《為甚麼要學習數學?》讀後感

                          臺北市立成功高中 杜雲華、游經祥、蘇慧珍、蘇意雯老師

一、前言

本學期「數學教師專業發展與HPM」計畫中，成功高中的參與教師們共同閱讀了蕭文強先生的《為甚麼要學習數學?》一書。正如同蕭先生再版序言所述『數學在一般人心目中佔什麼地位呢?大家都不否認它的功用，但同時很多人雖然沒有厭惡或者害怕它，可還是對它持一種冷漠的態度；即使在工作上常常與數學打交道的人，也不一定嘗試去瞭解數學除了作為工具以外，究竟是怎麼一回事。』很顯然的，這不啻一語道破數學這門學科的處境。

蕭文強先生接著在本書中，對於為何數學會造成上述疏離現象的原因提出解釋，他認為主要是因為『數學教學上我們往往著重它的技術內容，把它作為一種技能去傳授。這樣做，教師雖然能夠在規定的時間內傳授一定份量的知識，並且能夠以一種表面是清晰俐落的手法迅速教懂學生這套特別的語言，但同時也掩蓋了數學作為一門文化活動的面目，使學生感覺不到它的旺盛生機。』如前所述，數學是人類的活動，數學與文化之間的關係更是數學教育工作者不容忽視的課題，也是教師所需關注及具備的素養之一。在本書裡，除了前言外，共分成四章討論，分別是「引言－為什麼要學習數學」、「學習數學有什麼功用」、「對數學發展史的認識」、「數學在實際問題上的應用」，每章都各賦深趣。

    蕭先生在書中舉了相當多的例子，足以打破數學是不食人間煙火、與日常生活無涉之迷思。例如在第四章中的第一個範例，是Eratosthenes利用初等幾何的知識量度地球的大小，就非常適合教師在課堂上補充。這個故事是這樣的：西元前三世紀古希臘數學家Eratosthenes知道亞歷山大里亞城位於塞尼城（Syene）以北五百哩，也知道在夏至那一天，太陽是當空直射於塞尼城之上。於是，在夏至那一天，Eratosthenes利用類似日晷儀器量度了太陽在亞歷山大里亞城的投射角，得到的答案是七度半（如下圖所示）。由此他算出地球的圓周是二萬四千哩，因而求得地球的半徑約為三千九百二十五哩，與今日以精密儀器所得結果僅差約二十五哩左右。數學之用可見大矣。

簡單說來，這是一部簡潔易懂饒富意味的小冊，極適合作為教師的參考讀物。我們這群人所採取的方式是共同閱讀，並由每人分配一章負責主講，再各自撰寫心得。在研讀的過程中，我們四人都獲得了不少的啟發和收穫，現在就讓敝校另外三位同仁利用以下篇幅與大家分享。

二、讀後感之一（杜雲華撰）

從事數學教育近二十年，深感大部分學生對於數學科的學習或多或少有著一分距離；狀況好一點的學生，很努力也很辛苦的學習，但是並不快樂。狀況差一點的學生，可能早就放棄學習，任其荒廢；有的學生甚而質疑「為何要學數學?」 「現在所學的，以後根本用不到，為何學它?」這些是我們的教材沒能有效告訴學生，或根本就不曾告訴學生問題的答案。有了質疑，就有了鴻溝，當問題沒能有效的得到答案，鴻溝自然越來越深，學習也就打了折扣，甚而拒絕加入學習的行列。

   筆者有幸在參與教學學習成長計畫研討會中，接觸到蕭文強先生所著之《為甚麼要學習數學?》這本書，發現書中大部分內容淺顯易讀，卻也相當程度地對數學的學習，給予新的思維與方向。

   大環境裡，考試領導教學，因此，教師在數學教學上往往只著重在技術內容的傳授（課本教材內容亦同），而忽略了文化面和時代的背景、人物的介紹乃至於問題的發展與解決等一脈相承的歷史敘述，而這些偏偏又是如此的生動有趣。在教材中，拿掉這些精髓所剩下的軀殼雖是具體但缺乏生命，難怪會顯得如此僵硬，了無生機，更別提是吸引力了。

