集繪畫與數學於一身－法蘭契斯卡

                                                    蘭陽女中 陳敏皓老師

    文藝復興通常是指15世紀末到16世紀初萌芽於義大利佛羅倫斯（翡冷翠），這短短約30年期間，稱為「文藝復興全盛期」。雖然只有30年的光陰，但此時期的美術成就卻被視為與古代希臘、羅馬並列為西洋藝術完成期，同時也是科學的萌芽期。這時期的藝術家對於自己的天賦有清楚的自覺與認識，他們依本身的個性、才能、與天賦，充分在藝術創作中發揮，他們不只仿效古希臘、羅馬的風格，更強調人文主義與寫實風格，同時重視理論與事實合一的精神，不僅是成果豐碩並且有凌駕古代的藝術成就。這些藝術家（大部分是義大利人）不僅沉迷於藝術工作，更重要是他們將科學與數學知識落實在許多藝術作品中，他們有一個共同的藝術願望就是“藝術的呈現方式應該更回歸真實性”的強烈想法，也就是因為如此才使幾何概念與透視理論運用在許多歷史經典繪畫作品中。

在西洋藝術史與數學史中，法蘭契斯卡（Piero della Franscesca，1412-1492）為義大利人，曾經被人遺忘達四百人之久，直到20世紀初才又為人所重視。如今他的藝術成就卻公認為歐洲文藝復興的先驅，其繪畫風格與幾何概念的成就，影響了後來的達文西（Leonardo da Vinci，1452-1519），¹而他的數學比例的運用也出現拉斐爾（Raphael Raffaelo Sanzio，1483-1520）在的作品中。²法蘭契斯卡與拉斐爾的父親桑提（Santi Giovanni，1453-1494）相識，桑提極為推崇這位來自聖墓鎮的藝術家，可根據他的《押韻編年史》中得知，這段父執輩的交往過程，對他那位才華洋溢的兒子拉斐爾影響極大。法蘭契斯卡不但是一位畫家，更是一位數學理論家，瓦薩里（Vasari Giorgio，1511-1574）曾在他的《最優秀的畫家、雕塑家與建築師生平（Lives of the most famous painters）》中寫道，³法蘭契斯卡關於幾何學與透視法的論述，使他足以與其當代的數學家相提並論，因為他著有中世紀有名的幾何學與透視法的專書《繪畫透視學》。

法蘭契斯卡從小對於數學就十分著迷，身為商人之子的他，出生於佛羅倫斯附近的聖塞波克（Sansepolcro），他的一生的大部分時光都在此度過。他在受完教育後，便將算術的概念應用於家族事業中，可從他所著的《計算手冊（Abacus treatise）》一書知曉。此書為法蘭契斯卡的第一本數學著作，本書與13世紀流傳於歐洲的《計算書（Book on Abacus）》應該是本質相同的，⁴《計算手冊》約成書於1460年代，書中有簡單的算術問題及分數題目，同時還有許多標準的級數問題，是以代數為基礎的書籍。此外，書中還包含三度空間的立體幾何問題，並且是當時四則運算的參考手冊，眾所皆知運算技術的成熟是有利於當時商業活動的推行。十五世紀義大利的許多港口是國際貿易的必經之地，因此，商人必須面對相當許多來自不同國家的度量衡制度，並且使用許多不同的的幣值來換算與交易，也正因為如此，他們需要快速且有效的計算，同時避免錯誤，所以，整數與分數運算技術的熟練是極為重要的。⁵

