數學雜談--從數學歸納法談起
台師大數學系助教
謝佳叡
前言
雜談，說穿了就是想到什麼寫什麼，沒有固定的主題，任憑思緒天馬行空的走著。如今回顧，彷彿這些看似毫不相關的主題中，也存在著一個承繫的脈絡。現在，將它呈現出來與各位交換心得，也當成是個人的一個思維紀錄吧。
￭一個遙遠的緣起--「駱駝背上的最後一根稻草」
經常在書籍、報章雜誌或網路上中看到「壓垮駱駝的最後一根稻草（the
straw that breaks the camel's back）」這樣的字句，這是來自西方的俗語。駱駝是很能負重的動物，而稻草卻的是極輕之物，但如果不斷往駱駝背上加稻草，總會到達到牠所能承受的飽和點，這時那怕再多加一根稻草，也會使牠承受不了而垮掉。現在，人們經常把它簡化為：「the
last straw」，指的是會讓一件事無法再忍而爆發的關鍵事物。
每回看到這一句話，總讓我想起在高中時期，數學老師在教數學歸納法時「為了增加上課趣味」所舉出的一個例子：「試證：人力無窮大。」
￭人力無窮大？
證明方式是這樣的：
假設人可以舉起n根頭髮，
（1）當n＝1時，成立。（人當然可以舉起一根頭髮）
（2）假設n＝k時成立，那麼再加一根頭髮當然也沒有問題，因此n＝k+1時也成立。
根據數學歸納法，當n為任意自然數時都成立，n可以到無限大，所以人力是無限大！（證畢）
這個證明當然是錯誤且可笑的，但是這樣的插曲在「煩躁」的數學課中倒也提供了一個趣味，某種程度上也讓學生更加的體會數學歸納法的精神。
這個證明錯在哪裡？答案就在那一根「最後的稻草」，只是這根稻草換成了更為輕巧的頭髮，讓人在認知上更容易接受「再加一根」也可以，想要藉此「偷渡」到n＝k+1的情況。然而，就算換成更輕的秋毫，甚至是原子、分子，這個「最後的稻草」仍會存在，否則豈不是也成了另一個數學悖論。
「數學歸納法」是數學證明的一個重要的方法，尤其在證明一個與自然數有關的命題。這個方法最神奇的地方，就在它僅需有限的幾步，就可以把無窮多個狀況一個不剩的證明了，這種「如何將無窮轉成有限」的情形倒與微積分中利用「ε、δ」來處理極限的作法，有著異曲同工之妙。
￭「數學歸納法」是歸納？還是演繹？
歸納與演繹是邏輯推論的兩個主要方式。從名稱來看，既然稱為數學歸納法(mathematical
induction) 理應屬於一種歸納方式的推論，然則細查其推論的方法與嚴謹度要求，十足是一種演繹法。歸納的效度取決於機率的高低，數學歸納法卻是不容任何例外的。那為何還是稱為數學「歸納」法？個人以為大概取的是「由少（有限、特例）推到多（無限、一般）」的意涵（歸納法實質上擴充了前提的內容），也由於數學歸納法要求百分之百的精確，因此有些人成之為「完全歸納法」(complete
induction)。
華羅庚將數學歸納法概括為：「1對；假設n對，那麼n+1也對」，並稱前者為歸納奠基，後者為歸納遞推步驟
(夏國興，1999）。在實際解題與教學上，重點也都被放在證明「1對」和如何從「n對推到n+1也對」。然而，如果僅將數學歸納法看成是這兩個步驟的結合，非但沒有掌握到數學歸納法的精神，甚至在邏輯上是不完整的。
為什麼說沒有掌握到數學歸納法的精神呢？雖然從「n推到n+1」這個步驟是證明的關鍵，但它卻不是結論，真正的結論是「所有的自然數都成立」。所以，如果要將數學歸納法做一概括，應寫為「如果『1對；假設n對，那麼n+1也對』，那麼所有的自然數都對」，也因為學生常將「n推到n+1」這個步驟當成是結論，忽略了這只是數學歸納法的一個前提，因此經常造成學習認知上的一個混淆。
數學歸納法在邏輯上是典型的利用兩個前提得到結論的推論方式：
|
如果
․n＝1成立。 且
․如果n＝k成立，那麼n＝k+1也成立。 |
那麼 n為任意自然數時都成立
當然了，這些表示條件的語詞是可以更換的，如：「若…則…；假設…那麼…；當…則…」。順而在此稍稍提及，這種推論方式與三段論證、條件論證都有些許差別，不過不在此詳述（雖是雜談，再詳述下去可收不了尾）。
很明顯的可以看出，這個推論的第二個前提中，包含了另一個條件述句，這種條件中有條件的推論形式在其他在地方並不多見，而且結論述句的語詞（term）與前提的語詞差異也很大（這一點與三段論證、條件論證不同），加上學生將所有的焦點都放在導出「n＝k+1成立」上，因此，造成誤將前提當成結論的邏輯問題。
￭「數學歸納法」的理論基礎
數學歸納法的理論基礎是什麼？是根據哪一條公理推演出來的？大概不少人會認為這類的問題很無聊，對就是對，還需要依據什麼公理!?
