哥廷根學派的領導人－Felix
Klein
三重高中 顏志成老師
Felix Klein不僅在數學上成就輝煌，並且是一位出色的領導者。他領導哥廷根學派，使其成為二十世紀初期世界數學的重心。為了促進應用數學的發展，他創辦哥廷根協會。他並且關懷數學教育品質，努力於數學教育的改革活動。
1849年Klein出生於萊茵河畔的Dusseldorf，青少年時代正是德國的資本主義經濟迅束發展的時期，以普魯士為中心的德意志帝國已經形成，經濟實力也趕上了英國和法國。他畢業於Dusseldorf的古文中學（Gymnasium），1865到1866年期間他在Bonn大學攻讀數學和物理學，1868年拿到了博士學位。為了進一步學習，他分別在哥廷根、柏林及巴黎等地遊學好幾個月，直到1870年普法戰爭，他被迫離開巴黎回到德國。1871年初他得到了哥廷根大學的不支費講師（Privatdozent）職位，1872年他任職Erlangen大學的正教授職位，1875年他又轉往Munich工藝高等學校（Technisch Hochschule）任教，1880到1885年期間則在Leipzig大學擔任幾何學教授，1885年之後，一直到去世都待在哥廷根。1913年因為健康因素就退休了，1925年過世。1875年8月他和著名的德國哲學家Anne Hegel的孫女兒結婚，並且育有一男三女。（Gillispie et al eds, 1981, p. 386）
嚴格的數學和物理學訓練
在進入Bonn大學的第二年，便成了幾何學家同時也是物理學家Julius Plücker（1801-68）的助手，plücker在1846年便提出了“線幾何”（Line Geometry）的概念，由此給出射影幾何的對偶性質一個邏輯基礎。然而因為Plucker是利用解析的方法來研究幾何學，為了避免與當時極負盛名的綜合幾何學家Jacob Steiner（1796-1863）發生衝突，就全心轉移到物理學的研究，直到Steiner過世之後，Plucker才再回到幾何學的研究上。Klein在1865年進入Bonn大學的第一學期，修了比較多的數學課，而從第二學期開始，增加自然科學的選修課程。1865到1869年期間更是熱衷參加自然科學討論班（seminar），1如物理學、化學、礦物學、動物和植物學，並且在這些討論班都有傑出的表現。例如在物理學討論班上，他就曾經發表過有關磁力線方面的論文，Pludker也曾經誇獎他不僅在數學物理而且在實驗物理學上也具有天份。1867年的第一學期過了之後，Klein決定離開自然科學討論班，想要再多學一點數學之後再回到物理學研究，所以他後來全心參加由Plücker和Rudolph Lipschitz合開的數學討論班。然而想要回到物理學研究的想法，並沒有馬上實現，對數學的強烈興趣使他成為一位偉大的數學家，但也由於他在求學時代受過自然學科的嚴格訓練，使他後來不僅只做純數學研究，在應用數學方面亦有貢獻，並且匯入哥廷根的數學物理傳統，自成哥廷根學派，使得哥廷根在二十世紀初期成為世界數學重心。（Rowe, 1989a, pp. 210-211）
在Plücker的指導下，Klein做的是有關於“線幾何”的論文，而在Klein未完成博士論文之時，Plücker就去世了。剛剛從Gissen來到哥廷根的Alfred Clebsch（1833-70）便請Klein跟他一起做研究，年僅35歲的Clebsch（1833-70）便成為Klein整理Plücker生前未完成有關“線幾何”的工作，並且在這段期間Klein吸收了Clebsch在幾何不變式和幾何函數理論方面的知識。（Aspray & Kitcher, 1988, pp. 146-147）
游學時期
