南秉吉《九章術解》卷七校勘

台北縣福和國中  黃清揚老師

朝鮮南秉吉《九章術解》卷七「盈朒」共收錄二十個應用問題，「盈朒」的意思即為「盈不足」。利用盈不足術，即雙設法，來解決線性與非線性問題是本卷的特色，也是古代中算家特出的成就之一。¹綜觀全卷，盈不足術的應用相當廣泛，其對線性問題給了精確解、非線性問題給了近似解。而從《九章算術》的整體來看，此卷在介紹線性方程組的〈方程章〉之前而，在相關比例算法的〈粟米〉、〈衰分〉、〈均輸〉三章之後。按劉徽的說法（以御隱雜互見），「盈不足術」乃比例算法的推廣與應用。²《九章算術》中，劉徽的解釋對於我們了解其思想具有深刻的啟發。但經過長時間的推移，南秉吉著《九章術解》時是否從劉徽注中得到更進一步的發展，亦或是另闢蹊徑自尋桃花源，都將是我們關注的焦點。另外，從文化交流的角度來看，探究《九章術解》的底本，將對我們了解南秉吉的學術背景有初步的認知。

第一節  底本探討

    作為《九章術解》的讀者，我們很自然的提出了一個看法：南秉吉在著《九章術解》時所憑依的母本為何，是清代中韓文化交流時所流傳過去的版本，抑或是更早的版本？為解決這一問題，筆者在此卷對文字部分做了對比，並得到初步成果。以下的說明分為題目順序、單一文字及段落差異三方面。

1. 題目順序。首先筆者將《九章術解》「卷七」依順序編號，再依各題中之關鍵字予以名稱，接下來便是對照各版本的差異（見附錄表格四）。經過初步的對照，《九章術解》與微波榭本及李潢本在題目順序上是一樣的，文淵閣四庫本及武英殿聚珍本則缺了第七問「共買豕」，南宋本則缺第七卷。

2. 單一文字。經過對題目順序作比較之後，筆者再逐字比較。此部份可分為四點來說明《九章術解》與其他版本的不同，之後並嘗試探索其所採用母本的可能性：

(1). 卷名。南秉吉在本卷中所使用的卷名為「盈朒」兩字，相關文獻採用『盈朒』作為卷名者似乎僅出現在《數理精蘊》，其他版本皆使用「盈不足」。（事實上南秉吉採用了《數理精蘊》中的數學知識來解釋《九章算術》，見下文。）

 (2). 在第六問術文中最後一句「減盈，增不足即物數」之「數」一字，其餘各版本此處皆作「價」。

(3). 第十二問術文中，「大鼠所穿合尺五寸」，正確應為「四尺五寸」，南秉吉在注中曾給予修正。相互對比之下，各版本中唯有微波榭本與李潢本脫落「四」字（在李潢本中，李潢對此錯誤有加註以說明，但他並沒有更改術文；微波榭本則未加註解）。筆者認為，南秉吉所採用的母本也一定脫落了「四」這個字，不然，作者不會去作校正的工作。也正因為作者做了校正，這裡留下了重要的蛛絲馬跡，讓我們得以繼續探究下去。

(4). 數字寫法。以「13」為例，在各版本中多少會有著「十三」或「一十三」兩種書方式的差別，但是微波榭本及李潢本與《九章術解》在此則寫法完全相同。

因此，從上述四點看來，後兩點讓我們有理由懷疑《九章術解》的母本為微波榭本或是李潢本，而不是其他的版本。當然，光憑這兩點還不夠充分，我們還需要更多證據來支持。

3. 段落的差異。這部分主要針對第四、六、十二及十九問四處的「術曰」來做說明。因為這四問的處理皆是類似的，所以只討論第四問即可。首先來看第四問的「術曰」：

盈不足相與同共買物者，置所出率盈、不足各居其下。令維乘所出率，并，以為實。并盈、不足為法。有分者通之。副置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實為物價，法為人數……。 