法蘭契斯卡不但是當代優秀的數學家，而且其藝術領域的造詣更是不遑多讓，他在義大利佛羅倫斯以南的地區－阿累卓（Arezzo）與烏爾比諾（Urbino）等地區從事藝術創作工作，他的畫中呈現數學般完整的型式和出色的空間感，有一種不受時空限制的獨立畫風。他在佛羅倫斯尤其找到他一生創作的泉源，他的最有名的著作《繪畫透視學（On perspective for painting）》（成書於1480年代中期）是文藝復興時期第一本討論描繪空間物體的作品，現存的有拉丁文版與突斯卡尼（Tuscany）的方言版。該書是運用理性嚴謹的數學演算理論，來推論支配透視法的法則，所以，法蘭契斯卡會非常重視數學理論不是沒有道理的。此外，該書闡述如何在二度空間的繪畫與浮雕作品上，呈現三度空間的技術，其理論基礎來自一連串的數學理論與推論，部分內容來自於歐幾里得的《光學（The Optics）》一書的想法，⁷書中編排方式是按照《幾何原本（Elements）》的形式，有定理也有證明，再加上法蘭契斯卡自己的獨特見解而成的，他希望將藝術創作理論建立於視覺認知的科學基礎上。

法蘭契斯卡現存的第三本書是《五種規則形體（Short book on the five regular solids）》。根據本書，法蘭契斯卡被認為是第一個重新整理與分析五種阿基米德立體的人。⁸阿基米德立體的得名，是因西元四世紀亞歷山卓的數學家帕布斯（Pappus，290-350），⁹他把他的發現歸功於阿基米德。到了1619年，克卜勒（Johannes Kepler，1571-1630）解說十三種阿基米德立體，¹⁰皆是從五種柏拉圖立體以一種以上的正多角形畫成各面延伸出來的。在法蘭契斯卡之前，這些立體都是用文字敘述的，僅僅說明所需的多邊形的個數與形狀，而法蘭契斯卡則說明如何描繪這些立體圖形，並且把它們具體畫出來。瓦薩里曾說：「由於法蘭契斯卡強而有力的數學背景，他要比任何人都了解所有正則（regular）立體中的曲線，我們要謝謝他在命題上的闡明。」可惜，法蘭契斯卡並不是把每一個立體圖形都透視的很正確，不過，這在當時卻是一項很大的進步。當時，學者在做實用幾何時，通常都是簡要地畫出立體圖－例如，錐形是把三角形放在圓上畫出的，如圖四所示。

法蘭契斯卡的數學與藝術的成就，吸引了文藝復興時期眾多藝術家的眼光，也因此使得義大利藝術家得以在透視法與和諧比例的運用，發揮到淋漓盡致，更引發那些對於規範繪畫原則的理性考量非常重視的藝術家之注意，其中杜勒（Albrecht Dürer，1471-1528）就是一個最顯明的例子。¹¹杜勒原是德國版畫家，受到義大利的比例原則與透視概念之影響，使他的作品更形特色，他的作品是結合北方細膩與義大利理性氣氛，在當時的環境是很獨特的，他是文藝復興時期將數學與藝術結合的另一位代表人物 。杜勒發明了一個幫助他畫出比例關係和透視關係的裝置，圖五中的透視板就是杜勒裝置的簡化輔助工具。

圖五中的繪畫者讓自己的頭保持在固定的位置（注意他視線前端樹立的標記器），然後透過一個樹立的屏風向前看，所以，使得他的視覺圖像產生透視縮短現象的視角。當凝視模特兒時，也就是說，這個視角能夠使模特兒身體從頭到腳的主軸，與藝術家的視線形成一條直線，結果看到的身體較遠的部分（頭與肩膀），會顯得比實際尺寸小一些，而較近的部分（膝蓋和小腿）則會顯得大一些。杜勒在《量測的論文（Treatise on Measurement）》（1525）中曾說：

但是當偉大而附有創意的藝術家在見到這麼不合理的表現時，只有嘲笑這種人的盲目；神智清明的人憎恨那些沒有技術知識的人亂作畫，縱使他們很用心和努力。為什麼這種畫家不曉得他們自己的錯誤，唯一的理由是他們沒有學習幾何，沒有學習幾何就無法成為一位藝術家；這應該怪他們的指導者對於這種藝術的無知。

