新書評論與介紹                                                                                             新專欄:科普數學書評

台師大數學系 英家銘助教

        在二十一世紀初的台灣,我們做到了過去四個世紀以來不曾出現的教育普及。然而,就我們所觀察到的現象來說,整個社會展現出的熱情,並非是對「知識」,而是「學位」。至於原因,筆者的猜測是,整個台灣社會不曾真正體認知識的價值。科普叢書的作者與譯者,就是因為堅信科學與數學知識的價值,並且感受到傳播知識的急迫性,才會不斷寫作或翻譯科普叢書。誠如李國偉博士所言,科普的工作需要長期堅持,而且需要傳福音的精神。HPM通訊》的發行人與編輯群,就是希望在這個新世紀的科普運動中,為台灣社會盡一點微薄的力量,介紹好的科普叢書,希望可以提升大眾 – 特別是中小學教師 – 對科學與數學知識價值的體認。

         本專欄在未來會不定期評論或介紹中文、英文與日文的科普數學叢書。其中英文的出版品主要是出版在美國,評論的內容是來自「美國數學協會」(The Mathematical Association of America,簡稱MAA) 網頁上的新書評論,或是本刊所邀請的國內外學者,或本刊編輯群。以下為本期的新書介紹與評論。

 

書名:Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?

作者:Sherman Stein

出版:MAA1999

出版資料:155頁,定價24.95美元

ISBN0-88385-718-9

       在許多人的心目中,阿基米德可能是人類歷史上最偉大的數學家之一,但是,您知道他到底幹過哪些好事嗎?我們從小聽過的故事可能不完全是真的。他可能沒說過要用槓桿舉起地球,可能沒有光著屁股喊「Eureka!」可能他也不曾因為斥責羅馬士兵採到他畫的圓而惹來殺身之禍。

        當然,這些流傳已久的故事可以用來引起學生學習的動機,增加學習的趣味。但是若是您身為一名教師,特別是數學、科學或歷史的教師,我想您可能希望去了解阿基米德之所以偉大的真正原因。關於阿基米德,最經典的學術論著是英國學者Thomas Heath的著作,但若您沒時間,這本Stein的書可能是不錯的選擇。

        阿基米德有十多本著作被保留傳到後世。在本書中,Stein解釋為何我們長說的那些故事不大可信。大部分的篇幅中作者盡量地以貼近阿基米德本身論述的手法來介紹阿基米德在數學上的貢獻。

四到五章是關於他的《方法》一書。第四章詳盡地記載那記錄這個著作的羊皮紙如何在二十世紀初的君士坦丁堡戲劇化地被發現,以及同樣戲劇化地在1998年的拍賣場重出江湖。第五章則是說明羊皮紙上阿基米德的方法是如何地與近代微積分相似。

第六和七章敘述阿基米德關於拋物線的工作,十一章則是關於求π的進似值。

總體來說,這是一本數學份量頗重的書,適合對數學有重口味或對古希臘數學史有興趣的讀者。

 

附註一:本篇推介改寫自MAA線上書評專欄 “Read This” Ed Sandifer的文章。

附註二:本書有中文譯本:阿基米德幹了什麼好事!(陳可崗翻譯),台北:天下文化出版,2004年。

   

 

 



            書評:《圓的歷史:數學推理與物理世界》

台師大數學系碩士班研究生 張復凱

書名:圓的歷史:數學推理與物理世界(譯自A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe

作者:澤布羅夫斯基 (Ernest Zebrowski, Jr.)

譯者:李大強

出版地:北京,北京理工大學出版社

出版日期:20038

頁數:219

定價:16元(人民幣)

ISBN7-5640-0148-8

 

炎炎夏日,大家常常會到海邊吹吹風、玩玩水,同時也順便欣賞波濤洶湧或是浪花朵朵的美麗海景。就在同樣的情境下,本書作者澤布羅夫斯基卻有了不同於一般人的體會。在他眼中出現的,不僅是這些海浪的壯觀,更看到了「圓」。他認為,「所有這些現象可以用數學方程式描述─至少可以近似地描述。歸根結底,這些方程式立足於關於圓的幾何知識。」另外,作者亦指出,若是讀者想和他一樣看到這些圓的存在,便得要足夠用「心」。筆者希望也能以同樣的精神,用「心」瞧瞧本書的內容。

首先,在序中,作者開章明義地指出《圓的歷史》並非一部一般認知下的歷史著作,而是藉由圓,來展現本書的副標─數學推理和物理世界。於是,綜觀全書,我們將發現「小」到探討原子的第十一章,「大」到探討宇宙的第十二章,全都是在物理和數學間「振動」(這是本書第九章)。那麼「歷史」呢?如果歷史不是本書的重點,那又為何書名是《圓的「歷史」》呢?這又與大海有著「小小的」關聯。作者在「處於海濱,雙足浸沒於水中」時,明白了我們所擁有的知識都是歷史的一部分,也正如同歌德所言:「一門科學的歷史就是該門科學本身。」所以說,書名中「歷史」二字,是採用最廣義的方式來解讀。因此,若是讀者把此書當作一本典型的數學史來閱讀,或是聚焦於「π的歷史」,可能會因只在第一章「探索圓周率」中找到熟悉的圓周率歷史,而「怒斥」文不對題。