在文字編排上，武英殿聚珍本、文淵閣四庫本、微波榭本及李潢本與之相同。比對各文本之後，進一步發覺上述「術曰」內容實為戴震私心自用的產物。因為依據武英殿聚珍版，戴震在《永樂大典》中輯錄《九章算術》時，已將《永樂大典》中的順序調動過。就以此問來說，戴震將《永樂大典》中「實如法而一」五字刪去，而將「盈不足相與同其買物者」十字移到「術曰」之下，並將「其」改為「共」，又在第二個「置所出率」之前添一「副」字。³經過這樣的調動及更改，所得到的結果就是我們所見第四問的「術文」部分。這種情形同樣出現在題六、題十二與題十九。這種情形之下，基本上我們便排除《九章術解》的母本為戴震之前的版本了。

綜合上述，我們先排除武英殿聚珍本之前的文本做為《九章術解》母本的可能性，加上從文字及題目順序的證據，進一步排除了武英殿聚珍本及文淵閣四庫本這兩種可能，因此便剩下微波榭本與李潢本可供我們細究。尤有進者，我們經過逐字比對後，發覺《九章術解》與這兩個版本在卷七只有「朒」及「價」兩字的差異。這樣一來，微波榭本與李潢本作為母本的可能性應是相當高的。

第二節  南秉吉注解的特色

對於卷七注解之數學知識部分，南秉吉與前面幾卷的做法相同，他並未採用劉徽及李淳風注之術語－「齊同術」，而是用了另一種術語－「四率比例法」。其寫作風格較為貼近《數理精蘊》，且與劉徽之注截然不同。再者，從《數理精蘊》在當時清國、朝鮮兩國的流傳情形看來，推論南秉吉有可能是看了《數理精蘊》之後，再用其中的數學知識來解釋《九章算術》。此論點有以下幾點證據：

1. 在採用「四率法」之注中，其書寫模式及語氣與《數理精蘊》相似。今取《九章術解》卷七中第一問「共買物」與《數理精蘊》卷八之第一問「有人分銀」（一盈一朒）為例來做對比。《九章術解》「共買物」題在求人數的做法及說明如下：

以出八出七相減，餘一為一率。一人為二率。盈三不足四相加，共七為三率。求得四率七，即為人數。……。夫一人多出一，而總價差七。則一為一人之所多，而七為七人之所多可知矣。故一與一人之比，同於七與七人之比也。

   《數理精蘊》在「有人分銀」題中求人數之做法及說明則為：

法以七兩與九兩相減，餘二兩為一率。一人為二率。盈四兩與朒十二兩相加，共十六兩為三率。推得四率八，即為人數。…夫一人多分二兩，而總價差十六兩。則二兩為一人之所多，而十六兩為八人之所多可知矣。故二兩與一人之比，同於十六兩與八人之比。而為比例四率也。⁴

   更相對比之下，我們很難抗拒兩者在書寫上相似的說法。

2. 各版本對「盈不足」所給的注提供我們一部份訊息，使我們得以了解南秉吉的說法比較接近何者。首先見《九章術解》卷七在第四問對「盈不足」所給的注為：

          盈者，有餘；不足者，朒也。設有餘不足以求適中，而亦為因較而得正數。

劉徽的注（見楊輝本、武英殿聚珍本、文淵閣四庫本、微波榭本及李潢本）則為：

盈者，謂之朓；不足者，謂之朒。所出率謂之假令。盈朒維乘兩設者，欲為齊同之意。

《數理精蘊》的寫法則是：

盈，有餘也；朒，不足也。設有餘不足以求適中，亦為因較而得正數之法。⁵

從上述對比來看，《九章術解》與《數理精蘊》兩者在文字上幾乎相同，而劉徽的注除第一句與《九章術解》有部分類似之外，第二句就不相同了。所以，這個部分南秉吉應該是採用了《數理精蘊》的說法。