到了十六世紀，人們所知道的法蘭契斯卡是比較像數學家而非藝術家，但是，他的論文從未以他的名字在文藝復興時期從未出版過，而是以手稿方式流傳下來，因此，有一段時期是受到人們的忽視的，這也就是為什麼法蘭契斯卡不為世人所熟知的理由。但是，這不否定法蘭契斯卡在當時數學界所佔的份量，通常法蘭契斯卡的數學理論與繪畫文稿會常出現在其他人的作品中，例如：法蘭契斯卡的大部分數學理論與幾何圖形，就常出現在中世紀有名的數學家帕奇歐里（Luca Pacioli，1445-1517）的《算術大全（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita）》作品中，¹²帕奇歐里在此書中大大讚揚這位藝術家兼數學家，稱讚法蘭契斯卡將歐幾里得的幾何理論發揮到極致。此外，法蘭契斯卡的大部分阿基米德立體理論成果都以拉丁文來寫，帕奇歐里則全將它們譯成義大利文，同時編入帕奇歐里的《神聖比例（Compendio De divina proportine）》中，¹³那是於1509在威尼斯出版的，書中還包括有帕奇歐里的朋友達文西的圖解與部分法蘭契斯卡的物像作圖。在此書以前，有關於畫家所使用的比例規則一直被嚴守於畫室之中，藉由此書的推廣與影響，當時的藝術家與數學家能一窺使用比例關係的數學原理。

總之，歷史上經典繪畫作品往往是呈現歷史事件的最佳圖像文本，具有直觀性，能發揮甚至深化文化文字的作用，筆者藉由法蘭契斯卡的繪畫作品出發，從透視的觀點闡述立體概念，討論他在中世紀的數學地位，目的在於肯定法蘭契斯卡所做的數學貢獻，尤其是幾何學與透視學方面，他的原創性與開拓性值得後人致敬，也使數學的領域多了一個分支－射影幾何學。在文藝復興時期，幾何學與許多職業的關係都是密不可分的，這可徵之於中世紀英國數學羅伯特．雷科德（Roberte Recorde，1510-1558）所著的《知識之徑（The pathway to knowledge）》（1551）中的一段話：「畫家和畫匠，以及下列職業技師：刺繡者、金匠，如果他們精明的話，一定會感激學習了幾何。……用幾何來做成的，人們將會知道，藝術從未如此靈巧與神奇，人們這麼需要幾何，美妙的幾何。」所以，繪畫與數學在現今的教育體制內看起來是完全不相關的科目，在中世紀的時候卻有如一體之兩面，因此，仔細推敲藝術家在繪畫時所用的理論，便不自覺地將數學理論引進到藝術作品中，就這一點而言，法蘭契斯卡無疑是最佳代言人。

註解：

1. 達文西（Leonardo da Vinci，1452-1519）的幾何理論在他的研究中佔有重要的角色。而他對於這個論題產生興趣的由來是其友帕奇歐里(Luca Pacioli，1445-1517)的激發，帕奇歐里是十五世紀具有領導地位的數學家，著有《神聖比例》，此書對於藝術家學習透視法而言，堪稱為經典之作，達文西也曾經為此書繪製幾何圖形。

2. 拉斐爾（Raphael Raffaelo Sanzio，1483-1520）是一位義大利畫家與建築師，曾在佛羅倫斯工作，特別是在凱撒二世的邀請下前往羅馬工作，為梵諦岡宮殿內畫壁畫，作品其中的「聖體的論議」、「雅典娜的學堂」、「帊那索斯」、「三德像」最出名，通常我們將拉斐爾、達文西、米開朗基羅合稱為文藝復興三傑。

3. 瓦薩里（Vasari Giorgio，1511-1574）是文藝復興時期的畫家、建築師、作家，特別以其藝術史的著作《最優秀的畫家、雕塑家與建築師生平》而永垂不朽，瓦薩里藉此著作傳播「文藝復興－Renaissance（法文為再生之意）」這個美術概念。

4. 斐波納契（Leonardo de Pisa，1180-1256）於1202年出版了《計算書（Book on Abacus）》，本書的名銜，一直都被誤解為討論『算盤』的書籍。誠然，它直譯成英文，就是“Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的『算盤書』了。不過，由於“abacus” 的前身“abaci”在十三世紀拉丁世界中『很弔詭地』是指不利用算盤的一種計算方法。參考洪萬生 (2002).〈當斐波那契碰到孫子〉，《HPM通訊》5(11)。

5. 參考Frank J. Swetz（1987）, Capitalism And  Arithmetic ：The New Math of the 15^th Century ,Illinois：Open Court La Salle,1987.

