《九章術解》卷八校勘

林倉億（服兵役中）

《九章算術》第八卷〈方程〉共十八問，皆是線性方程組的問題。「方程」即今所謂的線性方程組，《九章算術》中用來解方程的方法，稱為「方程術」，這是中國古代數學中十分突出的一項成就，¹但在明清之際，「方程術」卻被各式歌訣所取代，以致「方程」幾至不可用之地步。梅文鼎對此提出嚴厲的批評：

至若方程，別無專書可證，所存諸例，又為俗本所亂，妄增歌訣，立為膠固之法，印定後賢耳目，而方程不復可用，竟如贅疣！²

儘管如此，梅氏仍「竊以方程算術，古人既特立一章於諸章之後，必有精理」，³但當時「中西各書所載，皆未能慊然於懷」，⁴因此，在未見《九章算術》〈方程〉之情形下，作了《方程論》一書，而此書即成為《數理精蘊》〈方程〉的主要依據。「方程」雖為中國古已有之，但在此時空背景之下，造成《數理精蘊》與《九章算術》在「方程」上有了很大差異。因此，南秉吉在他的《九章術解》中，如何以《數理精蘊》注《九章算術》的〈方程〉，以及其注解中透露了哪些有趣的訊息等等，這些議題都是本文所討論的對象。但在對南秉吉之注進行分析之前，實有必要探究其《九章算術》〈方程〉的底本。

第一節 底本探討

筆者將南秉吉《九章術解》〈方程〉中的術文，分別與武英殿聚珍本、文淵閣四庫本、微波榭本與李潢本中的〈方程〉術文作比對，發現雖然這些版本中的題目數目與順序皆一致，但術文中仍有許多相異之處。從這些相異處，筆者獲致兩點結論：

1.        《九章術解》〈方程〉中的術文與武英殿聚珍本、文淵閣四庫本互異之處遠比微波榭本與李潢本多，因此，南秉吉應不是以武英殿聚珍本或文淵閣四庫本為底本。

2.        儘管《九章術解》〈方程〉中的術文與微波榭本與李潢本的相異處最少，都只有八處，但從第1問的相異來看，亦不能斷定南秉吉是以這兩個版本為底本。

第二節 南秉吉注解的特色

在前幾章的分析中，可以看到南秉吉受《數理精蘊》很深的影響，往往援《數理精蘊》注《九章算術》。不過，若要分析《數理精蘊》如何影響南秉吉注《九章算術》〈方程〉，那就不能單看《數理精蘊》〈方程〉中的內容，還必須考慮《數理精蘊》〈借根方比例〉的內容，因為南秉吉結合了這兩者來注解《九章算術》的〈方程〉（見下文分析）。至於劉徽與李淳風注究竟影響南秉吉多少，從南氏之注解無法明顯地看出來，南氏之注最主要仍是受《數理精蘊》的影響。以下就是南氏之注的主要特色。

首先，對「純正」方程的強調。⁵筆者認為所謂的「純正」方程，指的是在解題過程中，毋需用到「正負術」的方程，也就是在整個解題過程中所出現的數字皆為正，因此不必標其正負，這應該就是南秉吉名為「純正」的意涵。《九章算術》〈方程〉中的第1、2、7、9、10、11問皆為「純正」方程，南秉吉在注解中也都明白地指出。

其次，對「正負術」的注解。方程是「以御錯糅正負」，因此處理正、負數加減的「正負術」，自然是《九章算術》〈方程〉的主要核心之一，南秉吉亦在此下了很大的工夫。此外，對南秉吉「正負術」注解的分析，更是居研究南氏〈方程〉注解的關鍵地位，其原因有二：一是此注解的特殊性，在整卷的注解中，多是對解題程序的說明，也就是說明如何列數字、如何運算以求出答案，真正稱得上是在解釋算理的，獨有「正負術」的注解。二是透過對南秉吉「正負術」注解的分析，可以發現南氏在注解〈方程〉時，的確深受《數理精蘊》的影響。下表便是南氏對「正負術」的注解：

由上表中「夫正者多算，負者少算」一句可明白地看出，南秉吉以多、少來解釋正、負，而這正是《數理精蘊》〈借根方比例〉的用詞。⁷這種利用借根方的術語來解釋〈方程〉的情況，在南氏之著作中並非孤例，吾人可在其《無異解》中發現相同的情形：

……而正為多，負為少也，多少之全變，便是不變。故相消法之負從、負隅，為加減法之多根、多平方；至於實數歸之一行而為正者，分為兩邊則為負，〈方程篇〉所謂此多則彼少，彼多則此少是也。⁸

上面這一段文字是南秉吉在說明天元術之相消法與借根方之加減法無異時所寫的，其中「〈方程篇〉所謂此多則彼少，彼多則此少是也」正是指《數理精蘊》〈方程〉中的「蓋此多則彼少，彼少則此多也」，⁹類似的文字亦出現在南秉吉〈無異解序〉中：「〈方程篇〉所謂此正則彼負，彼正則此負是也」。¹⁰對照之下，我們可明顯地看出南秉吉將《數理精蘊》〈方程〉中的多、少理解成〈借根方比例〉中的多、少，但是，這樣子的理解非但不符合《數理精蘊》〈方程〉的原意，而且以此來解讀《數理精蘊》〈方程〉時，將會遇到無法自圓其說之處。¹¹不過這種障礙在《九章術解》中並未出現，因此，南秉吉在注解「正負術」，甚至是在解題時，皆大量使用了這樣子的說法。