這樣的問題或許在19世紀以前確實不被重視，但在十九、二十世紀的數學家開始重視數學基礎問題後，這類議題已不再是可以忽視的問題，這不僅牽涉到數學的本質，也關係到演繹數學的有效性。
數學界目前都同意將數學歸納法的理論基礎建立在皮亞諾（Peano,
1859~1932）於1891年所提出關於自然數性質的五個公理，後人稱之為「皮亞諾公理」，其內容如下：
1. 1是自然數。
2. 每一個數都恰有一個後繼元素。
3.
1不是任何數的後繼元素。
4. 不同的數，其後繼元素亦不相同。
5. 若自然數的一個集合包含1，且一旦包含某數，也包含其後繼元素，則此集合為所有自然數所成的集合。
其中的第5條又被稱為「數學歸納法原理」。個人認為，與其說數學歸納法原理提供了數學歸納法的依據，倒不如說這個原理是為數學歸納法量身訂作的。無論如何，它都為數學歸納法的有效性，提供了一個理論基礎。
￭誰先開始用數學歸納法？
儘管數學歸納法的理論基礎在十九世紀末才建立起來，但這個名稱的出現與實際使用在證明上的時間卻更早。
最早出現「數學歸納法」一詞，是De
Morgan 在1838年為《小百科全書》（Penny Cyclopedia）寫 “Induction
(Mathematics” 這一條目時所使用的。在這一條目中，他建議使用「逐次歸納法」(successive induction) 這個名稱，並偶然的提到了「數學歸納法」(mathematical induction)，想不到最後這個「偶然」卻取代了原想要用的。而「完全歸納法」(complete induction) 一詞，是Dedekind
在1887年發表的文章後才在德國流行起來
(Miller，2001)。
但是，名稱的出現是一回事，真正開始使用數學歸納法這個方法的卻又早得多，不過，史料上卻十分分歧。許多網路上的資訊，將數學歸納法的第一次使用歸於巴斯卡
(B. Pascal, 1623-1662)，指出他利用數學歸納法證明了
。但一般數學史家認為最先「明確」使用數學歸納法的人，應前推到義大利數學家F.
Maurolico (1494-1575)（梁宗巨，1989、Hellemans and
Bunch, 1991），他在《算術》(Ari
Libri Duo) 一書中，利用數學歸納法證明前
個奇整數的和是
。然而，鄧宗琦
(1990) 主編的《數學家辭典》卻有不同的看法，他認為更早的法國學者Levi
ben Gerson (1288-1344) 在1321年所著的《計算者的工作》一書，已經首次給了數學歸納法的明確形式，這樣的說法也出現在梁宗巨主編的《數學家傳略辭典》。
更而甚者，在《數學家辭典》一書中提到Gersonid (1288-1344) 於1321年在《計算者的書》一書中，發表了古希臘人早已實際運用了數學歸納法，這一下似乎又將數學歸納法的使用，往前提了一千多年。
￭希臘人已經在用數學歸納法？
再怎麼說，這些記載都屬二手文獻，個人當然無緣也無能力閱讀一手資料，因此，對於希臘人否已經運用數學歸納法一說，只能抱著「姑且一聽」的態度。一日，心血來潮地隨意翻閱手邊所有關於古希臘數學的書籍，想不到眼前就有一個大家都熟悉的例子，如將之還原到古希臘人的寫法，其意涵根本就是數學歸納法的實際運用。
此等運氣，奇妙莫名！
￭證明：「質數有無窮多個」
這是高中課本的一個基本證明題，證明的方式是利用間接證法，先假設質數有有限多個，最後導出矛盾。
這個命題是出現在歐幾里得《幾何原本》中的第Ⅸ卷命題20。然而，它在《幾何原本》中的敘述卻是這樣的：
任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。(Prime
numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.)（Ⅸ.
