老課題  新視角

——評查有良等《傑出數學家秦九韶》

中國科學院自然科學史研究所 郭書春教授

秦九韶（約1202——約1261）是南宋大數學家，中國傳統數學的代表人物之一，他的《數書九章》1（1247年）也是中國古代最重要的數學著作之一。其中的大衍總數術系統解決了一次同餘式組問題，而所提出的正負開方術則將以賈憲創造的增乘開方法爲主導的求解一元高次方程正根的方法（其求解程序類似於現今中學數學教科書中的綜合除法）發展到十分完備的程度，都超前其他文化傳統同類成果數百年，2近現代數學大師歐拉（L. Euler, 1707∼1783）、高斯（C. F. Gauss, 1777∼1855）才達到或超過秦九韶前一項的水平。3

清乾嘉時期，中國傳統數學復興，《數書九章》成爲人們研究的重要課題。20世紀，中國數學史學科的奠基者李儼（1892∼1963）、錢寶琮（1892∼1974）和嚴敦傑（1917∼1988）等都對秦九韶和《數書九章》作過深入研究，影響最大的當推錢寶琮1966年發表在《宋元數學史論文集》4上的《秦九韶〈數書九章〉研究》。本來，此後在國內科學史界完全有可能出現一個研究秦九韶和宋元數學的高潮，可是，隨即發生的“十年動亂”中斷了學術發展的正常進程。該文在國內真正發揮作用，已是十年之後的事了。牆內開花牆外香，在該文的推動下，比利時學者U. Libbrecht（李倍始）深入研究了《數書九章》，並撰著了《十三世紀的中國數學——秦九韶的〈數書九章〉》（1973年），使秦九韶的數學貢獻爲西方學者瞭解。570年代末以來，國內儘管有不少學者注重秦九韶和《數書九章》的研究，吳文俊還主編了論文集《秦九韶與〈數書九章〉》6及《中國數學史大系》。在後者的“兩宋”卷（沈康身主編）7中，秦九韶佔據了主要的篇幅。然而，20餘年來國內沒有一部關於秦九韶的專著出版。從這個意義上說，查有良、吳永娣、周步駿、陳更生所著的《傑出數學家秦九韶》8填補了中國數學史研究的一個空白。

爲一個數學家作傳，除了必須闡述他的數學成就之外，最重要的是研究他的思想，包括數學思想和爲人、爲學、處世的信念。而一個數學家的思想，最可靠的資料，莫過於他自己寫的文字，尤其是爲自己著作寫的序。秦九韶的《數書九章序》在反映作者思想之準確、全面、深刻上，在中國古代數學著作的序中，可以說無有居其右者。很遺憾，20世紀關於秦九韶的大多數研究，都未全面考察他的《數書九章序》。人們大多借助秦序考察秦九韶的履歷，他對數學“可以通神明，順性命”、“經世務，類萬物”這兩種作用的認識，以及他的“數與道非二本”的著名論斷等方面；並且，這些研究，大多只關注秦序的正文，而對最能反映秦九韶的爲人、爲學和處世態度的“系”，即九首四言詩，除了偶爾提到“數術之傳，以實爲體”之外，都略而不論。實際上，這九首四言詩反映了秦九韶關心國計民生，反對官府橫徵暴斂，反對官吏欺上瞞下，反對大商賈囤積居奇，反對豪強商賈不顧人民死活的兼併，主張施仁政，講恕道的愛民思想；憂國憂民，主張抗金、抗蒙的愛國思想；以及重視數學在國民經濟，施仁政，以及抗敵戰爭中的重要作用的思想。9《中國數學史大系·兩宋》用了三編十章437頁的篇幅10論述秦九韶的身世、學術思想、數學成就、所反映的南宋社會、與國外同類著作的比較，以及國內外關於秦九韶的研究等，是中國學者七百多年間對秦九韶最詳盡的研究，旁徵博引，資料豐富，有許多獨到的見解，具有相當高的學術價值。該書引用了秦序。然而，不知爲什麽，該書在引用時作了大量刪節而未加說明。比如，在正文中刪去了“聖人神之，言而遺其粗；常人昧之,由而莫之覺。要其歸，則數與道非二本也”、“嗚呼！樂有制氏，僅記鏘鏘，而謂與天地同和者，止於是可乎”、“太乙、壬、甲，謂之三式”、“即周官九數”、“後世興事，造始鮮能考度。浸浸乎天紀人事之殽缺矣，可不求其故哉？”等語和許商、乘馬延年兩位數學家；在九首四言詩中，刪去了“大衍第一”中的“昆崙旁礴，道本虛一”、“數術之傳，以實爲體”、“其書《九章》，唯茲弗紀”，“天時第二”中的“以滋以生”、“積以器移，憂喜皆非”，“田域第三”中的“魁隗粒民，甄度四海。蒼姬井之，仁政攸在”，“測望第四”中的“夕桀”、“既詳，揆之罔越”、“形格勢禁”，“賦役第五”中的“以待百事。畡田經入”，“錢谷第六”中的“吏緣爲欺，上下俱憚”，“營建第七”中的“有國有家，茲焉取則”，“軍旅第八”中的“營應規矩，其將莫當。師中之吉，惟智、仁、勇”等語，凡200餘字。這些刪節，造成前後不連貫，而且，有的刪節加了刪節號，有的則未加，會給人造成原文如此的誤解。更重要的，不難看出，刪去的文字中有秦九韶關於數學的起源、數學流變的動因、數學方法的重要性的看法，數學與哲學的關係，探求數學方法的根據的重要性，《數書九章》與《九章算術》的區別，秦九韶反對官吏欺上瞞下，主張施仁政的思想等重要內容。不言而喻，刪去了秦九韶這些十分重要的論述，便很難全面、準確地刻畫他的思想。而且，依自己的好惡，不加說明地刪節古文，是不可取的。《傑出數學家秦九韶》一書則完整地引用了《數書九章序》並進行了翻譯。這是關於秦九韶的傳記中第一次完整地錄入《數書九章序》。一部不到140頁的小冊子，關於《數書九章序》的篇幅達12頁多（不計後文的引用），幾近全書的十分之一，可見作者對秦序的重視。儘管此書有的句子的翻譯有值得商榷之處，儘管像《中國數學史大系·兩宋》一樣，此書既回避了劉克莊、11周密12對秦九韶的指責，也沒有從這九首四言詩出發對秦九韶的人品進行評論，不過，人們只要不先入爲主，不帶偏見，還是可以根據這九首四言詩的原文及譯文得出自己的結論的。

