程序性解題,但南秉吉會在其後作概念性的補充說明,而概念性說明一般會參照劉李的說法。8而劉李釋題與解題混合使用,繁雜且所使用之數學語言較高。另南秉吉注解非常詳細,與劉李注解之點到為止有異。

    南秉吉注解風格與劉李明顯有異。南秉吉敢於如此創新,可見其有所本。細看其注解卷六的風格,與《數理精蘊》頗有異曲同工之妙。劉李注對於比例的問題,是以今有術處理,而南秉吉卻是運用比例四率法處理比率問題。南秉吉於此卷題問上,使用了合率比例、首尾互準差分、相和折半差分、和數比例、較數比例、和較比例等等的比率方法。以下針對《九章術解》、《九章算術劉李注》、《數理精蘊》的異同提供一些比較結果:

1、    卷六中,合率比例、相和折半用術語的使用,9《數理精蘊》有相同的術語,而《九章算術劉李注》無。

2、    卷六中,題目與《數理精蘊》同者或相似者,南秉吉注解格式與《數理精蘊》同。如:第九、十、十四、十九題等。

    對於第2點,以下提供第十四題說明:

第十四題:

今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。問犬不止,復行幾何步及之?

《數理精蘊》中題問:

設如二人自鄉上城,一人步行,一人騎馬。使步行者先行三十七里,騎馬者追至一百五十四里,尚不及二十三里。問追及之里數幾何?

南秉吉的注解:

以不及三十步與先行一百步相減,餘七十步為一率,追之二百五十步為二率,不及三十步為三率,得四率一百七步七分步之一,即及之里數也。此法兔先走一百步,今犬追之,止不及三十步,是一百步內已追過七十步也。追過七十步必須二百五十步,今尚不及三十步,則必須一百七步七分步之一方能追及也。10

《數理精蘊》題問解法:

法以不及二十三里與先行三十七里相減,餘一十四里為一率,追至一百五十四里為二率,不及二十三里為三率,推得四率二百五十三里,即追及之里數也。此法蓋因步行者已先行三十七里,今騎馬者追之,止不及二十三里,是已追過十四里也。追過十四里,必須一百五十四里。今尚不及二十三里,則必須二百五十三里方能追及也。

上兩題雖題目數據及文字不盡相同,但同為追及題型中同一問題。詳細比對其注解的格式,兩者可說是一模一樣。由此可知,《數理精蘊》為南秉吉所本的說法就更加有利了。

由於使用比例四率法的關係,南秉吉處理數據資料,一率、二率、三率皆盡量化為術文中的最小單位及整數化的形式。

        從南秉吉的注解可看出,他本身有其一套數學基礎。《九章術解》,顧名思義,即南秉吉對《九章算術》中的術,運用其本身的數學素養,將其重新詮釋的作品。當然,在詮釋的過程中,難免犯一些錯誤。1133但對整體而言,並無影響。

第四節、南秉吉注解的評價

南秉吉的注解值得稱許的一點是比劉李注精簡易懂,如此有助於普及教育的推廣。而他在注解時,不會任意竄改術文是另一值得稱許的。由卷六其注解的格式看來,南秉吉對《數理精蘊》的熟悉度不在話下,然由第二十二題可知,其實事求是、有多少證據說多少話的注解精神。總的來說,南秉吉以既有的術文,加上本身的數學素養,成就了《九章術解》。

 

附錄:

均輸第六單一文字對比

書名

題號\名

九章術解

南宋本

武英殿

聚珍本

文淵閣

四庫本

微波榭本

李潢本

1

均輸

均輸

均輸

均輸

均輸

1

丙縣一萬二千三百五十戶

丙縣一萬二千三百五十戶

丙縣一萬三千三百五十戶

丙縣一萬二千三百五十戶

丙縣一萬二千三百五十戶

1(術曰)

乘未并者

乘未并者

乘未并者

乘未并者

乘未并者

1(術曰)

實如法得一車

實如法得一

實如法得一

實如法得一車

實如法得一車

1(術曰)

以二十五斛乘車數即粟數

以二十五斛乘車數即粟數

以二十五斛乘車數即粟數

以二十五斛乘車數即粟數

以二十五斛乘車數即粟數

2(術曰)

乘未并者

乘未并者

乘未并者

乘未并者

乘未并者

2(術曰)