20）
這是一個很重要的命題，現在的教科書中都直接改寫為「質數有無限多個」，但在當時，由於數學家對於「無限」這個想法還無法駕馭，因此，必須轉成其他有「無窮」意涵卻無「無窮」字眼的敘述方式。《幾何原本》Ⅸ.命題20的證明策略如下：
（1）
先給定幾個質數。（注意：並非假設質數為有限多的）。
（2）
將這幾個質數相乘，再加1，得一新數。
（3）
若這個新數是質數，那麼本身就是多得到的一個質數。
（4）
若這個新數不是質數，那麼它一定有一個質因數，而且這個質因數不同於之前給定的質數，如此還是可以獲得一個新的質數。
我們省略掉中間技術性的證明細節，從第（1）項來看，就是假定存在有k個質數（「n＝k成立」），而（3）、（4）項就是證明如此必存在有k+1個質數（「n＝k+1」也成立）。我必須承認這種看法有「牽強附會」之嫌，但如此顯然的證明策略下，實在很難去忽視這個證明本身所展現出來數學歸納法的精神。
你可能會問：「n＝1的部分在哪？」這一點只要存在一個質數即可，而質數當然存在，根本無須多言。你可能會再問：「這個證明有推廣到所有的自然數嗎？」我們再想一想，如果它沒這個意思，我們怎麼會把這個命題和「質數無窮多個」視為同一個！
￭另一個無心插柳
不談數學歸納法，我們深入地看看Ⅸ.
20這個命題。這個命題帶出了解題上另一個重要意義，就是問題敘述的本身提供了一種解題策略，這跟在題目中限定解題方法意義不同。從「質數有無窮多」這樣的敘述中，一般初學者是很難掌握證明的方向，但轉換成像命題Ⅸ.
20這樣「你給我多少個，我都有辦法多找一個」的想法，證明的方向就十分的明確了。不但如此，它也將無限變成可操作的想法，這跟微積分中，將無窮小的想法轉成「你要多小，就有多小」，再到「ε-δ」那種你給我一個數，我就有辦法比它小，都有相類似的思維。
另外，在命題Ⅸ.
20的證明中，引用了另一個命題（Ⅶ.
31），以及很巧妙地運用了一個反證法的技巧。命題Ⅶ.
31的內容是「任一個合數都可被某個質數整除（量盡）」；而反證法的使用是搭配了整除性（即c|a,
c|b，則c|a-b），假設所產生的質數是之前給定的其中一個，根據整除性，也必須整除1，導致矛盾。
這種技巧與現今教科書利用反證法正「質數無窮多」的技巧是不同的。現今反證法用是假設質數為有限多個（設為a,b,c,…,k），取p＝abc…k+1，由於p不能被a,b,c,…,k整除，因此得到p為新的質數，導出矛盾。這其中用到一個技巧是，若一個數無法被比它小的所有質數整除，這個數就是質數。
之所以會如此囉唆的描述這兩個證明的細節，或許各位已經領會到了，無論是古希臘的證明，或是現今的證明，都必須建立在一個設定上，一旦沒有這個設定，這些證明都將崩解。
￭如果1是質數！
1是不是質數？這是一個老調陳談。國中教師手冊第一冊（86年版）明白的指出：為了描述定理和公式的方便，我們不把1當成質數，舉例來說，想要維持算術基本定理的唯一性，1就不能是質數。而《幾何原本》裡說的可就更嚴謹了，1是一個單元（unit），多個單元合起來的才成為數，因此1連「數」都不是，更別說是質數了。
如果先別管描述定理的方不方便，將1也定為質數，那麼上述的兩個證明就無效了，而其他受影響定理更難以數計（可以想像，會有多少定理受影響）！當然了，這並不表示這些定理都會變成錯的，而是如果1是質數，則這些定理的證明必須重新改寫。或許從這兩個例子能更進一步的體認到，1要被列入質數的大門，大概是指日無望了！
參考書目：
梁宗巨主編
(1989)，《數學家傳略辭典》，濟南：山東教育出版社。
鄧宗琦主編
(1990)，《數學家辭典》，武漢：湖北教育出版社。
夏國興
(1999)，《數學歸納法縱橫談》，台北：九章出版社。
洪萬生 (2002)，〈數學文本與問題意識〉，《HPM通訊》第五卷第一期。
Heath, T. L. ed. and tr.
(1956). Euclid: The thirteen books of
Euclid's Elements. New York: Dover Publication, Inc.
Hellemans, Alexander and
Bryan Bunch (1991). The Timetables of Science: A Chronology of the Most
Important People and Events in the History of Science. New York: Simon &
Schuster Inc.
Katz, Victor (1993). A
History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCollins College
Publishers.
Miller, Jeff (2001).
“Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M)”, http://members.aol.com/jeff570/mathword.html.