閱讀文章感想

《數學傳播》第2卷第3期：〈啟發式教學〉－李國偉譯

《數學傳播》第2卷第4期：〈坡里雅教授的一封信〉－張漢珍譯

                                                     國立蘭陽女中   陳敏皓老師

    學習數學的主要目的，當然是在於培養學生數學思維能力及獨立思考的訓練。不過，目前高中數學教育卻太著重於數學解題能力，這雖然有助於學生對於問題的思索，但過多的解題練習，往往抹煞了她（他）們學習數學的興趣，也讓她（他）們享受不到數學嚴謹結構之美。李國偉先生的這篇〈啟發式教學〉，是譯自《教中學數學》（Teaching Secondary School Mathematics）第九章第二節，是針對中學數學教師而寫的文章，所以，非常適合我們中學數學教師閱讀。而〈坡里雅教授的一封信〉，則是作者得到坡里雅教授的同意而轉載，雖然文章簡潔卻有其傳遞教育意念所在。

    先談啟發式教學。它是由一連串問題所構成的，藉由師長的引導式發問，來誘發學生的自動學習。這篇文章主要從「解題」、「了解題目」、「擬定計劃」、「實行計劃」、「再檢查」分類出發。有感於此篇文章的『啟發』，我將大學時代所購買的《怎樣解題》一書，重新翻閱一番，竟有完全不一樣的感受，當我在大學時代看此書時，總覺得無法真正咀嚼其中滋味，可能是念數學系的學生對於文字較為冗長的書籍，往往缺乏耐心讀完，囫圇吞棗的結果，反而徹底失去念書的動機。如今我雖已成為高中數學老師，對於如何引導學生主動學習，有了一些實際面上的教學經驗，因此，重新閱讀《怎樣解題》一書，才能深刻體會為什麼有這麼多數學系教授推薦學生詳閱此書，心中所得到的共鳴，是外人所無法領會的。

坡里雅教授將數學解題策略分為上述四個步驟，相信這是許多人所耳熟能詳。學生在學習數學的思考過程中，如果能常常溫故此四原則，那麼，一定能很快掌握住數學精神所在。在此，我想特別強調瞭解問題的重要性。近年來，由於學生的中文造詣普遍下降，¹學生往往因為不明白題意而喪失得分的條件，所以，在教數學的過程中，有必要要求學生務必要先看清楚題目（也稱為審題能力），弄清楚題意中的主要概念，其中再分別已知數與未知數的條件。回頭過來看坡里雅教授的數學解題策略，他強調教學過程中啟發推理的重要性，他認為：

啟發推理本身是好的，壞的是把啟發推理和嚴格證明混同起來，更壞的是為了嚴格證明而丟棄了啟發推理。

我想這是值得各位省思的一句話，固然每個人對於啟發式教學都會有正面的看法，但是，如果時間上不加以控制的話，往往會造成教學上的耽誤。²至於老師此時所扮演的角色，就是在學生思維的活動中，提供正確且可行的途徑，因為人類在大腦中的思維過程中是看不見的、摸不著的，大致都循序著『觀察－聯想－轉化』的步驟進行，如果老師能在聯想及轉化的步驟中，提出適合學生的解題模式，無疑是最佳的教學策略，可由下圖看出。³

學習數學最好的方法，就是實際上去做、去了解問題其中的意涵，而最好的教法，就是能使學生有反應，問問題，解問題，可不要一味的灌輸，傳道式的講事實－要富刺激性、啟發性才好。⁴而其中的問題探索，往往才是數學思想的本源，因此，數學老師一定要學習如何引導學生，從問題中來思考一些數學性質，正如坡里雅教授所言：

          在所有的數學領域中，問題皆處於一極為重要的地位。藉由解決問題，學生才能充分的了解教材。而授課的教員也方可由學生們的解題過程，獲得評斷學生程度高下的依據。雖然高年級的學生可以作些其他種類的功課（例如參加研論會），但對大部份的學生而言，解題是學習過程中的主要部份。⁵

    所以，如何將問題引導到更引人入勝，更吸引學生的注意力，就成為數學老師必修的一個課題了。至於數學解題也不要拘泥於一條思路、一種方法。一般而言，初等的數學問題（包含數學競試問題），都有多條思路，及多種解法，只有一條蹊徑的解題模式是極少的。所以，當一個學生累積足夠的解題思路後，若遇上較大的困難時，就會立刻轉移思維方式，這就是思考的多樣式原則。⁶

    至於在啟發式的過程後，教師們應適當地引入『反思概念』，因為在解題過程完成之後，學生可能不完全了解此題的意義，或者全部遵照老師的引導而行，缺乏自己的概念與想像，因此，藉由『反思概念』以達到自我察覺的能力，同時可以防止思考中的謬誤，並且養成數學思維不受一解、一法、一式的規範，培養數學思維的靈活性，同時將數學題材加以推廣與修改，從而獲取新知，我想這其中的訓練過程，就是數學最迷人之處了。最後，我想引用《幹嘛學數學》中一段話做為總結：

          如果生涯規劃的目標很明確，要決定高中時期修多少數學課。數學念太多總比念太少好得多，生涯規劃的目標會變，但如果念的數學不夠，在接受新的教育或職業訓練時，就購成很大的障礙。而且數學能力越強的人，不但可以選擇的就業機會越多，也越能把工作做好。⁷

    這一段話是不是很有鼓勵作用？也希望站在第一線的數學教育工作者，不要灰心，Keep going！

註解：

1. 以筆者的高中生數學教學經驗來說，學生在學習『排列組合』時困擾最大，例如：七人中，ABC三人完全相鄰、完全不相鄰、不完全相鄰的排列數。

2. 一般而言，中學數學的啟發推理格式有五種：綜合法順證格式、分析法逆推格式、反證法三步格式、窮舉法討論格式、數學歸納法格式等五種，每一種使用起來均需要頗多時間。

3. 參考胡炳生，《數學解題思維方法》（台北，九章出版社，1991），第8頁。

4. 引自Paul R. Halmos，〈論數學教學（上）〉（黃文濤譯），《數學傳播》第一卷第一期：第49頁。

5. 引自張漢珍譯，〈坡里雅教授的一封信〉，《數學傳播》第二卷第四期：第86頁。

6. 參考胡炳生，《數學解題思維方法》，第17-18頁。

7. 引自Stein, Sherman K（葉偉文譯），《幹嘛學數學》（台北：天下遠見出版股份有限公司，1999年），第90頁。

參考文獻：

Renyi, A. (1992)，《數學對話錄》，戴久永譯，新竹，凡異出版社。

Stein, Sherman K. (1999)，《幹嘛學數學》，葉偉文譯，台北：天下遠見出版股份有限公司。

九章出版社編著(1992)，《如何培養數學能力》，台北：九章出版社。

坡里雅著(1978)，《怎樣解題》，張憶壽譯，台北：長橋出版社。

胡炳生(1991)，《數學解題思維方法》，台北：九章出版社。