數學、哲學與美學的交會

                                  台師大數學系 洪萬生教授

        希臘數學史大師 Thomas L. Heath (1861-1940) 去世後,他的太太在書房找到一本整理好的文稿,後來出版就成為 Mathematics in Aristotle 一書。哲學家亞里斯多德 (Aristotle) 的著作中,關聯了數學知識的相關論述,這的確是希臘數學史的一個非常獨特的風格,因為在此一文化脈絡中,我們很容易將數學與某個哲學家作連結,在其他文明如中國,這就有一點困難了。譬如說吧,如果我們將數學與孔子聯想在一起,很多人都會覺得不可思議,從而更難理解『孔子與數學』如何成為一個有意義的主題了。

        不過,孔子代表的儒家如何參與中國先秦的數學知識活動,不是本文題旨,我們在此只想討論柏拉圖的數學哲學與拉斐爾 (Raphael) 的名畫『雅典學派』(School of Athens)

        拉斐爾固文藝復興時期的一代大師也!然則他的繪畫又與柏拉圖 (Plato) 有何關係呢?其實,只要稍微注意一下,我們就會發現:『雅典學派』這一幅畫中的主角人物柏拉圖與亞里斯多德的手勢完全不同。其中柏拉圖的右手食指朝向天空,大有不食人間煙火之慨,亞里斯多德則右手向前平伸,一副眾生平等的姿態!這種對比的張力,當然反映了藝術家的創作風格,然而,這兩個手勢的確『意有所指』,值得我們從希臘數學發展中的數學與哲學之關係來分疏!

        當然,這兩位大師之辨認,除了根據長相-譬如柏拉圖是位長者,所以,頭髮較少!-來判斷之外,我們也可以徵之於他們師徒左手各自所拿書籍:柏拉圖抱住的就是Timaeus,至於亞里斯多德,則是抓住Ethics的書背!前者是柏拉圖的一部探討宇宙生成論 (cosmogony) 的對話錄(難怪他手指向天),後者則是亞里斯多德的名著-《倫理學》(難怪他強調眾生平等)。

        有關亞里斯多德的部分,可以參考拙文 (1999)。在此,我們則主要針對拉斐爾的這一幅名畫,來說明柏拉圖如何處理數學與哲學之間的關係。請先看我們的如下引文:

… this knowledge of the kind [i.e., mathematics] for which we are seeking, having a double use, military and philosophical; for the man of war must learn the art of number or he will not know how to array his troops, and the philosopher also, because he has to rise out of the sea of change and lay hold of true being, and therefore he must be an arithmetician.

Then this is a kind of knowledge which legislation may fitly prescribe; and we must endeavour to persuade those who are to be the principal men of our State to go and learn arithmetic, not as amateurs, but they must carry on the study until they see the nature of numbers with the mind only; nor again, like merchants or retail-traders, with a view to buying or selling, but for the sake of their military use, and of the soul herself; and because this will be the easiest way for her to pass from becoming to truth and being.

I mean, as I was saying, that arithmetic has a very great and elevating effect, compelling the soul to reason about abstract number, and rebelling against the introduction of visible or tangible objects into the arguments. [Plato: The Republic Book VII]

在此我們不打算翻譯這三段文字,不過,為了閱讀方便,我們應該解釋幾個關鍵詞。首先,所謂 “sea of change” “becoming” 是指變化無常的『苦海』(比喻『現實世界』),  “true being” 是『真實存有』(指涉永恆不變的世界,柏拉圖將他稱為『理想世界』(ideal world)),也是『真理』(truth) 存在的處所。至於 arithmetic是指『數論』而非今日之小學算術,因此,“arithmetician” 是指數論家或數學家。還有,“soul” 可譯成為『靈魂』或『心靈』,對柏拉圖來說,靈魂不滅,從而得以輪迴轉世。這些主張在他的《米諾》(Meno) 中有極清楚的論述,請參考陳昭蓉 (1999, 2000)

        無論如何,對於柏拉圖來說,數學的訓練是幫助我們的靈魂從『現實世界』 (becoming) 提升到『理想世界』(being) 的不二法門,這是因為它可以逼迫靈魂推論抽象的數目,同時抗拒看得到、摸得到的東西之介入我們的論證。這可以更好地解釋何以柏拉圖在他的學院門口懸掛牌子,上面鐫刻 “Let no one ignorant of geometry enter here.”。顯然,幾何學不只教導我們邏輯推理,更重要的是,它的訓練可以幫助我們的靈魂得以提升,從而國家或軍事領袖才能獲得必備的素養。

        總之,從拉斐爾的這一幅名畫,我們不僅欣賞它所代表的文藝復興時期的藝術風格,也可以神游在數學、哲學與美學的交會之中。看來藝術家所以能成為藝術家,不僅他的雙手靈巧之外,也需要有非常多方面的素養,否則他與一個畫匠又有何不同呢?

參考文獻

Heath, Thomas L. (1980). Mathematics in Aristotle. New York & London: Carland Publishing, INC.

Lloyd, Geoffrey E. R. (1973). Greek Science after Aristotle. New York / London: W. W. Norton & Company.

洪萬生 (1999).HPM隨筆(三):數學哲學與數學史〉,《HPM通訊》2(6): 1-5

陳昭蓉 (1999).〈柏拉圖《米諾》中的數學哲學對話〉(上),《HPM通訊》2(12): 11-14

陳昭蓉 (2000).〈柏拉圖《米諾》中的數學哲學對話〉(下),《HPM通訊》3(1): 4-6