1869年冬天，Klein離開哥廷根前往Berlin。當時的柏林大學由於有Karl Weierstrass（1815-97）、Ernst Eduard Kummer（1810-93）、Leopold Kronecker（1823-91）等數學家，所以在數學研究方面特別顯得興旺。在Berlin，Klein和挪威來的Sophus Lie（1842-99）相識，兩個人很快成為好朋友。在這段期間，兩個人同時活躍於Kummer的討論班，他們並且天天見面，交換彼此的研究心得。Klein還聽了Kronecker關於二次形理論的課，研究數論。此外，他也和Weierstrass相交往，討論函數論的問題，還寫了複變函數理論方面論著。這段期間他也從他的朋友Stolz（1842-1905）學得非歐幾何的知識。在參加Weierstrass的討論班上，他也做了關於Arthur Cayley（1821-1895）二次絕對形（absolutes）決定射影距離的報告。在這次報告裡Klein向Weierstrass提到非歐幾何具有射影性質的可能性，Weierstrass認為這兩者根本上是不同的領域，不可能有關係。但是事實上，二年後Klein便提出了肯定的答案：非歐幾何是射影幾何的一部份。後來Klein在寫《十九世紀數學發展史》，便自覺認為他和Weierstrass在數學研究的心理類型上並不同，他提到“Weierstrass的天賦使得他傾向於謹慎小心的研究，一步一步地建築通往高峰的道路，在本質上他很少清楚地眺望遠處眾山峰的輪廓”，這也使得Weierstrass忽略了這個問題。（Klein, 1928, p. 140）
1870年初，在Clebsch的鼓勵下，Klein和Lie一齊到法國巴黎跟Camille Jordan學習群論。Jordan在群論上的造詣甚高，他是第一位將Galois理論整理得最清楚的數學家，並且出版了巨著《置換群理論》（Traite des substitutions），Klein和Lie從Jordan那裡得到不少的啟發。這期間也經常與Darboux（1842-1917）討論微分幾何的知識，不久因為發生普法戰爭（1870-1871），Klein馬上回國，投入戰爭的行列，而Lie則繼續留下來，不幸因為間諜嫌疑的罪名入獄，後由於Gaston Darboux全力的營救下，才獲得釋放，之後，Lie便回到挪威了。（Yaglom, 1988, p.24）
幾何學上的成就
戰爭結束之後，Klein在1871年1月獲得了哥廷根大學的不支費講師資格，同年夏天Stolz也在Göttingen擔任講師，Klein便和Otto Stolz繼續地討論Lobachesky和Bolyai在非歐幾何上的作品。8月份，他在Mathematische Annalen發表了非歐幾何是射影幾何一部份的具體研究成果，他推廣Cayley利用絕對形來定義歐氏幾何空間的角和點間距離，來肯定歐氏幾何具有射影性質的方法，把非歐幾何在橢圓、雙曲線、拋物線等幾何學的名目下統一起來。Klein稱Lobachesky的幾何為雙曲幾何，稱Georg Friedrich Bernhard Riemann在正的常曲率曲面上的幾何為橢圓幾何，而稱歐氏幾何為拋物幾何。在這篇論文裡，Klein也提供了一個完整的雙曲幾何模型，在二維的情況，Klein的非歐幾何模型是普通歐氏平面上一個圓的內部，其中非歐幾何的點是圓的內點，非歐幾何的直線是圓的弦（不包括處於圓周上的點），所以整個非歐幾何平面是圓的內部，Klein並且利用Cayley的射影度量概念定義了角度和點間距離，圓內的點、弦、角及其他圖形，滿足雙曲幾何的公設。並且對應於平面上的雙曲幾何的每個定理都是圓內歐氏幾何的事實，若雙曲幾何的公設有矛盾，那麼歐氏幾何本身也會有矛盾，所以Klein的雙曲幾何模型解決了非歐幾何創建以來，公設的一致性（consistency）問題。
在Klein二十歲剛過的這段時期是成果累累的時期，除了在非歐何的成就外，陸續還有和Lie發現著名的Kummer曲面的漸近線性質（1870）、微分方程式這一領域的研究（1871）、關於剛體力學和線幾何關係的研究（1871）、關於線幾何學基本定理的研究（1872）、關於拓樸學的研究等等，所以這段時期幾何學成為他的主要研究對。德國幾何學家Clebsch、Plücker，還有Möbius、Steiner、Von Staudt在1867-1872年間相繼去世，Klein在年僅二十三歲儼然已成了德國幾何學家發展的接棒人。
發表“Erlanger
Programm”