實如法而一

實如法而一

實如法而一

實如法而一

實如法而一

3

十錢、十二錢、十七錢、十三錢

一十錢、一十二錢、一十七錢、一十三錢

一十錢、一十二錢、一十七錢、一十三錢

十錢、十二錢、十七錢、十三錢

十錢、十二錢、十七錢、十三錢

3

欲以縣戶賦粟

欲以縣戶輸粟

欲以縣戶輸粟

欲以縣戶賦粟

欲以縣戶賦粟

3(術曰)

一斛之實

一斛之費

一斛之費

一斛之費

一斛之費

3(術曰)

乘未并者

乘未并者

乘未并者

乘未并者

乘未并者

3(術曰)

實如法而一

實如法得一

實如法得一

實如法而一

實如法而一

4

傭價一日一錢

傭價一日一錢

傭價一日一錢

傭價一日一錢

傭價一日一錢

4

十八、十錢、十六、十四、十二

一十八、一十錢、一十六、一十四、一十二

一十八、一十錢、一十六、一十四、一十二

十八、十錢、十六、十四、十二

十八、十錢、十六、十四、十二

4(術曰)

空重相乘為法

空重相承為法

空重相承為法

空重相乘為法

空重相乘為法

4(術曰)

實如法得一日、實如法得一斛

實如法得一、實如法得一

實如法得一、實如法得一

實如法得一日、實如法得一斛

實如法得一日、實如法得一斛

4(術曰)

即致一斛之費

即致一斛之費

即致一斛之費

即致一斛之費

即致一斛之費

5(術曰)

列置

列直

列置

列置

列置

5(術曰)

反衰之、副并為法、乘未并者

反衰之、副并為法、乘未并者

反衰之、副并為法、乘未并者

反衰之、副并為法、乘未并者

反衰之、副并為法、乘未并者

5(術曰)

實如法得一斗

實如法得一

實如法得一

實如法得一斗

實如法得一斗

6(術曰)

實如法得一斛

實如法得一

實如法得一

實如法得一斛

實如法得一斛

7

7(答曰)

二十七錢十五分錢之十一

二十七錢一十五分錢之一十一

二十七錢一十五分錢之一十一

二十七錢十五分錢之十一

二十七錢十五分錢之十一

7(術曰)

實如法得一錢

實如法得一

實如法得一

實如法得一錢

實如法得一錢

8(術曰)

實如法得一返

實如法得一

實如法得一

實如法得一返

實如法得一返

9

程傳

程傳

程傳

程傳

程傳

9

五日三返

五日三返

五十三返

五日三返

五日三返

9(答曰)

四十八里十八分里之十一

四十八里一十八分里之一十一

四十八里一十八分里之一十一

四十八里十八分里之十一

四十八里十八分里之十一

9

實如法得一里

實如法得一

實如法得一

實如法得一里

實如法得一里

10

十二兩

一十二兩

一十二兩

十二兩

十二兩

10

十二銖

一十二銖

一十二銖

十二銖

十二銖

10(答曰)

十六銖三十三分銖之十六

一十六銖三十三分銖之一十六

一十六銖三十三分銖之一十六

十六銖三十三分銖之十六

十六銖三十三分銖之十六

10(術曰)

乘之為實

乘之為實

乘之為實

乘之為實

乘之為實

10(術曰)

實如法得一斤

實如法得一

實如法得一

實如法得一斤

實如法得一斤

11

粺米十斗

粺米一十斗

粺米一十斗

粺米十斗

粺米十斗

11(術曰)

實如法得一斗

實如法得一

實如法得一

實如法得一斗

實如法得一斗

12

善行者行一百步

善行者行一百步

善行者行一百步

善行者行一百步

善行者行一百步

12(術曰)

以善行者之一百步

以善行者之一百步

以善行者之一百步

以善行者之一百步

以善行者之一百步

12(術曰)

實如法得一步

實如法得一

實如法得一

實如法得一步

實如法得一步

13

先行十里

先行一十里

先行一十里

先行十里

先行十里

13(術曰)

實如法得一里

實如法得一

實如法得一

實如法得一里

實如法得一里

14(術曰)

實如法得一步

實如法得一

實如法得一

實如法得一步

實如法得一步

15

償錢五千

償錢五千

價錢五千

償錢五千

償錢五千

15(術曰)

