閱讀及教學心得

                                                           中山女高 陳啟文老師

        波利亞 (George Polya) 認為教學並不像一般科學，可以按既定的理論或是事實的規律一成不變的進行，也許更像藝術家的工作。教師必須對他所授的內容具備充足廣闊的知識背景，清楚某些數學思想發展的歷史，能明白教學的重點所在，看得出各個不同模式蘊涵的實質意義。克萊因 (F. Klein) 認為科學的教學方法，只是誘導人去作科學的思考，而不是一開頭就教人去碰冷漠的，經過科學洗鍊的系統。

        波利亞在〈課堂上的目的〉一文的開頭，點出了上述他的理念與信仰，在這思維與概念下，大致說明其教學經驗如下：

          一、 鼓勵學生主動參與教學活動，作者以排列組合的問題：「有甲、乙、丙、丁、戊、     己等6人分配住進A、B、C三個房間，規定每個房間最多住4人，若甲、乙同房，有多少種分法﹖」為例，希望老師不必急於解答，讓學生說明自己的想法，即使學生在討論中逐漸形成數個小團體，各自堅持自以為是的結論，老師亦不需焦急於判決是非，而在於知道學生某些偏向的思考以及在整個活動的如何進行。

           二、 過於乏味的教材，欠缺探索的學習過程，都會帶給學生疲倦，失去學習興趣。因此.，他將數學問題轉成行星軌道的問題，要學生計算以y = x²為軌道的慧星，行進中距離     直線x－2y－2 = 0最近多少﹖讓學生感受到不與實際生活脫節，從猜測、嘗試中，引導學生找出最近的位置。

         只是上述所提，大底離不開所謂教材教法的的改變，也是從事數學教育工作者一般探討的問題。但是，如果我們把此理念，拉到更高的一個層次，回到前段所謂「教師必須對他所授的內容具備充足廣闊的知識背景，清楚某些數學思想發展的歷史」的標準，而且還要做到儘量避開「經過科學洗鍊的系統」來教學，那麼，許多教學問題就會變得很有意思，值得我們深入探討。例如，在高二的『圓錐曲線』之教學中，筆者曾提出下列幾個問題與同科老師討論：

        1. 平面上拋物線、橢圓、雙曲線的準線是在空間上圓錐截痕的那一條線﹖有需要在課堂上補充﹖

2. 圓錐曲線的深入探討源於圓錐被平面所截的定義，為何課本定義這些曲線：「到一直線與到一定點距離相等的點軌跡」就是拋物線，
            存在「到兩定點的的和或差為一定值時」，則軌跡分別是橢圓或雙曲線﹖如此方式引入與由準線引入，有何差異﹖

           3. 圓錐曲線的中文命名，完全取決於其圖形外觀，學生在認知上會與其定義做何種連接？西方用parabola、ellipse、hyperbola與中文的命
           名角度十分不同！有需要切入這個話題嗎﹖

          4. 為何要知道圓錐曲線的正焦弦長﹖它扮演何種角色﹖如果不重要，那為何所有教科書一再計算它﹖又為何老師們總要學生背起來﹖
          難道背起來就代表達到教學目標﹖

          5. 為何知道雙曲線有漸近線﹖目前的教材內容大都以雙曲線的代數表徵，來證明雙曲線的圖形，的確會逼近所指定的一條直線。有的更是反客為主，在學生對極限概念尚未能成熟了解前，運用雙曲線 上任的一點到兩直線bx ± a y = 0距離的乘積等於一定值 性質說明「的確愈來愈接近….」，如下圖。

證明：設P(x₀ , y₀)是雙曲線 上的一點，則   

       由右圖知

      d (P , L₁)× d (P , L₂)

