•《阿草的葫蘆—文化活動中的數學》阿草的數學之旅
北一女中 蘇俊鴻老師
楔子
近年來，台灣出版界在科普書籍的投入與關注，可以說是與日劇增。在數學方面的科普書籍，雖然引進許多令人驚豔的外文翻譯書籍，但也出現不少令人惋惜的作品
(多半是譯者專業素養的問題)。反觀在台灣書寫數學科普書籍的作者中，能孜孜不倦地寫作，維持作品的水準，並擁有一定的吸引力，就不得不想到阿草了(台大數學系曹亮吉教授)。談起阿草的名號，可說是無人不知、無人不曉。事實上，曹教授對於科普寫作投身甚早，在《科學月刊》長期有科普文章的刊載。從1996年將關於人類文化活動中與數學連結的文章集結成書，出版《阿草的葫蘆—文化活動中的數學》一書(遠哲科學教育基金會出版)。到今年 (2004) 出版《阿草的數學天地》為止
(天下文化出版)，已經有不少有關數學的書籍。1在本文中，我們將針對歷年所出版的科普書籍中的阿草系列 (共四本)，作一個簡短的導覽介紹。
阿草系列各書導覽
阿草系列的形成，是作者經過長時間醞釀反思而得。整個寫作的發想，與這些年的教改思潮緊扣著。以下是阿草系列這四本書的說明：
•《阿草的葫蘆—文化活動中的數學》
(1996年，遠哲科學教育基金會出版)
本書是遠哲基金會在開發本土的科學通識讀物的目標下，所出版通識讀物系列的第一本書。作者認為數學是人類文明發展的一部份，所以，數學教育應當讓學生熟知數學對文化的影響。於是，作者歸納出下列幾個面向：(1)
時間與空間；(2) 因果律與機率的思考方式；(3)
演繹系統的呈現方式；(4) 以簡馭繁、以漸逼真的精神；(5)
日常生活中習以為常的數學式用語；(6)
亂中有序的美。2在這樣的考量下，作者採取主題式的寫作策略（全書共分十四章），也就是，在同一主題下，儘量將相關的材料安排納入。
以第一章〈我的墓碑我來刻〉為例，從大家所熟悉的高斯小故事
(求
之和)
開始，巧妙地與數學解題中的配對原則連結起來。接著，又提到促使高斯決定成為數學家的轉捩點—正十七邊形作圖問題的解決，讓高斯日後希望能在死後，將此一作圖刻在他的墓碑上。由正n邊形作圖問題，又拉到希臘人在尺規作圖上的堅持，並延伸到三大不可尺規作圖問題的產生。直到十九世紀，當數學家用理解到方程式理論與作圖問題的關係
(作者以正五邊形的作圖為例做說明)，此三大作圖問題的不可解，才清楚地獲得解決。至於高斯的願望則是不幸的落空了，現今他的墓碑上，看到的是刻著一顆十七角星。然而，高斯並非唯一如此遭遇的數學家，瑞士的賈可一世．白努利
(Jacques Bernoulli)
也曾因為對等角螺線的性質研究深為著迷，決定在墓碑刻上等角螺線，沒料到卻被刻上阿基米德螺線呢！不過，作者卻也趁此機會介紹等角螺線的性質。
由上段的介紹，相信讀者應能略窺作者在取材的多面性與題材串接上的變化多端，感受數學生命力之無所不在，多少體會本書副標題所強調的「文化活動中的數學」。
第二章〈平行線的交點〉可以分成兩部份：一是討論歐幾里得的《幾何原本》之歷史與內容，以及因之所成的歐氏幾何。對比地，作者也一併說明對於平行設準的探究所引出的非歐幾何。其次，則是幾何學最基本的畢氏定理，以及幾何學「不變性」所成就的美。此外，作者也對平面幾何學的教學在數學教育中地位每況愈下，提出他的省思與看法。第三章〈十九年七閏〉，則是介紹各種曆法的制定；干支紀年的換算。第四章〈蛛綱上的串珠〉的前半段，討論指數函數的應用，像是Malthus的人口模型、放射性元素的衰變，以及
這個指數函數是如何與蜘蛛綱連繫在一起。後半段則是討論對數函數，從計算上「乘除化加減」的需求說起，到Napier發明對數以造出對數表的過程，以及對數座標的應用。第五章〈嫦娥離我們多遠〉道出了三角學的量天與測地。第六章〈圓滾動靜皆文化〉說明圓與文明發展的關係，數學家對圓周率π的推求方法，以及幾個簡單的圓弦公式的介紹。第七章〈做一個燈籠〉，則是說明立體造型與體積公式的推求；正多面體的性質；和圓錐曲線的相關性質。