此外，「正負術」中「同名相除，異名相益」只說明了如何作兩行數字的相減，並未說明何以這樣做是對的。而南秉吉在注中，不僅利用借根方的多、少來說明其所當然，更用來解釋其所以然：

以此行之多算減彼行之多算，則以此行之少算加彼行之多算，然後此行之實數適得減盡。蓋多算之減去也，已過實數，故以此之少加彼之多，以相報補也。若此行之少算值彼行之少算，則固當直減；而此行之多算值彼行之少算，則必加之，蓋少算之加，即實數之減也。

不過，從今日的角度來看，南氏對其所以然的解釋不但未切中要領，還有語焉不詳之憾。即便如此，南氏對其所以然的解釋，仍深具開創性的意義，因為無論是劉徽、戴震、李潢，或是《數理精蘊》、《算法統宗》、《同文算指》乃至《方程論》，皆未曾對其所以然作出解釋。¹²或許正是如此，南秉吉才特意在此作出解釋。

至於「正負術」的後半，「其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」，乃《數理精蘊》之所無，南秉吉亦簡單以「其法一切相反也」帶過。值得注意的是，南氏雖說「若值頭位異名，則必須實數相加，然後減去頭位」，¹³但在實際解方程時，南氏並未使用此法，詳情見下文。

在南秉吉解方程的過程中，第一個特色就是南氏是利用「互乘相消法」來解方程，而非《九章算術》的「直除法」，¹⁴且從南秉吉的注中，我們可明顯地看出他對「直除」的理解，是與戴震「古人文多省略」的看法一致，¹⁵而非劉徽的「令少行減多行，反覆相減」，不過，目前並沒有證據顯示南秉吉是受了戴震的影響。第二個特色，在於利用借根方的多、少來解釋題意。在前3問中，由於所列數字皆為正數，故南秉吉未對題意多作說明，然而從第4問起，當列數字出現負數時，南秉吉便會引入借根方的術語，以第5問為例：

今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾十秉。下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉實八升

下禾一秉實三升

術曰：如方程，置上禾六秉正，下禾十秉負，損實一斗八升正。次置上禾五秉負，下禾十五秉正，損實五升正，以正負術入之。¹⁶

且看南秉吉之注：

上禾六秉之實少下禾十秉之實，餘為一斗八升。下禾十五秉之實少上五秉之實，餘為五升。故正負交列也。……¹⁷

明顯地，南秉吉利用「借根方」的術語，使得題意更加貼近後來所列的數字，而且每個數字之正負也連帶地決定了，可說是一石二鳥之計。不過，此種方式難免會得到與《九章算術》術文不同的數字，例如第8問中，南秉吉所列第三行的數字就與《九章術解》正負相異。面對此互異之處，南氏只是輕描淡寫：「左行正負雖變置，而乘減則一也。」。¹⁸至於為何「乘減則一」，¹⁹則未作說明。

此外，前文中提及南秉吉並不使用「其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」，這在第5問的注解中便可一目了然。第5問由於頭位（或稱首位）異名，所以當用此法，這南秉吉不但在注「正負術」時說過，在第5問的注解中亦明白說：「當用異名相除例也。」然而，他卻緊接著說：

方程以首位為正，故次行正負悉變之。²⁰

「正負悉變」後，便不是用「異名相除例」，而是用「同名相除例」了。此種作法雖與南秉吉自己的說法矛盾，但卻是與《數理精蘊》的作法一致，²¹從此處，我們亦可以看出南秉吉深受《數理精蘊》之影響。

第三節 南秉吉注解的評價

從上一節的分析中可知，結合《數理精蘊》的方程與借根方，是南秉吉注解《九章算術》〈方程〉的最主要手法，²²而之所以採取這種手法，應是南氏認為這樣將能夠「使好學者庶其易曉」。²³不過南氏並非一味地遵從《數理精蘊》，最顯而易見的例子就是並未依《數理精蘊》方程的分類方式，²⁴而是只強調了「純正」方程。此外，南秉吉在「正負術」注中的獨創性工作，縱使水準不高，但足以顯現他並非只是個墨守成規的注解者而已。

不過，從南秉吉對「以正負術入之」此句的注解，我們可以看出南氏在注《九章算術》〈方程〉時並不十分嚴謹，因為南氏對此句注解，不但前後不一，還顯得莫名其妙。例如第12問與第14問中，術文分別是︰