應該說，在對秦九韶和《數書九章》的研究中，關於其數學成就，儘管有的問題，比如大衍總數術（一次同餘式組解法）中的求“定數”問題，學術界歧見紛紜，至今沒有令人滿意的解決，然而，總的說來，還是比較深入的。而對於秦九韶的人文方面，比如他的履歷、人品、成才之道、數學觀、思想方法等方面，相對說來則比較薄弱，有的甚至還是空白。《傑出數學家秦九韶》一書在秦九韶的成才之道、數學觀、思想方法等方面有若干獨到的見解。該書根據科學家成才的一般規律，結合秦九韶的具體情況，將他的成才之道歸結爲三個方面：“善於學習，兼收並蓄”，不僅青少年時代善於向各方人士學習，“而且成人之後，做地方官時一直在繼續學習”；“充分利用他的社會環境，樂群、親師、取友，廣交有識之士”，既“利用好‘順境’”，又“利用好‘逆境’”；“對數學有高度的興趣，興趣是重要的動力”，他“‘聚焦’於數學領域之中，從而成爲學識淵博，業有專攻的學者”。這些看法發前人所未發，對今人也頗有教益。

中國數學史界對秦九韶的“數與道非二本”的命題常有微詞。錢寶琮指出：“南宋朱熹篤信北宋理學家們的象數說，他所撰的《易本義》就以這一套充滿數字神秘主義的圖放在書的前面。從此以後一般儒者受了這位正宗理學家的影響，認爲道學與數學的確有著微妙的聯繫。秦九韶所說‘數與道非二本也’，反映了南宋末期這種唯心主義思想。”13這是將“通神明，順性命”完全看成神秘的東西，並且將“道”等同於“道學”而得出的看法。實際上，鬼、神等概念在它們産生的早期，確實有人格的意義。但是，在《周易》中，其人格的意義逐漸減弱，變成了哲學術語。到東漢王充提出“陰氣逆物而歸，故謂之鬼；陽氣導物而生，故謂之神”，14已沒有人格鬼神的意義。北宋張載（1020∼1078）則以氣的運動變化的性能解釋神。他說：“氣有陰陽，推行有漸爲化，合一不測爲神。”15他又說：“鬼神者，二氣之良能也。”16將鬼神視爲氣運動變化的兩種形式，揚棄了鬼神有靈魂的涵義。南宋朱熹（1130∼1200）的看法與張載類似。至於性命，則是萬物的天賦與稟受。因此，秦九韶所說的“通神明，順性命”，就是通達陰陽二氣的運動變化，順乎自然。17實際上，“通神明，順性命”和“經世務，類萬物”是中國傳統思想對數學作用的基本看法。《周易·繋辭下》雲：古者包犧氏“始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情”。18《漢書·律曆志》雲：“數者，一、十、百、萬也，所以算數事物，順性命之理也。”19劉徽《九章算術注序》在引用了《繋辭》的話之後接著說：“作九九之術以合六爻之變”，將 “通神明”，“類萬物”作爲數學的兩項作用。20不言而喻，秦九韶的話是由《周易·繋辭》、《漢書·律曆志》和劉徽《九章算術注序》糅合衍變而成的。《傑出數學家秦九韶》指出：“秦九韶認爲‘數與道非二本也’，其見解是深刻的。”指出秦九韶的數學觀是“廣義的數學觀”，他不僅認爲數學的應用，即他稱之爲“外算”是重要的，同樣，他認爲“內算”也是十分重要的。

