閒話圓周率

                                                                                台灣師大數學系二年級  許勝溢

每個圓都有喔！

如果我問你：每個圓不管大小，都具有的相同不變量是什麼？照道理來講，每個人都會回答我π才對。圓這種東西，我們的老祖宗們不曉得打哪時開始就用到現在了，他們就著經驗、直覺，發現圓這種完美對稱的事物，不管他大還是小，直徑：周長＝常數。公元前兩千年左右，巴比倫人跟埃及人分別運用他們各自的公式計算圓面積。假設他們已經知道圓周率的意義，那麼，我們可以說巴比倫人得到π=25/8，埃及人則得到π=4(8/9)2。至於他們的可能做法呢？大概是在地上畫一個很大的圓，該量的量一量，一算就出來了。說起來簡單，如果我要你不可以用現代的除法、丈量工具、十進位，也許就難了吧。更重要的是，換做是我們，我們怎麼發現這樣的一個每個圓都具有的量呢？這是很困難的事吧，不過祖宗們辦到了，也許是比例的概念再加上一點猜測，再一點點的運氣，不過也只是也許啦，搞不好是外星人講的咧！(這句純屬筆者胡言亂語，但也不失為一種可能性)

近似值的進步

知道π的存在以後，人們開始在找他到底等於多少。前面已經提到公元前兩千年的巴比倫人跟埃及人的可能近似值。大約在公元前1000年前吧，中國人以3作為π值；550B.C.舊約聖經也說π等於3；公元前三世紀，阿基米德算出π介於223/71及22/7之間，並以211875：67441=3.14163為π的近似值。公元三世紀，劉徽得到π約為3.14159；公元五世紀，祖沖之算出3.1415926＜π＜3.1415927，並給出兩個近似值：22/7與355/113。更重要的是，阿基米德和劉徽都發現了算π的方法，你可以用一樣的方法，想算到多精確，就算到多精確。十七世紀，牛頓發明微積分，並算π值至16位以上。接下來就是瘋狂計算魔人的驚人成就了，這些魔人們靠著驚人的毅力耐力，沒有計算機，憑著腦袋、雙手、紙筆，前仆後繼地算到了620位小數。如果你看到這裡還不知道為什麼我稱他們為『魔人』，那請你徒手算算π值到10位小數即可。後來有了計算機(現普稱電腦)，π值動輒千萬小數(魔人們也許會瘋掉吧！)，求π的工作，漸漸就變成了測試電腦精確度的工具了。據《神奇的π》說，現今已知至510億位小數。這個持續了幾世紀的π值精確戰，雖然在數學上至今沒有比較特殊的意義 未來也許有喔)，但也算是π的故事中，相當有趣的一頁。

從何而來？

記得高中的時候，我曾經試過自己去找出π值來，我得到的答案是 ，大家有興趣的話，可以用電腦的小算盤算算看，應該是沒錯才對。那到底我是怎麼找的呢？其實，我用的方法跟阿基米德他們沒差到哪去，就是圓內接正多邊形，當正多邊形的邊越多的時候，周長就越趨近圓周長 這是很直觀的，事實上應該拿出ε-δ那一套來驗證)，把周長算出來再除以圓直徑，答案就出來啦！但我用的是三角函數喔，而且我用未知數，其他就交給電腦處理。話說如此，古代的人們，哪有這種東西，於是，紙筆上的苦工就免不了啦。祖沖之算到16384邊，已經很可怕了，前面沒提到的魯道夫 (Rudolph，1539-1610)，竟然用60*229邊形算到小數點後20位！後來又更推進到35位！可怕！為了紀念他，在德國圓周率也叫做魯道夫數。

大家應該對泰勒展開式這個名詞不陌生吧？另外一個求π的方法，正是利用展式求得的。為何會發展出展式來算π值呢？因為多邊形等方法逼近的速度實在太慢了，而且計算過程繁複。在1706年，英國人Machin (1680-1752)發現了如下的展式：π=16(1/5-1/3.5³+1/5.5⁵-…)-4(1/239-4/3.239³+1/5.239⁵-…)，他大約用了第一個括弧內的前70項，第二個括弧內的前20幾項，就算到π的第100位小數。其實創造求π的展式似乎並不困難，利用微積分的方法，加上反三角函數，在靠近值是π的地方做泰勒展開，就可以得到了。我所見過π最簡單的展式是：π= 4(1-1/3+1/5-1/7+…+(-1)ⁿ/(2n+1)+…)，但收斂速度相當緩慢，《神奇的π》有說到：若你想用這條展式算至小數點100位，那麼你計算的項數將比全宇宙的原子數目還多！

求π的方法歷史上還有很多，在此就不再多做介紹了。

不但無理，而且超越！

實數有兩種，一種叫做代數數，而另外一種叫做超越數。所有的超越數都是無理數，簡單的說，超越數是無理數的subset。而π就是最著名的超越數了，讓我們從化圓為方這個歷史有名的問題談起吧。看字面也知道，化圓為方就是要做一個正方形跟已知的圓等面積 (限尺規作圖)，這個問題好像還頗有趣，要試的話就去試試看吧，但別花太久時間，因為這是無解的問題啊。這一個問題從公元前第五世紀就被提出，直到1882年，Lindemann終於證明了π是超越數 (利用了傳說中『數學界最美的式子』)，也就是說，根本別想化圓為方了，因為超越數的長度是無法用尺規作圖完成的。但事情沒那麼簡單就結束了，有許許多多的『業餘數學家』們，自認成功的解出了化圓為方的問題，歷史上甚至有議會 (美國印第安那州州議會) 要為這莫名其妙的結果立法，竟然還一讀通過！好在被一位數學教授給挽了回來。還有個叫做Heisel的人更是誇張，出版了化圓為方一書，自以為成功的解出來。這些不勝枚舉的故事，無法細說，希望大家能去查書看看，真的相當有趣，如果你有一點專業數學素養的話，你一定會覺得又好氣又好笑的。

總之，π的發展有許多意義，從一開始的發現，到推進小數位數，證明其超越性，這些可以看出人們數學知識的進步，例如利用展式求π值，用代數方法證明了尺規作圖。一路走來還有許多有趣的小插曲，誠心建議大家有空時不妨多接觸，會有相當的收穫的。如果還想再更了解π的話，強力推薦大家看看《π的故事》及《神奇的π》。

參考書目

Beckmann, Peter (1970)，《π的故事》，姜家齊、朱建正、林聰源譯，新竹：凡異出版社。

Blatner, David (1999)，《神奇的π》，潘恩典譯，台北：商業週刊出版。

曹亮吉 (1997)，《阿草的葫蘆》，台北：遠哲科教基金會。

梁宗巨 (1995)，《數學歷史典故》，台北：九章出版社。