閱讀文章感想

《數學傳播》第十二卷第一期：〈π是什麼？〉－Serge Lang著；洪萬生譯

台中市立西苑高中  阮錫琦老師

    數學教育的主要目的，當然是培養學生數學思維及獨立思考的訓練。而數學概念的「正本清源」、「類化」及「轉化」的工作，更是數學教育者責無旁貸的首要任務。筆者謹就本文的研讀心得，針對現行中學數學教育中常見的盲點，與各位讀者先進心得分享。

本文根據美國數學家Serge Lang向加拿大多倫多郊區，一班十五歲左右的中學生（相當於我國國三學生）的上課實錄，時間約一小時十五分鐘。但筆者只精要節錄其中重要概念，加以介紹。其中對於數學教育的關心，以及生動有趣的教學活動，值得中學數學教師借鏡與效法。

首先，Serge Lang介紹長方形、三角形和圓的面積公式，如下圖(1)。其中長方形面積ab，△面積＝ ab，圓面積＝πr²，圓周C＝πd，d是直徑＝2r。

接著他導入相似形的面積比與邊長的平方成正比，如下圖(2)。

 他認為，若將圓細分割成n個三角形，則n多邊形的面積，便是n個三角形的面積總和。當n變得愈大時，n多邊形的周長會趨近於圓周。而且當n→∞，h_n→ r。由於三角形T_n= b_nh_n ，若正n多邊形的周長L_n＝nb_n，正n多邊形的面積A_n＝n×T_n ＝ nb_nh_n＝ L_n×h_n；當n→∞時，圓周C＝πd趨近L_n＝nb_n，h_n趨近r，圓面積也趨近正n多邊形的面積A_n，因此，圓面積＝A_n＝n×T_n ＝ nb_nh_n＝ L_n×h_n＝ C×r＝πr²，如圖(3)。

Serge Lang更深的用意，無疑是在介紹面積的基本輪廊。他從長方形談起，然後介紹三角形，進而推廣至一般曲線形。這種處理方式符合「起源教學法原則」。其實，在數學史上也不乏先例。例如，在古中國東漢初的《九章算術》卷一〈方田章〉，在面積的排比上，就是遵守這樣的排序，依序為「方田」→「圭田」→「邪田」→「箕田」→「圓田」→「弧田」→「環田」。¹當然，僅僅列舉或排比公式，是無法形成面積公式的理論系統；《九章算術》就是幸好有劉徽的註解、證明與系統化，使得一本官僚用的算術公式手冊，被連貫成圓滿的面積理論。

劉徽是魏晉時人，他在證明三角形的面積公式「半廣以乘正從」時說：「半廣者，以盈補虛為直田也。²亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以故中平之數。故廣從相乘為數」。換句話說，他的證明方法就是利用「以盈補虛」，將三角形轉換成長方形。（如下圖4）在證明圓面積公式「半周半徑相乘得積步」時，劉徽利用極限原理，設法將圓形轉換成以半周為從，半徑為廣的長方形，得到「故以半周乘半徑而為圓冪。」在其註解的脈絡中，隱喻了圓周、直徑與圓周率π的正確關係：c=2πr。正因為如此，所以，劉徽利用圓內接正多邊形逼近圓面積的作法，就可以計算π的近似值。（如圖5）但是，唯一美中不足的是，他的論證似乎並沒有蘊含證明π是常數的可能性。

在西方古典希臘數學方面，歐幾里得（Euclid）《幾何原本》（The Elements）第十二卷命題2：「圓面積的比為直徑平方之比」與Serge Lang的圓面積伸縮比例觀念相通。而阿基米德（Archimedes）在他的著作《圓的度量》（Measurement of a Circle）中，阿基米德證明了：「圓面積等於以該圓半徑和圓周為兩股的直角三角形之面積」與Serge Lang的圓面積公式一樣。不過，值得注意的是Serge Lang的證明形式，和劉徽的「半周半徑相乘」幾乎一樣，兩者皆運用極限法，而不同於阿基米德的窮竭法。

上述阿基米德的《圓的度量》一書，直至1631年，中國明末徐光啟所譯的《測量全義》中卷五「圓面求積」才傳入中國。徐光啟對此做了清楚描述：

凡圓面積與其半徑線，偕半周線作矩內直角形積等。依此法則量圓形者，以半徑乘半周而已，古高士亞奇默德（Archimedes，287？∼212B.C.）作《圓書》（Measurement of the Circle），內三題洞燭圓形之理，今表而出之，為原本焉。³

 由於《九章算術》從明初就失傳了，徐光啟似乎未知劉徽的成果。前述《幾何原本》（The Elements）第十二卷命題2似乎也沒有傳入中國。否則，說不定他可以將阿基米德與劉徽的方法做一個比較。

        至於現行的圓面積公式πr²，似乎首先出現在十二世紀著名翻譯家Gerard of Cremona 的拉丁譯作《Verba Filiorum》上。該書源譯自第九世紀阿拉伯著名數學家Banū Mūsa的作品，而且其中指出圓周率乘上直徑等於圓周。

        最後，到底「π是什麼？」，若是當作圓面積公式πr²使用，只不過是抽象、冰冷的數學符號罷了。身為數學教育者，不妨稍為佈置歷史場景，加入數學史材料，引導學生走入時光隧道，以講故事方式，讓學生感覺到數學生活化，而有機會跟劉徽、阿基米德等大師對話，必會引起學生高度的興趣。因此，讓學生更能體驗出π到底是啥米碗糕？終究，數學教師引入數學史只是手段，讓學生愛上數學課是願望，傳遞數學知識是主要目的。

 問題與討論

古中國東漢初的《九章算術》卷一〈方田章〉第32題「又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。問為田幾何？答曰：十一畝九十步十二分步之一。」「術曰：半周半徑相乘得積步」，第37題「術曰：并中外周而半之，以徑乘之得積步」。劉徽說：「半廣者，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以故中平之數。故廣從相乘為數」。以上與扇形的面積公式＝ r²θ有何關連？ 試說明之。

國二課程第四冊2-4〈生活中的立體圖形〉及高中第二冊3-1〈弧度與扇形〉都介紹的扇形面積公式為：圓面積乘以 （θ為扇形所張開的圓心角）。筆者在課堂上曾經引入劉徽「以盈補虛」概念，將扇形面積公式轉換成三角形的公式面積的另類教法（如下圖6）介紹給學生，結果發現學生的回饋如下：(1) 容易熟記；(2) 易於計算；(3)容易類比、轉化。值得數學教師一試。

註解

1. 圭田：三角形，邪田：直角梯形，箕田：一般梯形，弧田：弓形。

2. 直田就是長方形。

3. 此法阿基米德的圓面積公式。

參考資料

        洪萬生，《中國π的一頁滄桑》，台北：自然科學文化事業公司，1981。

        洪萬生，《從李約瑟出發》，台北：九章出版社，1985。

        沈康身，《九章算術導讀》，漢口：湖北教育出版社，1992年。

        梁宗巨，《數學歷史典故》，瀋陽：遼寧出版社，1992年。

       郭書春，《古代世界數學泰斗-劉徽》，山東科學技術出版社，1995年。

       郭書春譯注，《九章算術》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。

       劉鈍，《大哉言數》，瀋陽：遼寧出版社，1997年。

       錢寶琛，《九章算術點校》，台北：九章出版社，1984。

       M.Kline，《數學史》上冊，台北：九章出版社，1979。

       Serge Lang（洪萬生譯），〈π是什麼？〉，《數學傳播》第十二卷第一期（1988）