再談無窮

高雄師大數學研究所畢業生  胡凱華

在《HPM通訊》第五卷第十一期發表的〈無窮 VS. 教學123〉一文中，黃茄峰運用了希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）的『無窮旅社』比喻，來介紹無窮這個抽象觀念。本篇將回應黃老師的文章，並對『無窮旅社』這個有趣的問題，做進一步的介紹。

    首先，將原問題敘述如下：有一間無限旅館，這個旅館有無限多個房間，每個房間都依自然數的順序由小到大編號，而且每個房間只可以住一個人，老闆可以要求原來的房客換房間，但是必須要明確的告訴原房客換到幾號房（房間號碼可用次方與四則運算表示）。目前旅館的狀態是客滿，也就是每個房間都住了一個人，當發生下列情形時，聰明的老闆是如何安排旅客的房間，各位讀者在看文章的同時，不妨也想一想如果你是老闆的話，該如何來處理呢？

情形一：旅館外面來了1個人要住宿？

老闆請1號房的人搬到2號房，2號房的人搬到3號房，依此規則n號房的人搬到n+1號房，新來的那個人住進一號房，這樣每個人都有房間住了。

情形二：旅館外面來了10個人要住宿？

有了剛剛的經驗，老闆請n號房的搬到n+10號，這樣1~10號房就空出來給新來的10個人住。

至此我們可以知道只要是有限個人來，都可以依樣畫葫蘆的處理，但是馬上又有新的狀況發生了。

情形三：旅館外面來了一個旅行團要住宿，這個旅行團有無限多個人，每個人都有依序編號，老闆必須要明確的指出第幾號的人住第幾間？

老闆想了想，就把全部的人先請出房間，然後請原來1號房的人搬到2號房，2號房的人搬到4號房，依此規則n號房的人搬到2n號房，這樣所有的單數號房都空出來了，接著就請旅行團第m號的人住進第2m-1號房，這樣所有的人也都有房間住了。

情形四：旅館外面又來了一個有無限多個人的旅行團，但是老闆覺得要大家一直換房間很不好意思，所以就決定想一個辦法，只要百分之一的人更換房間就好。

首先老闆將房間號碼為100倍數的房客都請出來，然後請第100號房的搬到200號房，200號房的搬到400號房，依此規則100n號房的人搬到200n號房，而旅行團第m號的人就住進100（2m-1）號房。

啊哈，又解決了一道難題！

情形五：這時旅館外面人聲鼎沸，老闆一看，哇哇哇，來了無限多個旅行團，每個旅行團有無限多個人，旅行團跟人也都有依序編號，這些人全部都要住宿，這下該怎麼辦？

老闆想一想，搬出數千年前老祖宗就已經知道的知識：質數有無限多個，利用質數的性質，這問題就迎刃而解了。首先將原有的房客都請出來，住1號房的的改到2¹號房，n號房的改到2ⁿ號房，這樣原本的房客就都有地方住了，然後再安排第一個旅行團的第1個人住到3¹號房，第2個人住到3²號房，第m個人住到3^m號房，依此方法，第x個旅行團的第y個人安排到第x+1個質數的y次方號房，因為質數有無限多個，而且次方彼此都不會重複，所以這問題又解決了，但是不久之後有人來抗議了，代表發言的是是第9999個旅行團的9999號，他跟老闆說：我要住第10000個質數的9999次方號房，但是第10000個質數是多少阿？老闆聽了也楞一下，糟糕了，這樣下去一定會亂七八糟，趕快換個新方法，他先將自然數中10的倍數去掉，剩下的數字由小到大排列，第n個數字以A_n表示，例如A₁=1、A₂=2...A₁₀=11、A₉₀=99，然後請原來住1號房的人還是住1號房，2號房的改到10號房，3號房的改到100號房，n號房的改到10^n-1號房，接著再安排第一個旅行團的第1個人住到A₂號房，第2個人住到A₂ × 10號房，第m個人住到A₂ ×10^m-1號房，依此方法，第x個旅行團的第y個人安排到A_（x+1）×10^y-1號房，這樣大家也都有房間住了，而且絕對不會有重複的情形。

藉由以上的小故事，相信你一定對無窮這個抽象的概念，有進一步的認識了。希爾伯特曾經說過：『無窮！再沒有其它的問題如此深刻地打動過人類的心靈。』而在一九００年巴黎國際數學家代表大會，希爾伯特所提出的二十三個重要的數學問題中，第一個問題就是關於集合論的連續統假設(註)，由此可見，無窮觀念在數學的發展上有其重要的地位。

如果我們用一般的直觀的想法來思考無窮的問題，那麼，這些問題將會變得不可思議。試想分佈在數線上的自然數，它雖然有無限多個，但是在數線上的分佈卻是零零散散的，再想想數線上的有理數是那樣密密麻麻的佈在數線上， 但是集合論的創始者康托（Georg Cantor, 1845-1918）卻證明了有理數是可數的，也就是有理數跟自然數可以作一對一對應。接著，誕生了偉大的定理：『連續統是不可數的』，之後，他輕易地獲知：『（0,1）區間中的點，可以跟整條數線上的點作一對一對應』，並且在1877年他證明了（0,1）區間中的點，可以跟由（0,0）、（1,0）、（1,1）、（0,1）四點圍成正方形中的所有點作一對一對應。

事實上，一個無限集合可以定義為：一個能跟本身的真子集合（proper subset），有一對一對應關係的集合。以上的情形在直觀上似乎有違常理，但是當您踏入無限的國度，它卻是那樣的自然且真實。

註：連續統（continuum）是指實數的一個區間，如（a,b）＝所有實數x的集合，使得

a＜x＜b。1874年，康托猜測在可數集基數和實數基數之間沒有別的基數，即著名的『連續統假設』(continuum hypothesis)。

參考資料

William Dunham (1995).《天才之旅》，台北：牛頓出版社。

黃茄峰 (2002).〈無窮 VS. 教學123〉，《HPM通訊》第五卷第十一期。

葛登能 (2001).《跳出思路的陷阱》，台北：天下文化。

張錦文、王雪生著 (1993).《世界數學名題欣賞叢書(4)：連續統假設》，台北：九章出版社。

蘇惠玉 (2002).〈從一個問題說起：無窮〉，《HPM通訊》第五卷第一期。