1872年， 在Clebsch的幫助下，Klein年僅二十三歲的年紀便成為Erlangen大學的正教授。依照Erlangen大學的規定，每一位新進的教授除了就職演說外，還要出刊一份綱領，Klein便提出了著名的Erlanger Programm。在綱領中他揭示群論在幾何學研究的重要性，並且用群的概念將當時幾何學各分枝統一起來，一種幾何學和一種群相對應，所謂的幾何學就是探索在所對應的群的變換下，圖形性質不變的理論。同一年，Clebsch突然間因患白喉病而去世，Klein立即接下由Clebsch所創刊的Mathematische Annalen的編輯工作。
函數論的成就
在Erlangen大學三年之後、他和Alexander von Brill一道繼Ludwig Otto Hesse之後，成了Münisch工藝高等學校的數學教授。這時期和在Leipzig時代（1880-1886），Klein不但在幾何學方面繼續發展，函數論也成了他的主要研究對象，其中最主要是橢圓模函數（elliptic modular function）和自守函數（automorphic function）。（Gillispie et al eds, 1981, p. 396）
他和Fricke在橢圓模函數方面作了一系列的研究，從模函數理論，Klein進一步研究新的數學領域，也就是自守函數的研究。而在這同時，比Klein年輕5歲的法國數學家Poincaré也從不同的方向研究自守函數，1881-1882年間，Klein和Poincare兩人彼此在自守函數的研究上競賽。Klein由於過度的勞累，健康情況受到嚴重的影響，導致在往後的幾年無法再從事原創性的研究活動，一直到1884年秋天，健康情況才好轉，但是以後Klein在數學研究的原創性研究，卻把重心移到了研究制度、應用數學和數學教育方面，確實地發揮他領導組織的能力。
一段令人玩味的插曲
在離開Leipzig轉往哥廷根任教之前，Klein和美國Johns Hopkins大學之間的一段故事是頗令人玩味的。Johns Hopkins大學在1876年成立之初，即延聘英國代數學家James Joseph Sylvester（1814-1897）來領導大學的數學研究。Sylvester不但帶動Johns Hopkins大學的數學研究氣氛，並且在1878年創辦American Journal of Mathematics，確實地帶動了美國的數學研究（Duren et al, 1989, pp. 3-10）。1883年秋天，當Sylvester想要辭去這個職位回到英國去，大學董事會唯恐這所新大學在數學研究上失去原動力，有意延攬Klein來領導大學的數學研究。Johns Hopkins大學的研究環境良好，並且是一所新大學，對Klein而言，是足以讓他發抱負，一展長才的地方。但是由於Klein的健康當時尚未完全康復，並且他從Cayley那邊得知Sylvester在Johns Hopkins的年薪是6000圓，然而Johns Hopkins給Klein是5000圓，所以Klein在回覆Johns Hopkins的信中提出兩個條件：第一是大學能給他和他的家庭經濟保障（退休金和撫卹金），第二是年薪6000圓。Johns Hopkins對於Klein的條件並不能完全同意，關於第一點，他們只給Klein像一般美國公民一樣有保險的權利，而第二點，他們表示年薪5000圓是教授級中最高的薪水，Sylvester有6000圓，主要是因為某些原因，但是他們還是非常希望Klein能到這所大學來。Klein堅持自己原先的決定，既然他們無法允諾這兩個條件他就不再考慮到Johns Hopkins大學去了（Reid, 1978, pp. 21-23）。從Klein後來成功地領導哥廷根學派的數學研究來看，Johns Hopkins大學未能延攬到Klein來繼續Sylvester的事業，確實是一大損失。
領導哥廷根學派