《傑出數學家秦九韶》認爲，與秦九韶的“廣義的數學觀”相應，他的方法論則是“一般的方法論”。然後，分九條闡述了秦九韶的方法論。一是數學應用的普遍性。二是數學與哲學的一致性。三是繼承與發展的必要性。四是“內算”與“外算”的統一性。五是應用數學建模的綜合方法。六是不斷虛心學習，方能有所創新。七是“問答術草圖”的思維模式。八是數學與文學的高度整合。九是數學原理一旦發現，必須公開。我們僅就其中二條的觀點談一些看法。

數學建模是近幾十年才提出的一種數學方法，但是，它的雛形存在於古代數學著作中。《九章算術》將若干特定的數學問題，經過概括、綜合，劃分成不同的類型，簡化成不同的“數學模式”，然後對不同的數學模式，根據其數量關係的本質屬性，通過歸納、抽象，提出不同的具有高度抽象性、普適性、準確性的術文，再應用到新的同類問題中，去求解這些問題。這實際上就是數學建模的思想。《數書九章》也是這樣。《傑出數學家秦九韶》認爲“秦九韶將《周易》中記載的‘蓍草占卜’的過程，抽象爲‘數學模式’，然後給予一般性的求解。”作者從秦九韶用“大衍術”這一“數學模式”解決了“大衍類”9個、“天時類”1個凡10個不同對象的問題，指出“秦九韶是‘數學建模’的先驅者”。從“數學建模”的思想研究《數書九章》和中國傳統數學著作的解題方法，是前人沒有觸及的新視角。

關於中國古代數學著作中術文與題目的關係，學術界流傳著許多似是而非的說法，比如說這些著作，特別是《九章算術》，每一個問題都採取以題目、答案、術文爲序的形式，並且是一題、一答、一術，便是一例。這不符合實際情況。實際上，只要稍微讀一下《九章算術》，就會發現，它的主體部分，尤其是卷一、二、三、四、七，或者是幾個題目前有一條非常抽象的總術，這種題目中只有題設、答案，沒有術文；或者是先給出一條非常抽象的總術，後列出若干題目，這種題目中有題設、答案，還有術文，而術文是總術的應用。21總之，《九章算術》的主體部分是以術文爲中心的，題目只是術文的例題。然而後來的數學著作基本上沒有繼承這個傳統。《孫子算經》、《五曹算經》等都是一題、一答、一術。《數書九章》也是一題、一答、一術，然而它與《孫子算經》等有根本的不同。《孫子算經》等著作中沒有一條抽象性術文，都是計算細草。而《數書九章》中秦九韶最得意的“大衍總數術”，儘管附著於“大衍”類的第一題“蓍卦發微”問，卻是以非常抽象的形式給出的。秦九韶的另一重要成就“正負開方術”，由於太複雜，囿於當時的表達方式，只能以正負開三乘方術的形式附著於“田域”類的第一題“尖田求積”問，最後卻注明“後篇效此”，說明是普遍方法。這有點類似於《九章算術》方程章方程術與其他問題的關係。《傑出數學家秦九韶》根據秦九韶的提示“設以問答”、“以擬於用”、“立術具草”、“以圖發之”分析了問題、術文細草和圖的關係，指出：《數書九章》的邏輯思維結構是：

       提出問題 給出答案 建構模式 寫出程序

                                  