   蕭先生在文中用很輕鬆的筆調，以數學史的風貌給予數學新的定義，如第三章所提對數學發展史的認識中把數學的起源認知深化為理論，由感性認識到理性認識，具體到抽象，歸納到演繹均有一脈相承的介紹。其中所舉的例子，亦能完整地達到舉証的功能，譬如有關古代巴比倫的開方法中的楔形文字泥板。在說明『實際問題上的應用』時，也能夠將數學與生活結合，豐富了數學的內涵，使其更具親和力，譬如角尺的利用，車輛拐彎問題，七橋問題，利用日晷巧妙量度地球大小，以及有限馬可夫鏈等等。為人師者若能善加運用，我想數學的教學將不只侷限於思維的訓練與知識的傳授，更能提昇數學的文化素養。如此一來，或許在學生對於數學的認知會有另外的風貌與評價也說不定。                        

三、讀後感之二（游經祥撰）

有一次，筆者隨數學科輔導團到東山高中訪談時，有一位數學老師在會議中提問題來問我們：「學生常常會問，學這麼多數學，到底有什麼用？為什麼要學數學？我們要如何來為學生解答？」當時景美女中黃校長便指定筆者回答，記得筆者給出以下的參考回答：（１）因為大型如基本能力測驗、指定科目考試要考數學；小型如平常考、段考、月考、週考、期未考等皆要考數學，故要學數學；（２）數學的功用常常隱藏在無形的日常生活之中；例如：判斷某事的思維，對錯矛盾的批判，科學發展的應用等，故要學數學；（３）能應用出來的背後總是要學得更多。學更多的數學，如站在高嶺上，方可以居高臨下，如此，才有施用之完美能力，故要學數學。

　　後來，參與本研究計畫，大家商量一起看蕭文強先生所著之《為甚麼要學數學？》。這本書的內容以幾個方向來闡述有關為什麼要學數學的原因。包括：引言、學習數學有什麼功用、對數學發展史的認識，以及數學在實際問題上的應用等四章。

　　蕭先生以平實淺白的文章，來闡述數學的功用，點出大部人對於『為什麼要學數學』的共同說明為（ａ）很多科學都需要使用數學作為工具；（ｂ）可以藉著學習數學來訓練推理能力和思考能力。這（ａ）、（ｂ）兩點，剛好與筆者上述的（２）、（３）有相通的地方。但是，如此的回答，學生似乎還不太會甘願這樣就覺得學數學是件理所當然的事。因為學生可能在學習的過程中，早已被不當的教學過程、無情的分數主義、機械式的模仿訓練、最簡捷精確的定義切入等不當教法，大量地增加學習的包袱與負擔，而嚴重地降低了學習數學的興趣。

　　看完此書後，讓筆者深深感覺到學生的數學學習，要從數學教學的根本改良上做起。因此，筆者覺得根本改良之方向如下：

      （１）要從生活實務上談數學的實際應用，例如，地球大小的測量、山高與路遠的度量、樂透彩的得獎機率、電影票價的訂定、百貨公司貨品的折扣、田地種植生產等，皆可以由日常生活中切入活潑生動的學習動機給學生，以增加學生學習的興趣。

      （２）適時增加數學人文歷史的簡介。經由數學發展史的適度簡介，一方面加強學生數學人文面向的常識；一方面又可去除數學是如此嚴肅、如此冰冷、如此令人頭痛的想法。使數學教學之中注入一股清流、生氣，使學生不致於對數學只有嚴肅無趣的失望感覺。

      （３）加強根本概念源頭的引進。由具體實物到抽象化，到概念的建立，到基模的建構；在教學過程中皆要時時注意其『具體®抽象®概念®基模』的順序，切不可在教學過程中，直接以定義方式入主題。雖這是最簡捷、最精確之方式，但對學生而言，這只是將學生暴露在危機退縮之中。試想才一個虛數“ｉ”的概念，就要多少有名的數學家參與探討並且花了百來年歲月才能將它的結構順利地系統化到成熟狀態，從而能以完美的現狀呈現在學生的面前。因此，教學中引導的順序是很重要的。

總之，蕭先生的大作，給筆者很多的啟發，同時也提醒筆者以後在數學教學中及學生數學學習的過程中，要有更進一步的調整。尤其在數學教學中注入一股人文面向的引導，更可增加學習者的學習興趣；希望以後學習者在數學學習的過程中是快樂的。