1885年Klein來到具有Causs、Dirichlet、Riemann數學傳統的哥廷根大學。自Gauss以來，哥廷根的數學研究便兼重純數學和應用數學的發展、這跟Berlin大學只注重純數學理論的研究是不同的。1892年Schwartz離開哥廷根到柏林大學繼承Weierstrass的職位後，Klein開始領導哥廷根的數學研究，從1892年開始在Klein的領導下哥廷根大學的數學、物理學教育制度、教育計劃進行了很大的改革，1895年他從Konigsberg請來當時已頗具盛名的Hilbert來繼承Heinrich Weber的職位。1902年他向當時的教育部長Altoff提議增設一個數學教授席位，請來Hilbert的朋友、數論大師Minkowski來擔任數學教授。
Klein、Hilbert和Minkowski三人的數學成就吸引了許多外國留學生到哥廷根來學習數學，至此哥廷根已經成為了世界數學中心，並且在數學研究的水準上超越了柏林學派。1900年在哥廷根留學的日本數學家便提到：“為這裡和柏林的完全不同而感到吃驚，這裡是來自世界各國的少壯派集合。實際上這裏是數學世界中心”。由於哥廷根大學的聲名遠播也吸引了不少的科學家來到哥廷根，值得一提的是著名的物理學家Max Born（1882-1970），他是哥廷根大學物理研究所的領導人，並且也是諾貝獎得主。他領導哥廷根理論物理學派，並且培植了量子力學創始者Werner Heisenberg（1901-1976），還有後來指導原子彈計劃的美國物理學家J. Robert Oppenheimer（1904-1976）。（Yaglom, 1988, p.135）
編輯《數學科學百科全書》
1890年代，Klein特別有興趣於數學物理和電子工程，而他在這一方面的成果之一，便是與他的學生A. Sommerfeld一齊合編了一本有關迴轉器理論的教科書。1895年積極參與《數學科學百科全書》的編輯工作，他並且和K. Muler編輯了四卷有關力學的部分。從1902年開始、參加《現代文化》的編輯工作，八年之間和他的學生W. V. Dyck一齊共同負擔其中的數學部分。此外他更著手於Gauss遺稿的刊行工作。
桃李滿天下
Klein不僅是一位偉大的數學家，還是一位優秀的數學教育家。1872年11月Clebsch死後，他的學生轉移到Erlangen大學來跟Klein一齊做研究，這些學生包括Axel Harnack和Feldinand Lindemann (1852-1939)。Harnack後來證明了勢論（potential theory）上一個著名的定理，Lindemann後來給了π是超越數的第一個證明。在Leipzig時代，很多美國學生來聽Klein講課，並且參加Klein的討論班，其中包括F. N. Cole和H. B. Fine。Cole後來為Columbia大學教授，從1896到1920年間一直是美國數學學會的秘書。而Fine後來領導普林斯敦成世界數學重心之一，在哥廷根時代，1892年之前就已經吸引了大批的美國留學生來到哥廷根，包括M. Bôcher、H. S. White、E. B. Van、M. W. Haskell、H. D. Thompson，其中前三位後來成為美國數學學會的主席（Aspray & Kitcher, 1988, p.136），所以Klein對美國的數學研究發展上，應該也有他的影響力存在。2
重視數學教學法
Klein能夠吸引那麼多的學生來跟他一齊做研究，除了他的聲名遠播之外，另一方面是因為他上課的方式是很有魅力的。他習慣在上課時間的一個小時之前先到課堂上，將他原本準備好的講義重新看過一遍，在自己的心中再整理一遍，等到上課的時候，他有條不紊的將數學式子和圖形列在黑板上，因此上完課之後，整個黑板所呈現的是完美的數學結構。對於上課的主題，他會介紹給學生很多可供參考的資料，他教學的原則是讓學生自己去證明定理，他只提示一些方法，並且認為要學好課程的話，在課堂上一小時，在課堂外就需要花四小時來研讀（Reid, 1986, p. 48）。此外，他講課擅長於綜觀全局，“他能在絕然不同的問題中，洞察到統一的思想，並有一種集中必要的材料來闡明其統一見解的藝術。”（Reid, 1986, p. 48）。而他的學生R. Fricke在他70歲生日的紀念文上，也同樣提到他的講義組織嚴謹、確實、清晰和優美，並且以統合的精神為基調來介紹數學知識的方法，是非常受學生歡迎的。事實上，Klein認為討論班可以刺激學術研究，討論班的主要課題，通常是他正從事研究的問題。在討論班上，他那豐富而多采的思想以及處理問題的方法完整的傳給了學生。