間       以      圖      示

其中建構模式就是術文，程序就是細草。本書還分析了採用這種邏輯思維結構最重要的優點是：(1)從問題出發，生動具體，容易明白；(2)給出答案，目標落實，可資應用；(3)論述解法，建構模式，舉一反三；(4)寫出程序，過程清晰，不易失傳；(5)作出圖示，一目了然，便於思維。”這實際上是秦九韶數學建模方法的邏輯結構，其論述是很精闢的。

        我們表彰《傑出數學家秦九韶》的長處時，也應指出某些不足，這裏只談一下對《數書九章序》誤譯的問題。不考慮因衍脫舛誤而造成的困難，那麽，序跋是古算經中最難讀的部分。秦九韶的《數書九章序》22更是難中之難。除了古今漢語的差異外，還因爲秦九韶不僅數學造詣深邃，而且他的文史知識極爲廣博，用典甚多。作者在翻譯秦九韶《數書九章序》時是下了工夫的，用新詩的形式翻譯關於數學的古詩，是一種新的嘗試，更是難能可貴。但是仍有某些誤譯。比如，鄭元，就是鄭玄，東漢末大經學家，通《九章算術》，注《周禮》“九數”，引用鄭衆之說，歷來被中國數學史界奉爲圭臬。“元”系《宜稼堂叢書》本避康熙帝名（玄燁）諱而改，《四庫全書》本未改。本書譯爲“鄭興、鄭衆”，似源於《〈數書九章〉今譯及研究》的錯誤注記。23此外，“不愆於成”，是說不超過既定的計劃。愆，超過。《說文解字·心部》：“愆，過也。”《左傳·宣公十一年》記載令尹蔿艾獵城沂事，“事三旬而成，不愆於素。”杜預注曰：“不過素所慮之期也。”24成，既定的。“其書《九章》，惟茲弗記”，《九章》是《九章算術》，不是《數書九章》。這是說：那本《九章算術》，只有這種方法（大衍總數術）沒有記載，也就是秦序的正文所說的“獨大衍法，不載《九章》”。 “積以器移”是指秦九韶發現各州縣儘管有測雨器、量雪器，“但知以盆中之水爲得雨之數，不知器形不同則受雨多少亦異”。“蒼姬井之”，指西周實行井田制。蒼姬，周代。蒼，蒼神，蒼龍。《春秋元命包》：“殷時五星聚於房，房者蒼神之精，周據而興。”25周人姬姓。周人先祖棄“號曰後稷，別姓姬氏”。26井之，實行井田制，是殷、周時代的一種土地制度。《孟子·藤文公上》：“方里而井，井九百畝。其中爲公田，八家皆私百畝，同養公田。”27 “稅租以算”，以算賦計算租稅。算是漢代賦稅的名稱，有按人頭徵收的口錢和對商人、手工業者、高利貸者徵收的算緡錢，皆以“算”爲單位。《史記·平准書》：“諸賈人末作貰貸買賣，居邑稽諸物，及商以取利者，雖無市籍，各以其物自占，率緡錢二千而一算，諸作有租及鑄，率緡錢四千一算，非吏比者，北邊騎士，軺車以一算；商賈人軺車二算；船五丈以上一算。”28《漢書·高帝紀》：“（四年）八月，初爲算賦。”顔師古注：“如淳曰：《漢儀注》：民年十五以上至六十五出賦錢，人百二十爲一算，爲治庫兵車馬。”29 “府史一二絫之”，“絫”，本書誤作“系”，大約是受了《中國數學史大系·兩宋》的影響。府史，古時管理財貨、文書、出納的小吏。司馬光《知人論》：“謹蓋藏，吝出納，治文書，精會計，此府史之職也。”“一二”，猶“一一”。絫，堆疊，積聚。後作“累”。此處指府史之流沒有起碼的數學知識，只會通過一一累加進行計算。以上这些古文的譯文都似欠妥當。如能再版，希望改正。

        瑕不掩瑜。總的說來，《傑出數學家秦九韶》是一部好書，是較好地完成了“供高中生作爲研究性課程使用”的任務的。本書也是各級數學教師擴充自己知識的優秀讀物，當然，愛好中國數學史的各界人士茶餘飯後閱讀，也是適宜的。

註解：

1. [南宋]秦九韶：《數書九章》，清《宜稼堂叢書》本（1842年），影印收入郭書春主編：《中國科學技術典籍通彙》〈數學卷〉第1冊，第439∼645頁，鄭州：河南教育出版社，1993年。《數書九章》在《永樂大典》中稱爲《數學九章》，《四庫全書》本本此，1986年臺北商務印書館影印文淵閣本，第797冊第323∼613頁。據秦九韶的同代人陳振孫《直齋書錄解題》說此書名《數術》，稍晚的周密（1232∼約1298）《癸辛雜識續集》稱爲《數學大略》。