3. 《九章術解》卷七第六問注中有這樣一個問題：

假如眾人輪班。四人值五日，盈二十日；八人值九日，盈八日。求人數？

相同數字之問題見於《數理精蘊》卷八「雙套盈朒」之「兩盈」：

設如眾人輪班值日。不知人數，亦不之日數。只云每四人值五日，則盈二十日；每八人值九日，仍盈八日。問人數及日數各若干？⁶

兩者相同的程度自然不在話下。實際上，要能在不同的時空背景之下，能夠寫出相同數字及情境的問題，除了文化交流一途之外幾乎不可能達到。因此，此題之內容，南秉吉應得自於《數理精蘊》。

    從以上的討論來看，我們了解南秉吉相當程度的採用《數理精蘊》中的知識。所以接下來，筆者就南氏之注概略介紹，以便說明「四率法」在卷七所扮演的角色，並進一步比較劉徽與南秉吉注解的異同。南氏在本卷第一問至第四問給了相當的注解（其注解形式見上述第1點），注解內容採用「四率法」，計算與說明兼有但較強調計算過程。相較之下，劉徽在第四問之後才給出了注，並且其注乃為全章而設，計算雖有之但重點在說理。例如，在第四問對「有分者通之」之注，南秉吉的說法為：

謂并不足為法。以七家、九家相乘得六十三，又通之得二萬二千六百八十。

劉徽的說法則為：

若兩設有分者，齊其子，同其母。此問兩設俱見零分，故齊其子，同其母。

兩者的解釋方向就不同了。第五問至第八問南秉吉則未給詳盡算式過程，有趣的是在第六問後的注中，作者特別給了與《數理精蘊》中相同的題目（見上述第3點），並對該題有詳細的解讀，其考量值得令人玩味。第九問在本卷中具有關鍵地位，因為南氏特別給了三種解法，這在其他題中並未得見。並且在題九之前，南秉吉大篇幅解釋「四率法」，題九之後則對「雙假令」較多著墨而對「四率法」較少提到。雖然如此，然其本質依然為「四率比例法」，因為作者在題九注中清楚的說到「以下諸術接仿此」。以上所述種種，皆針對南秉吉註解的特色而立，其評價留待下節說明。

第三節  南秉吉注解的評價

總結本章內容來說，南秉吉有可能採用微波榭本或李潢本為母本，並且正文部分參照《數理精蘊》作注，劉徽及李淳風之說法則未被採納。作者在本卷所呈現之數學素養，當然主要受到《數理精蘊》的影響，且其算法詳盡為一大特色。若採用現代的觀點，我們可以這樣說，南秉吉著書風格重在算術上，陳述算術過程之每一步驟皆非常詳盡，甚至會給出多種解法（題九）。相較之下，劉徽採用「齊同術」，其注則是較多說明，先說明方法再陳述算式或是算式與說明互相交錯，算術部分則不若南秉吉詳細。再從現代符號來對比，雖然兩人並無不同，但從HPM的觀點來看，兩人所採用的「修辭」進路相異且各有所長：南秉吉採用「西法」（「四率法」首見《同文算指》一書）來解釋《九章算術》，著重在詳述算式，試圖讓讀者知道每一步驟；而劉徽的進路則為傳統「中法」（「齊同術」），強調於解釋說明。除此之外，南秉吉會特別地在注中另給例子（題六）。以上即為筆者之看法，也希望這些內容的解讀，能對中韓文化交流有所貢獻。

註解：

1. 除了中國之外，古埃及與印度曾用「單設法」來解線性問題。

2. 劉鈍 (1993) .《大哉言數》(瀋陽：遼寧教育出版社)，頁173。

    3. 魏．劉徽注、唐．李淳風釋 ，《九章算術》，上海商務印書館縮印微波謝刊本，收入《四部叢刊》，頁169。

    4. 清•康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷三》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁344。

5. 同上，頁344。

6. 同上，頁362