促進應用數學的發展
十九世紀下半葉德國的工商業迅速發展。1875年Klein到慕尼黑工藝高學校之後，開始了解到自然科學和工商對對數學的需要，體會到發展應用數學的重要性。在對未來教師的講課中，就曾經包括畫法幾何學、統計學、力學等。此外，1880年在Leipzig大學的就職演說中，也強調應用數學的重要性。在哥廷根時期，Klein和一些自然科學，以及工業界人士同創立哥廷根協會來發展應用科學。這個協會在哥廷根創立了許多一流的研究所，使得這個組織成為德國在二十世紀初期的主要科學研究中心，Klein對於應用數學的關心，往後在他發起的數學教育改革運動中進一步表現出來。
改革中學數學教育
1892年開始，兩年一次在哥廷根召開的教師自然科學講習班，也包括數學在內。1895年，數理科學教育促進會的年會在Klein的建議下，在哥廷根召開。Klein以深入淺出的方法，為其講授古希臘幾何三大問題，1898年成立哥廷根協會之後，在這裏加講習班的教師們接觸到工業技術的尖端，協會並向他們提供應用數學和物理學教育和研究的方法。同一年，也在Klein的建議下，更新了中等學校教職考核測驗規定，應用數學從純粹數學脫離而獨立出，從此應用數學在大學教材裏乃占據著鞏固的地位。1900年之後，Klein意識到數學教育改革，除了力強師資的培育工作之外，中學數學課程的改革也是相當重要的一環。1900年在學校會議（Schulkonferenz）上，由於Klein的主張，強調了應用數學的重要性，並要中等學校講授微積分和解析幾何。1904年Klein在哥廷根對參加講習班的中學教師的演講中，更主張函數概念必須成為數學教學的中心，以後更成為“函數的思考方法”這樣的一種口號而廣泛的傳播開來。同一年，自然科學家會議在Breslau召開，由於在Klein的提議下，決定成立數理教育委員會，並且委託包括Klein在內的十二人，寫下在翌年1905年Meran會議上公布的中學數學課程大綱。它的主要精神是：
（1）教材的選擇、排列，應適應於學生心理的自然發展。
（2）融合數學的各分科，密切與其他各學科的關係。
（3）不忽略邏輯訓練，實用方面也應置為重點，以便充分發展學生對自然界和人類社會諸現，能夠進行數學觀察的能力。
（4）為達到此等目的，應養成函數思想和空問觀察的能力，作為數學教授的基礎。
為了連繫初等數學課程和高等數學之間的關係，1908年Klein出版了他的數學教育名著《從高觀點看初等數學》（Elementary Mathematics from an advanced standpoint），內容中包括了他的數學教育思想。
第一任ICMI的主席
這些成就使得Klein不僅成為數學界的權威，在數學教育領域內也是成就非凡，事實上Klein在數學教育界的影響已經從德國延伸到國際了，1908年第四屆國際數學家大會在羅馬舉行，會上正式通過一項提案，決定成立國際數學教育委員會（ICMI），第一任主席就是Klein。從1908到1914年中，在Klein領導下的ICMI做了大量的工作，這六年累積的各國數學教育情報告、以及在會議上的專題報告，乃是極為寶貴的數學教育史資料，至今仍不失其重要價值。（張，1990，p. 52）
非凡的行政管理能力
從Klein領導哥廷根大學的數學發展，以至哥廷根協會的成立，到後來的數學教育改革運動，都獲極大的成就，我們不免對於這位偉大人物的個性感到興趣。Hiblert傳的作者C. Reid便描寫Klein是一位不苟言笑、嚴肅的人，據說他一學期只開一次玩笑。他的權威性，使得學生用“the great Felix”、 “the divine Felix”之類的語彙來稱呼他（Reid, 1986, p. 46）。他的接棒人R. Courant認為他有超乎一般人的能力，主要是因為他不為私利地往既定的目標前進，並且他個性正直，從不虛榮和自命不凡，所以後來都會有新的追隨者，他的夥伴也很願意跟他一齊工作（Reid, 1986, p. 325）。