在了解了本書的旨意後,讓筆者帶大家逐章看看本書的內容。

第一章:「探索圓周率」。從計算圓周率π的歷史中,看到了由測量估算、多邊形逼近、到數學式計算的演進。若是以物理世界和數學推理的雙重角度俯視時,則會發現整個過程從永不精確的測量估算,在數學推理下逐漸「昇華」。這些物理世界的圓也就在圓周率π的「穿針引線」下,與「真實」的圓緊密連結─當周長和直徑的比值越接近π,也就越接近「真實」的圓。

第二章:「滾筒、輪子和軸承」。圓最實際和直接的運用,是作為一種運輸工具的形體。像是古埃及金字塔的建造過程中,便極有可能利用改良的圓形滾筒搬運建材。至於今日交通工具中的輪子,雖然很早就被發明,但因固定輪軸的軸承無法承受使用時的磨擦力,所以直到技術進步,做出了夠「圓」的軸承後,輪子或風車等工具才得以順利使用。另外,在垂直運輸方面,我們所熟知的動滑輪、定滑輪,也都因圓形的結構,產生更省力、更便利的效果。

第三章:「星空中的時鐘」。從地球觀察天空,可以發現一大堆運行軌跡近似於圓形的星球,其中又以太陽和月亮與人類生活最為密切。人們利用這兩個星球的運行周期,定出了日和月的時間長短,再因應各個文化而制訂出所需的曆法。

第四章:「數學與物理世界」。公元五百多年前,畢達哥拉斯在觀察到和諧音調的琴弦長度與分數的關聯,以及在其他數學與物理世界相關的事證下,產生了「整個宇宙的本質在於數字模式」的基本信仰。狂熱的信仰下,畢氏學派堅信大自然及所有宇宙真理─甚至像是美或正義等─都可還原為數目。事實上,現實生活中,像是計數、測量乃至於幾何,一方面符合了畢氏學派的信仰,另一方面也表露出這種極端信仰的缺陷。

計數看似純正無誤,但因為牽涉到邊界、定義和分類,所以無法達到「完全真實」,這說明了「脫離經驗背景的數字是無意義的」。至於測量,我們知道無法完全精準,所以「脫離實際測量的純推理的過分迷信也很容易把我們引入歧途」。那麼幾何呢?如作者所言,歐氏幾何以理想化的抽象模型用於自然對象時,「頻繁地發現模型與對象相符,當然也同樣頻繁地發現模型與對象不相符」。於是,探索物理世界的歷程中,將不斷受限於觀察及數學原理的不精確。然而,也因掌握了這些不確定,數學原理依舊能適當地使用。

第五章:「探索地球」。探索地球時,可以發現一些特殊的圓。像是在觀察日照時,可以找到赤道、北迴歸線、南迴歸線、北極圈和南極圈這幾個特殊的圓。當進一步想藉此作為地理定位時,在無法全靠日照判斷的情況下,人們只好自立自強,利用相對的時間計算出所在的經度,並藉由經、緯度解決了定位的問題。有趣的是,討論經、緯線時,都是將地球視為完美的球體,但當我們從所處的生活環境觀察時,山峰和深谷的壯麗卻足以「斷定地球不可能是一個完美的球體」。

第六章:「平面與空間」。本章主要在探討面積與體積的性質和關聯。從測量、計算圓面積的過程中,除了引出了「化圓為方」這個大問題外,也因直徑平方和面積成正比,而出現了水管口徑與排水量和披薩尺寸與實際大小的有趣問題。至於表面積和體積的部分,則因球體的特殊地位─固定體積下表面積最小,所以生活中要做出一定容量的容器時,圓和球的使用最能節省材料。另外,作者特別提到《格列佛遊記》中的一段故事,並利用所討論的面積和體積的關係,說明故事中的不合理。

第七章:「天球」。公元前三百多年,天文學家歐多克斯提出地心說。這樣的天體運行理論,在亞里斯多德的支持下,成為了當時天文學的主流。而整個地心說的發展,更在托勒密提出本輪的概念時,達到了最高峰。至於地動說,從公元前四百多年的阿納克薩哥拉提出後,一直要到哥白尼的出現,才又再度「復活」。加上開普勒利用第谷的觀測資料所提出的三大定律,便大致形成了今日我們所認定的天球運作關係。

