系列之三：巴比倫代數舉隅及其『張本例』(generic
example)的特性
中原大學數研所碩士生
英家銘
先看一個記載於巴比倫泥板上的題目：（考量到忠於原味，以下的數字我們使用六十進位法的格式。為了不致混淆，我們用『,』來區隔不同的位置，而用『;』來表示他們沒有的小數點。例如，(2,3)表示
，而(4;5)則表示
。）
例一
若一個正方形的面積減去它的邊長，我們得到(14,30)，求邊長。
解法：取(1)，將它折半，得(0;30)；將(0;30)乘(0;30)，得(0;15)；將(14,30)加上(0;15)，得(14,30;15)，此數為(29;30)的平方。現在將(29;30)加上(0;30)，得(30)，此即為正方形之邊長。
這個題目等價於解方程式：
。
所以，處在21世紀的我們，會用我們熟知的方程式解法求出答案，而對於巴比倫人的做法，乍看之下應該難以了解。事實上，這個例題是某一類問題不斷一般化的其中一個環節，我們現在從這個脈絡的開頭來看起。
巴比倫人從未使用與我們現代相同的代數思考模式，但他們的算術方法可以解決許多非常困難的問題。在公元前2000年之前，巴比倫人已經發展出許多系統性的方法，來解決等價於二次方程式的問題，一部分三次和四次方程式也被解決。在此同時，他們可能也已經知道如何解出等價於線性方程組的問題。上面的問題，就是其中一個可化為二次方程式的問題。這種問題最簡單的形式是這樣的：（以下我們使用現代代數符號來說明他們的方法）
例二
找出兩個數，他們的和為14，積為45。
解法：兩個和為14的數一定可以寫成7 + a和7 - a的形式。所以
故兩數為9與5。
使用上面的方法，巴比倫人可以解出等價於二次方程式的問題。
例三
解
。
解法：此方程式可化為
。
令
。
則我們必須找出x與y使得
且
。
令
，
，
則
故
現在我們把例一的解法用現代符號逐行對照，這樣就可以看出巴比倫人是如何解出這個問題。
巴比倫解法 現代符號
取(1)，
令
，則
且
.
將它折半，得(0;30)；
令
，
.
將(0;30)乘(0;30)，得(0;15)；
.
.
將(14,30)加上(0;15)，得(14,30;15)，
.
此數為(29;30)的平方。
.
現在將(29;30)加上(0;30)，得(30)，
.
此即為正方形之邊長。
.
例一中
的係數為1，但他們也能解
的係數不為1的方程式。
例四
解
解法：將方程式兩邊同乘以7，可得
。
令
，
則方程式轉換為
。
使用前面例子的方法我們可解出
，所以
。
綜上所述，我們知道巴比倫人能解決等價於方程式
的問題，其中a與c必須為正。他們將此方程式化簡為「標準型」
，
其中q為正。他們解標準型的方法用公式表示，可以寫成
，
他們只找了一個解，因為他們的觀念中並無負數。最後，
。
從上面的幾個例子看來，巴比倫人由例二的方法出發，去解決例一與例三這一類的問題，再將這種方法推廣到例四這樣比較一般的問題。事實上，這不是巧合，在其他許多泥板上，我們發現許多用同樣方法解決的問題，此外，經整理過後也發現另外一些類似的題組，把一些較簡單的方法推廣到一般的問題上。還有，許多題目在開始解之前會寫一句「你遵照這個方法」（英譯You follow this method），在結束時還會寫「以上即為解題過程」（英譯Such is the procedur.）。以上種種都顯示，這些問題是要示範一些解題的一般方法。
所謂的「張本例」，就是以一個特殊的例子來說明一般的方法。John Mason與David Pimm說：「張本例固然是一個真實的例子，但是它卻以被刻意要求成為『承載一般性』的角色來呈現。」雖然巴比倫人沒有與我們相仿的代數系統與方程式論，但他們在數學上的成就絕不止於解決實際生活中所遇到單獨的特例。由上面的例子中，我們可以相信，他們知道某一些題目可以用相同的方法來解決，而且用實際的問題來說明這些一般的方法，從這個角度來看，我們也可以說他們是使用了數學史與數學教育中頗為常見的張本例。
參考資料
洪萬生 (2002).〈中算史中的『張本例』(generic example)〉，《HPM通訊》5卷12期，頁1-3。
Bunt, L.N.H., Jones, P.S., Bedient, J.D. (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. Englewood, Cliffs, N.J.：Prentice-Hall.
Eves, H. (1975). An Introduction to the History of Mathematics, (4th ed). New York：Holt, Rinehart and Winston.