事實上，Klein在哥廷根哲學院並沒有正式的行政管理的權利，但是他的同事都很願意配合他的決定。Hermann Weyl（1875-1955）曾經寫道：Klein像一位上帝般地統治哥廷根，他如神般的權利主要來自於他的個性，他對工作的熱心奉獻以及做好事情的能力（Reid, 1986, p. 307）。Klein領導能力的表現，值得一提的是延攬人才方面，1904年國際數學家會議在德國Heidelbelrg舉行，Klein在聽了當時尚未知名的德國工師Ludwig Prandtl（1875-1953）做了有關熱傳導論文的專題報告之後，印象非常深刻。1905年應用數學研究所成立之後，立即延攬Prandtl領導應用數學研究所，後來這個研究所在Prandtl的領導下成為國際知名的力學中心。（Yaglom, 1988, pp. 135-136）
晚年的榮耀
晚年的Klein在科學上獲得極高的榮耀，1913年他被選為德國科學院的院士。並且獲得“Herr Geheimrat”的頭銜，這是像英國科學家獲得“sir”稱號一樣的尊貴。
註解
1.
柏林大學於1810年設立，首創「討論班」制度。一般教授在「討論班」可提供討論主題，但不得預作假定之結論。學生討論時，每有正反兩種不同意見時，凡能列舉事實，充分說明理由時，始可視為正確之結論。
2.
關於Klein對美國早期數學研究發展的影響，可參考Karen
Hunger Parshall和David E. Row所合寫的：“American Mathematics Comes of Age: 1875-1900 ”（Duren,
1989, pp. 3-28）
參考資料
張奠宙 等著（1990），《近代數學教育史話》，北京：人民教育出版社。
顏志成（1993），《Felix Klein的數學教育思想》，台師大數學所碩士論文。
Aspray, William & Philip Kitcher (eds.) 1989,《History and Philosophy of Modern Mathematics》, Minneapolis: The University of Minnesota Press.
Duren, Peter et al (eds.) 1989,《A century of mathematics in America Volume III》, America mathematical Society.
Gillispie, Charles Coulston et al (eds.) 1981, 《Dictionary of Scientific Biography》, Vol. 7, 396-400, New York: Charles Scriber’s Sons.
Klein, F. 1928,《Development of Mathematics in the 19th Century》,（英譯自1928年德文版），凡異出版社翻印。
Reid, Constance. 1978, “The Road Not Taken: A Footnote in the History of Mathematics”, The Mathematical Intelligencer, Vol. 1, pp. 21-23.
Reid, Constance. 1986,《Hilbert-Courant》, New York: Springer-Verlag.
Rowe, D. (ed.) 1989a,《The History of Modern Mathematics Volume I: Ideas and their Receptions》, San Diego: Academic Press, Inc.
Yaglom, I.M. 1988,《Felix Klein and Sophus Lie: Evolution of the Idea of Symmetry in the Nineteenth Century 》, Birkhauser. （Translated from the Russian by S. Sossinsky.）