2. 錢寶琮：《秦九韶〈數書九章〉研究》。錢寶琮等：《宋元數學史論文集》，北京：科學出版社，1966年，第60∼103頁。又，郭書春、劉鈍主編：《李儼錢寶琮科學史全集》第9卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年，第614∼665頁。

3. U. Libbrecht（[比利時]李倍始）, Chinese Mathematiques in the Thirteeth Century ,The Shu-shu-chiu-chang of Chin Chiu-shao, Cambridge, Massachustts and London, England, the M.I.T. press, 1973.

4. 錢寶琮等：《宋元數學史論文集》。北京：科學出版社，1966年。

5. 受《宋元數學史論文集》的影響，除U. Libbrecht（李倍始）研究秦九韶的《數書九章》外，20世紀70—80年代，新加坡的藍麗蓉研究了《楊輝算法》，澳大利亞的謝元作（John. Hoe）研究了朱世傑的《四元玉鑒》，法國K. Chemla（林力娜）研究了李冶的《測元海鏡》。

6. 吳文俊主編：《秦九韶與〈數書九章〉》。北京：北京師範大學出版社，1987年。

7. 沈康身主編：《中國數學史大系·兩宋》。北京師範大學出版社，2000年。

8. 查有良、吳永娣、周步駿、陳更生：《傑出數學家秦九韶》。北京：科學出版社，2003年。第1∼144頁。本文引自此書者，不再注。

9. 郭書春：《秦九韶——將數學進之於道》。李醒民主編：《科學巨星（6）》。西安：陝西人民教育出版社，1995年。第62∼109頁。

10. 同注7，第115∼551頁。

11. [南宋]劉克莊：《繳秦九韶知臨江軍奏狀》。《後村先生大全集》卷81，掖垣駁繳門。賜硯堂抄本。上海：商務印書館，1929。

12. [南宋]周密：《癸辛雜識續集》卷下。《四庫全書》文淵閣本第1040冊第88∼89頁。臺北：商務印書館，1986年。又見《中國科學技術典籍通彙·數學卷》第1冊，第647∼648頁。鄭州：河南教育出版社，1993年。劉克莊和周密二文對秦九韶極盡攻擊之能事。

13. 同注2。

14. [東漢]王充：《論衡·論死》。

15. [北宋]張載：《易說》。

16. [北宋]張載：《正蒙·太和》。《張子全書》。《四庫全書》文淵閣本。臺北：商務印書館，1985年。第697冊，第99頁。

17. 同注9。

18. 《周易·繋辭下》。（《十三經註疏》。中華書局，1980年。第86頁。）

19. [東漢]班固等：《漢書·律曆志》。中華書局，1962年。第956頁。

20. [魏]劉徽：《九章算術注序》。《九章算術》，郭書春滙校。瀋陽：遼寧教育出版社，1990年。第177頁。在滙校《九章算術》中，劉徽序的標題與此前各版《九章算術》一樣，爲《劉徽九章算術注原序》。自《九章算術》譯注（遼寧教育出版社，1998年）開始，正名爲《九章算術注序》。滙校《九章算術》（增補版），遼寧教育出版社、臺灣九章出版社，2004年，第1頁。

21. 郭書春：《關於中國傳統數學的“術”》。高小山、李文林、虞言林主編：《數學與數學機械化》。濟南：山東教育出版社，2001年。第441∼456頁。

22. 筆者已發表《秦九韶<數書九章序>注釋》，湖州師範學院學報第26卷第1期第36-44頁。

23. 周冠文等：《〈數書九章〉今譯及研究》。貴陽：貴州教育出版社，1992年。第3頁。

24. [戰國]左丘明：《左傳·宣公十一年》。《十三經註疏》。中華書局，1980年。第1875頁。

25. 轉引自《漢語大詞典》，第9冊，第506頁。上海：漢語大詞典出版社，1992年。

26. [西漢]司馬遷：《史記·周本紀》。北京：中華書局，1959年。第112頁。

27. [戰國]孟軻：《孟子·藤文公上》。《十三經註疏》。中華書局，1980年。第2703頁。

28. [西漢]司馬遷：《史記·平准書》。北京：中華書局，1959年。

29. [東漢]班固等：《漢書·高帝紀》。北京：中華書局，1962年。