     ∴ 當 時

這樣的安排是否妥當﹖難道為了教學時數的關係，可以省略了讓學生察覺數學中「存在」的重要性﹖教師在教學上是否要引導學生猜測或觀察﹖才去證明是那一條！

    關於第一個問題，令人出乎意料！原先以為很簡單的主題，還是花了大夥一些時間，才找到答案，最後還是藉由模型的觀察，才確定準線的所在位置，而且讓圓錐曲線的基本性質的證明變得非常直觀，可見，由我們這一群所謂「專家」來看圓錐立體的截面都已有一定難度，想要拿來教學似乎有待考慮。因此，筆者在提供模型給學生輪流觀察時，便只是抱著嚐試的心情，讓學生有新鮮感就好，約略點出一些重點，惟有部分有興趣的同學會於課後與筆者討論。

    對於第二個問題，有人認為從圓錐曲線一些等價的性質來當定義其實都可以，有的人認為以準線出發來定義再來探討性質比較好，而且可以將圓錐曲線做連結。此項討論不禁令筆者想到，有一版本的高中教材，在介紹三階行列式時，它避開用二元聯立方程式的行列式解，來推廣三元聯立方程式的行列式解，而直接將三階行列式定義成三組不同平面的向量展開的平行六面體體積是一樣的！孰是孰非，並無一定的道理，但重要的關鍵，在於用不同方式來介紹數學知識，哪一個較能引起共鳴才是首要之務。

    至於第三個問題，所有老師都表示未曾深思過。當然這是正常的，如果不是這些年參與數學史融入教學的活動探討，筆者也是無法耳聞圓錐曲線命名的來由。在以下圖說明後，幾位老師頗感興趣，表示挺有意思的，甚至一位較熟識的好友還帶著玩笑的口吻問：「這是真的﹖還是你自個兒編的﹖」這是由於這位老師太了解筆者上課喜歡話天說地，最直接的反應而已。只是，大夥的結論還是：「那有時間教這個﹖難怪你的教學進度總是太慢﹖」的確！要不是這一次的單元的段考試題輪到筆者命題，試題的的難度、鑑別度由自己掌控，否則，還真的不敢在課堂上談論這些內容呢。因為有些老師教學與出題已被那些厚厚一本的參考書給綁架，害得現教學都沈溺於「題型」的講解，如果在課堂上討論一些學生認為不會考的東西，又加上本來師生互動不甚理想，那麼，老師原本的美意就被學生扭曲。這也正是筆者將數學史融入教學時，一直非常小心切入點的問題。

    談到第四個問題，沒有人知道為什麼要教『正焦弦』﹖當反問「連我們都不知道，甚至教科書都未談及的時候，那如何去介紹這個東西﹖」大夥也只好一笑置之。在還沒有找到史實佐證之前，筆者只好暫時跳開，僅就正焦弦的結果，從學生既有的「化圓為方」，亦即「幾何平均」的先備知識如下：

引入約西元前4世紀的Menaechmus利用將長方形化成正方形的作圖方法，描繪出y² = ax的大致圖形。

最後，再來看看橢圓長軸、短軸、正焦弦的比例關係，如下圖：

顯然，短軸長是長軸長與正焦弦長的幾何平均數。上述說法雖然有點自圓其說，不過，這也是目前筆者唯一能暫時「說服」自己的想法。這樣的論述正確與否，筆者無法推斷，不過巧妙的安排一些數學史，相信應該是無傷大雅才對。

    最後，如何在教學中引導學生認識漸近線「存在」，老師們皆認為是個棘手問題。請教大家的教法，大抵都仿教科書介紹的逼近之方法證明。筆者在苦思後，還是回歸圓錐截面的觀察，藉由筆者製作的截面動畫以及底下板書的呈現，來進行教學。

其中穿插學生了解的波以爾定律PV = k 以及距離公式概念，輔以下圖補足課本的說明。

走筆至此，或許可以知道，教學的確不像一般科學，可以按既定的理論或是事實的規律一成不變的進行。如果我們說教學是一門藝術，那麼，如何讓講台變成舞台，其實還是需要教師不斷地準備與彩排。或許「老歌新唱」可以告訴我們，教學中多一點編曲或略加入另一種樂器，可以讓我們的教學避免流於形式，而且，更可以讓老師在講台上像藝術家在舞台上盡情的揮灑。