四、讀後感之三（蘇慧珍撰）                                                                                 

筆者從大學時代接觸數學教育以來，看到許多數學教育家倡導生活數學，而由於受到他們的影響，筆者及同輩們也秉持同樣的想法。但是，處於升學主義下，向傳統舊式教學方式屈服的朋友卻不在少數，當然，筆者也看到對於數學具有非一般熱忱的前輩們仍在努力著，希望將數學這一門有趣的學問，更淺顯地教授學生。筆者也曾自許，希望能帶給學生更平易近人的數學知識，但是，受到本身學淺及升學進度壓力下，常常會覺得心有餘而力不足，尤其當學生問起「為什麼要學數學？」這一類問題時，總是支吾其詞，無法給予令人滿意的答案。直到讀了《為什麼要學習數學？》一書後，心中的盲點似乎越來越小。

    本書由蕭文強先生試著從一個不需要使用數學作為工具的人的眼光，來看待「為什麼要學習數學？」這個問題，因此，內容大部分都相當淺顯易懂，尤其適當的引入數學發展史，指出數學的嚴謹性是因時而異、數學的發展是集體智慧的結晶，數學的各部門構成有機體且彼此密不可分等，讓讀者們深刻的感受到數學是相當具有文化性的。而在最後一章，作者舉了許多數學在實際問題上應用的例子，更讓人深刻的感受到數學的應用性。筆者尤其對於本書第三章—『對數學發展史的認識』—之內容相當有共鳴，作者所舉例的，幾乎都是筆者曾學過的內容，因此，重新咀嚼一番後，更讓人有另一番不同於以往的感受，相信其內容一定能說服更多人相信，數學除了作為工具以外，更是一種具有文化的活動。因此，如果我們想將生活化的數學帶給學生，筆者目前的感想是：

（一）從數學發展史著手，培養教師本身的數學文化修養。

（二）在課堂上適時引入數學應用性問題引起學生注意。

對於第一點，筆者目前正在努力中，而對於第二點，筆者認為，如果一學期中有一、二次很確切的引入數學史，會讓學生的感受很突兀，因此，最好一開始作長時期的規劃、短時間的呈現，讓數學史的痕跡不要太明顯，學生的接受度會較高，否則，許多學生會給予肯定、但不信任的回應。（所謂不信任是指，對於未來大考是否有幫助而言。）

   在此順帶更正本書中由研討會同伴們所發現的部分錯誤與欲多加說明之處：

           (1)       在『數學的發展是集體智慧的結晶』的舉例中，《原本》的「第五公理」應改為「第五公設」。

           (2)       在『數學的各部門構成有機體』的舉例中，診斷病症的圖(53)及圖(54)中的黑點，指的是病患檢驗數據為( 8 , 4 )的所在位置。

五、尾聲

從希臘時代以降，究竟數學是如柏拉圖所認為，「數學觀念是哲學觀念的基礎，也是認識「理型世界」的必備條件」。還是如亞里斯多德認為，「數學仍然必須附著在物質裡面，數學知識是「物質世界」通往「理型世界」的橋樑，在理型與物質之間居於中介的地位」（蘇意雯，1999），就是一個見仁見智的問題。至於今日數學文化的觀點，則提醒我們注意數學的發展脈絡，以及了解在不同的社會中所發展的數學理念（Grugnetti, Lucia & Rogers, Leo，2000）。如果吾人能夠認識到在特別的時代、地域及條件下會孕育某些學者和數學理念，那麼，這些將能幫助我們對現行知識的了解。為學生開啟「比較」的可能性以及讓學生們能夠了解文化的多樣性，進而了解數學、喜愛數學，也正是HPM的目標。

六、參考資料

蕭文強 (1992).《為甚麼要學習數學?》，香港：新一代文化協會。

蘇意雯 (1999).〈數學哲學：柏拉圖VS. 亞里斯多德〉，《HPM通訊》2(1)：4-6。

Grugnetti, Lucia & Rogers, Leo (2000). “Philosophical, multicultural and interdisciplinary issues”,  Fauvel, John and Jan van Maanen(eds.), History in Mathematics Education  (Netherlands：Kluwer Academic Publishers), pp.39-62.