第八章:「從圓錐曲線到引力」。公元兩百多年前,阿波羅尼斯(Apollonius of Perga)描述了橢圓、拋物線、雙曲線這些圓錐曲線。不過,當時尚未把這些圓錐曲線與物理世界聯結。後來,伽利略發現彈道是拋物線,開普勒發現行星軌道是橢圓,至於雙曲線,則直到牛頓的時代,才與自然法則有所聯結。這些圓錐曲線與物理現象的結合,是善用解析幾何的成果。藉著代數和幾何的連結,以及各種坐標系的靈活運用,使相關研究得以順利進行。像是牛頓,便藉此發展出萬有引力的觀念,並利用萬有引力的數學式,推測出慧星的運動軌跡是雙曲線。最後,作者從多體問題指出:天體軌道的「不完美」,反讓我們得到關於遙遠天體的知識。也就是說,追求關於圓的「完美」知識時,竟會發現很多知識「來源於探索使圓(或其他圓錐曲線)不完美的原因」。

第九章:「振動」。第三章介紹了利用天文現象的周期性制定曆法。當吾人想進一步把這些周期化分為更小的時間單位時,便再度考驗人類的智慧。從利用蠟燭、油燈的燃燒,到水鐘的發明,最後是機械和電子時鐘的出現。一旦涉及到時鐘的精確度時,鐘擺便成了研究的重心,其中,伽利略和惠更斯的研究貢獻良多。另一方面,法國數學、物理學家傅里葉則把包括鐘擺的簡諧運動及其他振盪,還原為一系列的正弦和餘弦函數,他所建立的傅里葉級數則可視為一系列圓周運動疊加的投影。

第十章:「波」。不論是水波、地震波或是光波、電磁波,由於波的週期性,正如第九章所提到的,皆可作傅里葉分析。此外,這些光波的研究,更引發了愛因斯坦的相對論,這項偉大的研究對時間與空間的概念產生了革命性的突破。

第十一章:「人造結構與天然結構」。建築的歷史中,人類從試錯法開始,嘗試各類的建築結構。一旦成功了,便視其為神或大自然所喜愛。然而,隨著幾何學的研究發展,人類漸漸掌握了分析建築狀況的方法,建築的技術也就更上一層樓。除了這些人造結構外,自然界的萬事萬物,小到原子,大到宇宙,也都有其天然的結構。「人類在進化過程中形成了感受和操縱這些天然的幾何結構的本能,我們可以輕而易舉地應付複雜的幾何對象。」因此,造就了人類在生存競爭上的優勢。

第十二章:「真實的宇宙與猜想的宇宙」。首先,作者區分數學與物理間的差別,再以中微子為例,來探討物理實在的問題。最終,作者則指出了他對數學與物理世界的看法。他認為,人腦與宇宙的一致,使腦中的數學思考模式有助於理解物理世界的各種現象。然而,面對無法解釋的物理現象,會不會也因此而使「數學應用於科學的範圍存在一個理論上的極限」?本書的最後一句話─「在我們可以明確地評價這個前提之前,我們至少還要進行幾個世紀的不懈努力,用數學探索宇宙的奥秘。」─或許是最「完美」的答案。

最後,對於全書的綜合評論,筆者將從「知識」和「能力」這兩個面向來說明。首先,在「知識」的面向上,本書涵蓋了從原子到宇宙、從古埃及到近代的豐富知識,想必會讓讀者們大飽眼福。不過,倒是要注意書中出現的一些錯誤。像是在描述畢氏學派時,便出了大錯:本書第四章中提到「畢達哥拉斯學派的一個重要成就是證明了既非整數也非分數的數的存在……這個發現是畢達哥拉斯學派的數字命理學的基礎」。這樣的敘述與史實恰好相反。我們知道,無理數的發現嚴重威脅畢氏學派,甚至傳說中,洩露這項秘密的人還遭受到處死的懲罰。筆者之所以認為這是個大錯誤,是因為作者在全書主軸─數學推理與物理現象─上打轉時,便是圍繞在畢氏學派「整個宇宙的本質在於數字模式」的信仰上論述。然而,竟對畢氏學派的描述上出了這麼大的紕漏,實在是該「打屁股」。至於書中其他處的筆誤,筆者倒是認為大都無傷大雅。

接著,在關於「能力」的面向上,筆者則要讚賞本書對提昇讀者思考能力的助益。特別是對於從未接觸過數學哲學的讀者,書中所描述的數學與物理世界的種種「接觸」及「衝突」,必定會引起讀者對數學本質的思索及探尋。也就在作者提出的一個又一個的數學哲學問題上,我相信,感到「頭大」的反應,勢必能增加讀者的思考能力,也讓整個閱讀的過程不致於太過「平坦」。

整體來說,筆者認為,本書在多元而豐富的知識內容中夾雜著數學哲學,是十分成功的科普寫作方式。這將使讀者在舒服地吸收書中「平坦」的知識時,遇到一些哲學的「小釘子」,藉此改變讀者被動吸收的習性,而在閱讀的過程中扮演更主動的角色。此外,作者在數學、物理知識與哲學的比例上控制得宜,所以,應不致於使讀者礙於過多問題而產生閱讀上的困擾,這當然也就十分符合作者所設定的讀者─「很多沒有經過嚴格的數學和科學訓練的讀者希望對那些通過數學手段達到的科學真理有所了解,這些讀者是我服務的對象」。我想,這也是所有科普書籍所應努力的方向吧!