   如方程，各置所借，以正負術入之。²⁵

如方程，各置所取，以正負術入之。²⁶

南氏亦依術文列出皆為正的數字，但對「以正負術入之」此句，南氏竟天外飛來一筆：「此乘減後，正變為負也」，²⁷並未如同其在第3問中作出正確的解釋︰

此始列純正，而加減之後變有負算，故以正負術入之。²⁸

會有如此大的差別，應是南秉吉並未仔細核算，而只單就術文字面之意，妄加解釋所致。因為若南秉吉做過核算的話，他將會發現乘減後便成了頭位異名，而依他的算法，原先正變為負那一行，就要「正負悉變之」，那不就又回到原來皆為正的情形了！由此，我們可以看出南秉吉在注解時，確有十分草率之處。類似的草率之舉，亦出現在第6問中，南秉吉該問中所列之數字，無論如何地「變置正負」，都不能與術文相符，但南氏仍說「乘減則一也」。

總而言之，南秉吉之注《九章算術》〈方程〉，雖稱不上經典之作，但也還有其可取之處，而且南氏亦在其注解中反映了朝鮮當時的算學研究受《數理精蘊》影響這一現象，而更細緻的歷史圖象，則仍有待更多的研究去還原。

註解：

1. 郭書春推崇方程術為《九章算術》最高的數學成就，參閱郭書春 (1995) .《古代世界數學泰斗—劉徽》( 台北︰明文書局 )，頁38~51。

2. 引清•梅文鼎，《方程論》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷四》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁325。

3. 同上。

4. 同上。

5. 「純正」一詞並非是《九章算術》或《數理精蘊》之用詞，有可能為南秉吉所創。

    6. 引南秉吉，《九章術解》，收入金容雲編《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》( 漢城︰驪江出版社，1985 )，頁458~459。

7. 參閱清•康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷三》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁940~964。南秉吉在所著《無異解》中亦明確寫出「正為多，負為少也」，見南秉吉 (1855)，《無異解》，收入金容雲編《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》( 漢城︰驪江出版社，1985 )，頁203。

8. 引南秉吉 (1855) .《無異解》，收入金容雲編《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》( 漢城︰驪江出版社，1985 )，頁203。

9. 引清•康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷三》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁397。

10. 引南秉吉 (1855) .〈無異解序〉，收入金容雲編《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》( 漢城︰驪江出版社，1985 )，頁193~194。

11. 無法自圓其說之處在此段文字：「其始也，任以首色為正，互乘眾色，與首色同類者皆正也，與首色異類者皆負也。其繼也以互乘所得之數，視正負之同異而加減之。然加減之餘，又有正變為負、負變為正者，總之因彼此而分正負，由多少而成虛實。互乘之後，任以一層為主，凡異號相加者，悉依本層，其號皆不變也。若同號相減者，本層多，其號亦不變；本層少，反減者，則正變為負，負變為正，蓋此多則彼少，彼少則此多也。」筆者在此必須說明一點，從南秉吉《九章術解》、《無異解》與《算學正義》三本著作中，並無法得知南氏是否曾意識到此一不圓滿之處。

12. 《算法統宗》為明朝程大位所著，《同文算指》由西洋傳教士與明朝李之藻合著，這兩本書在南秉吉之前已傳入朝鮮，不過筆者並不確定南氏是否讀過。《方程論》為清朝梅文鼎所作，《數理精蘊》〈方程〉深受此書之影響，不過，此書是否有傳進朝鮮、南秉吉是否見過，仍有待考。

13. 參閱南秉吉，《九章術解》，收入金容雲編《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》( 漢城︰驪江出版社，1985 )，頁459。

14. 所謂「互乘相消法」與「直除法」，請參閱郭書春譯注(1998).《九章算術》( 瀋陽︰遼寧教育出版社)，頁403、414~415。

15. 參閱《九章算術》文淵閣版與武英殿聚珍版之戴震注。

16. 引同上，頁460~461。

17. 同上，頁461。。

18. 同上，頁464。

19. 「乘減則一」應是南氏自創之語。

20. 引清•梅文鼎，《方程論》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷四》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁461。

21. 《數理精蘊》〈方程〉中皆以「首色為正」，而在「較數類」的第8問中，在消掉首色之後，便出現首位異名的情形，《數理精蘊》便謂：「重列二色之際，不能一體，須俱變其號，然後為順。」。參閱清•康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷三》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁418。

22. 雖然筆者說南氏結合了《數理精蘊》的方程與借根方，但筆者並不確定南氏是否能夠清楚地區分這兩者的不同，例如在《無異解》中，南氏是引《數理精蘊》〈方程〉來解釋借根方（見本章第三節），但從今日的眼光看來，卻是南氏以借根方理解《數理精蘊》〈方程〉在先，而後再反過來用〈方程〉解釋借根方。

23. 雖然南秉吉於〈九章術解跋〉中表示此書「未敢為覺後覺而使好學者庶其易曉」，不過「未敢」二字只是謙遜之詞，希冀《九章術解》一書能夠「使好學者庶其易曉」才是南氏著書之目的。

24. 《數理精蘊》利用和、較將方程分為和數類、較數類、和較兼用類、和較交變類。參閱清•康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙•數學卷三》( 鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁396。

25. 引南秉吉，引南秉吉，《九章術解》，收入金容雲編《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》( 漢城︰驪江出版社，1985 )，頁466。

26. 同上，頁469。

27. 同上。

28. 同上，頁457。