我對『間接證法』的反思

                                            台師大數學系畢業生 王香評

在『數學哲學』的課堂上，洪老師曾指定了一項作業：「證明√2是無理數，並說明此一方法為何有效？」我想若被問及：「√2是無理數怎麼證？」大部分的人直覺反應是：用反證法！當然我也是大部分的其中之一。

最早接觸反證法來作數學證明，是在高中的時候。當時用以熟悉反證法的練習例題，除了「設n為整數，且n²為3的倍數，則n也是3的倍數」此類的命題以外，另一種典型的練習正是「√2是無理數」的證明。回顧證明的過程，其開頭必定有一小句不可或缺的文字：「假設√2不是無理數」，緊接著，就會出現「所以√2可表示成最簡分數」，等這些例行的準備工作都完成以後，就可以展開一連串的推理，最後得到與「最簡分數」的矛盾。根據這個矛盾，引用邏輯上『否逆命題』與『原命題』同義 (或等價) 的觀念，得到「√2非無理數」的假設是錯的，於是，由排中律推論出：√2就是無理數。證明並非難事，但「此一證明何以有效？」完全是個新的反思，答案可能也因人而異、見仁見智了。

若我們細想反證法的證明過程，它算不算是「間接證法」（the Indirect Proof）呢？從字面上來解讀，『間接』證法是相對於『直接』證法而來的。想證明「√2為無理數」，很自然會先問自己：「那無理數是什麼？」，而我們的腦袋通常很難不回答：「無理數是『不能』表示成分數的實數啊！」或許是基於這樣的內在想法，及感知到能夠從邏輯系統的理論中得到有利的工具，於是，不從正面證明「√2為無理數」，而拐了個彎，改證明「√2不是無理數」這件事是錯的，也就是：從「√2可表成最簡分數」的假設出發，展開論證。我想，也許是如此避免長驅直入的證明，才使我們在認知上將之賦予「間接」的涵義吧！

對於間接證法，Hans Freudenthal在他的Mathematics as an Educational Task 中，提出了不同的看法。他並不覺得以上如「√2為無理數」一整套的證明過程，符合了間接證法的精神，因為他認為：“The direct way to prove that something does not happen is to assume it does happen!”，並以「兩直線為平行線」的例子，來闡述他的看法。

要了解他對間接證法的觀點為何，首先得同意下列兩點：(1) 命題『p→q』與它的否逆命題『~q→~p』是等價的。進一步說，任何命題都能轉換為否逆命題的形式呈現出來；(2) 兩平行線可以定義為『不相交』的兩直線。若設「兩直線不相交」為敘述p，「兩直線平行」為敘述q，因為「不相交→平行」等價於「不平行→相交」（即p→q等價於~q→~p），想得到兩直線平行的結論，需先證明直線不相交（敘述p）。事實上，經過等價關係這層巧妙的轉換以後，利用直線相交（~p）的假設，來展開證明是一個很直接的想法，並沒有間接的意味，這也就是 Hans Freudenthal 在他的書中所提到的：『The direct way to prove that something does not happen (不相交或p) is to assume it does happen (相交或~p)』，因此，他宣稱：類似這樣的證法不能視為間接證法！

同樣的論述套用到「√2為無理數」的證明，「√2不能表示成最簡分數的數→√2為無理數」等價於「√2為有理數→√2可表示成最簡分數」，所以，欲證√2不能表示成最簡分數 (something does not happen)，改以假設√2可以表示成最簡分數 (to assume it does happen) 是一個『direct way』。

Hans Freudenthal這樣的觀點似乎透露了：「原命題與否逆命題的等價性」反而讓證明本身失去了「間接」的意義了。這讓我重新檢視了原本總以為等價性正是間接證法最有力的本錢的想法。那麼，Hans Freudenthal心中真正的間接證法是什麼模樣的呢？他提出了 [0,1] 閉區間的 Bolzano定理證明來說明，先將欲證的結論「必有一零根」加以否定，也就是：假設對於在 (0,1)開區間所有的實數，其函數值均不為0，接著進行論證、得到矛盾（詳細證明過程在此略過不提）。值得注意的，是我們使用連續函數的性質作為工具，並利用已知sup的概念來製造矛盾的衝突，於是得知假設是錯的，從而肯定了「必有零根」的結論。

歐幾里得早在《幾何原本》中即使用間接證法，其第一冊命題六為「底角相等的三角形，其兩腰相等」，歐幾里得的證明是先否定兩腰等長，推論後由命題四（SAS全等性質）得到「the whole is equal to the part」 的矛盾，因為他在『公理五』(common notion 5) 中，明確指出： “The whole is grater than the part.” 我們若比較這些例子，便可以體會到間接證法中，結論的否定與所用以產生衝突的觀念兩者之間的關係，是要好好掌握的部分。如何製造這個衝突點，使具有強大的力量「扭轉」大膽否定的局勢，我想是間接證法具挑戰性的風格與精采之處吧！