以十乘

以一十乘

以一十乘

以十乘

以十乘

15(術曰)

五千

五千

五十

五千

五千

16

至家

至家

至家

至家

至家

16(術曰)

半其餘為法

半其餘以為法

半其餘以為法

半其餘以為法

半其餘以為法

16(術曰)

增三分之一

增三分日之一

增三分日之一

增三分日之一

增三分日之一

16(術曰)

一日行

一日行

一日行

一日行

一日行

17(術曰)

副置下第一衰為法

副置下第一衰以為法

副置下第一衰以為法

副置下第一衰以為法

副置下第一衰以為法

17(術曰)

實如法得一斤

實如法得一

實如法得一

實如法得一斤

實如法得一斤

18(術曰)

六少於九三

六少于九三

六少于九三

六少於九三

六少於九三

18(術曰)

實如法得一錢

實如法得一

實如法得一

實如法得一錢

實如法得一錢

19(術曰)

實如法得一升即衰相去之

實如法得一即衰相去也

實如法得一即衰相去也

實如法得一升即衰相去也

實如法得一升即衰相去也

20

20(術曰)

實如法得一日

實如法得一

實如法得一

實如法得一日

實如法得一日

21(術曰)

實如法得一日

實如法得一

實如法得一

實如法得一日

實如法得一日

22

一人三日為牡瓦…一人二日為牝瓦

一人一日為牝瓦…一人一日為牡瓦

一人一日為牝瓦…一人一日為牡瓦

一人三日為牡瓦…一人二日為牝瓦

一人三日為牡瓦…一人二日為牝瓦

22(術曰)

實如法得一枚

實如法得一

實如法得一

實如法得一枚

實如法得一枚

23

今令

令令

今令

今令

今令

23(術曰)

用徒一人太半人

用徒一人太半人

用徒一人大半人

用徒一人太半人

用徒一人太半人

23(術曰)

實如法得一矢

實如法得一

實如法得一

實如法得一矢

實如法得一矢

24(術曰)

實如法得一畝

實如法得一

實如法得一

實如法得一畝

實如法得一畝

25(術曰)

耕耰畝數

耕耰畆數

耕耰畝數

耕耰畝數

耕耰畝數

25(術曰)

實如法得一畝

實如法得一

實如法得一

實如法得一畝

實如法得一畝

26(術曰)

實如法得一日

實如法得一

實如法得一

實如法得一日

實如法得一日

26(術曰)

令日數互相乘滿

今日互相乘滿

令日互相乘滿

令日互相乘滿

令日互相乘滿

27(術曰)

二四六互相乘

二四六互相乘

二四六互相乘

二四六互相乘

二四六互相乘

27(術曰)

實如法得一斗

實如法得一

實如法得一

實如法得一斗

實如法得一斗

28(術曰)

實如法得一斤

實如法得一

實如法得一

實如法得一斤

實如法得一斤

 

註解:

1. 劉鈍,大哉言數》,頁165。

2. 比對之版本有《武英殿聚珍版》(1774)、微波榭本(1777)、文淵閣《四庫全書•九章算術》(1784)、《九章算術細草圖說》(1820)、南宋本。其中南宋本無卷六。

3. 版本完整比對請詳見附錄表格。

4. 以下眾比對結果,請詳見附錄表格。

5. 比對之版本有《武英殿聚珍版》(1774)、微波榭本(1777)、文淵閣《四庫全書•九章算術》(1784)、《九章算術細草圖說》(1820)、南宋本。其中南宋本無卷六。

6. 郭書春譯注 (1993),《九章算術》p.42,瀋陽︰遼寧教育出版社。

7. 南秉吉於完成術文解題後,會再補充說明其解題的合理性,而其常使用的語法為:蓋……,則……,應……也等。同《數理精蘊》之用法。

8. 如第十八題,錐行者如立錐初一次二次三次四次五各均為一例者也。

9. 《九章術解》中,合率比例用語出現在第十題與第十一題,相合折半用語出現在第十九題;而《數理精蘊》則出現在下編卷三與卷五。

10. 「一」百七步七分步,南秉吉誤寫為「二」百七步七分步。

11. 第五題,南秉吉對術的注解中,有一段有誤。如下:蓋糲率最多取粟宜多稗率為次取粟宜次鑿率最少取粟宜少。應為:糲率最多取粟宜少……鑿率最少取粟宜多。