6. 《瑪格麗塔哲學（Margarita Philosophica）》是中世紀著名的百科全書，書中包含拉丁文法、修辭學、算術、音樂、幾何學、天文學、物理學等，是當時很受歡迎的書籍。

7. 歐幾里得(325 BC- 265 BC)的《光學（The Optics）》是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等於反射角，認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。

8. 阿基米德（Archimedes，約公元前287-前212，古希臘），阿基米德是整個數學史上最偉大的數學家之一，後人對阿基米德給以極高的評價，常把他和牛頓、高斯並列為有史以來三個貢獻最大的數學家。在立體幾何圖形中，五種柏拉圖立體（正四、六、八、十二、二十面體）和十三種阿基米德立體的基礎，是立體幾何的基礎圖形，這十八種立體不僅構成建材形狀，也是化學和原子物理的核心。

9. 帕布斯（Pappus，290-350，亞歷山卓，埃及）是一位偉大的幾何學家，他的其中一個數學定理是射影幾何（projective geometry）的基礎。

10. 克卜勒（Johannes Kepler，1571-1630年），日耳曼天文學家，提出行星運動三大定律。終結傳統的周轉圓理論，開創天文的新紀元。

11. 亞柏雷希特．杜勒（Albrecht Dürer，1471-1528）是文藝復興時期優秀的畫家，他出生於紐倫堡（Nuremberg），原本被預定跟隨他父親進入珠寶界，但是，在他13歲時已表現出非凡的藝術天份，後來他去當見習畫家與木刻設計家，在1490年代，杜勒到處旅行以開拓視野，並且見識到法蘭契斯卡的數學理論。他的數學著作有《均衡的論文（Treatise on Proportions）》（1523）、《量測的論文（Treatise on Measurement）》（1525）。

       12. 帕奇歐里（Luca Pacioli，1445-1517）是中世紀有名的數學家，也是法蘭契斯卡的好友，他寫了不少的著作與論述，其中《算術大全》
       是在1494年於威尼斯出版，書中包含算術、代數、幾何、三角學等學問。帕奇歐里的一生都奉獻給數學，他在波隆那、羅馬與威尼斯
       等地的大學教授數學，是當時身受景仰的數學家。

13. 《神聖比例》是關於透視法的著作，是許多藝術家入門的工具書。它是第一本關於黃金分割的論述，其中也包括數學計算比例的方法。

參考書籍：

帕利（Tatjana Pauli）(2004).《找回被遺忘的法蘭契斯卡》(汪若蘭譯)，台北，貓頭鷹出版。

法蘭切斯卡．達柏里尼 (Francesca) (2000).《達文西》(曾少千譯)，台北，貓頭鷹出版。

理察．曼奇維茲 (Richard Mankiewicz) (2003).《數學的故事》(蔡信行譯)，台北，世潮出版社。

丹尼斯 (Denis Guedj) (2002).《數字王國》(雷淑芬譯)，台北，時報出版。

亨德里克．房龍 (Hendrik Willem Van Loon) (2004).《寬容（Tolerance）》(辵衛、靳翠微譯)，台中，好讀出版社。

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李維歐（Mario Livio）(2004).《黃金比例1.61803……的秘密（The Golden Ratio）》(丘宏義譯)，台北，遠流出版事業股份有限公司。

貝蒂．愛德華 (Betty Edwards) (2002).《像藝術家一樣思考（The New Drawing on the Right Side of the Brain）》(張索娃譯)，台北，時報出版。

曾貴美編譯 (1993).《歐洲美術館之旅（Guide to Museums in Europe）》，台北，精英出版社。

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Swetz, Frank J. (1987). Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15^th Century. Illinois: Open Court La Salle.