第八章〈那一端叫福爾摩沙〉關心的是球面的性質，包括如何量測地球的大小，球面上的幾何學，以及如何將地球面「擺平」的地圖問題。第九章〈世紀大審〉談的是微積分的故事，由Zeno的四個悖論談起
(最有名的就是Achilles與烏龜賽跑)，交代了微積分的內涵和極限觀念在求極值的重要性。接著，便是牛頓在微積分理論的貢獻，最後，則是牛頓與萊布尼茲在微積分發明優先權上的爭論。第十章〈孟德爾的豌豆〉則是由孟德爾的豌豆實驗，談到二項分布，進而到Laplace中央極限定理，以及據之成立的常態分布及其威力與失控 (多變數時)，到現代統計學的建立。統計推論的應用領域和據之計算的機率論等方面，最後，則是提到統計方法的可能被誤用。第十一章〈戈巴契夫的胎記〉談的是混沌，包含了迭代自擬、碎形幾何學等題材。
第十二章〈停格看Heron〉則討論解題，以Heron公式為例，在一方面說明如何用對稱、單位因次、特殊情形、極限情形來檢驗公式或是合理猜測公式；另一方面，說明如何用類比與觀察的方法做合理的猜測。此外，作者也花了很大的篇幅，逐一將這些解題原理詳加舉例說明，例如，注意圖形、地位、角色及過程的對稱，解題功力便能大增；如何遊走於特殊與一般之間，善用類比推敲、觀察歸納等等。作者將先前各章所略為提及的技術層面，在這一章中大力闡發，最後並以解題方法四字訣：「抄、圍、推、轉」，將其多年心得加以總結。第十三章〈波斯文大破解〉則是略述象形文、古波斯文及希臘Linear
A與Linear
B等古文解讀過程。有趣的是，作者在每段過程中均附上一個類比古文解讀過程的數學問題，對照之下，試圖突顯數學解題的教育價值。
至於第十四章〈為什麼學數學〉，則是作者綜合前面二章所提有關數學解題的內容，並試圖回應「為什麼學數學」這個問題
(這是個從事數學教育工作者無法迴避，而且必須有自己定見的問題)。作者由兩個面向來看這個問題：其一，數學在科學發展中所扮演的角色，不僅是數學技術的訓練就可以充分體會；在數學解題的活動中，我們也可以引領學生去體驗觀察、歸納、分析、類比、推論、演繹等等的科學方法，這樣的體驗對於學生日後從事科學工作是會有幫助的。另外，在解題過程中，邏輯推理力的養成，使之得以應用到數學以外的情境，這些都是數學教育的目的之一。3另一面向，則是數學對文化的影響，這也是目前數學教育最缺乏的部份。作者認為幾百年來，科學進展迅速，其知識風貌均已溶入人類文化之中，而成為吾人生活的一部份，這正是學數學所要去了解的，也是我們接受數學教育的本意。因此，作者認為基本素養中所需的數學技術層面不需過高，但與其他領域接觸要廣，除非在各專門學科上，技術層次才需有各種不同程度的提昇。這個問題的釐清，則可以讓我們的目標更加明確；課程設計更能照顧到文化層面的需求；教學中注意解題技巧及監控能力的培養，使數學的學習變得更有意義與樂趣。走筆至此，我們可以看出阿草在他的葫蘆裏，不僅賣的是文化活動中的數學萬花筒，更是他對數學教育用心良苦的葯方。
•《阿草的曆史故事》(2002年，天下文化出版)
從書名不難了解這本書的內容就是曆法。作者清楚地表明，這本書是他多年對曆法鑽研的讀書心得！說來奇怪，早期數學的發展，有一大部份為了替天文曆法服務。到了現代，我們卻少見在數學課程中會有專章去討論曆法的相關問題，頂多就是化身成為數論習題中的問題。事實上，作者對於曆法的喜好鑽研起源甚早，在《阿草的葫蘆—文化活動中的數學》中也可以看到
(第三章〈十九年七閏〉)，不過，當時只是淺嚐即止。至於更深入的內容：如中西曆法各自的發展、制定與改動；曆法在皇權統治脈絡下所扮演的角色；曆法在文化脈絡下所代表的意義；通曉曆法所需具備的數學知識；以及明末清初傳教士所帶來的知識交流，和他們在中國改曆上的參與等等的題材，則是這本書所要交代的。
全書共分五章，由於曆法的知識內容，對多數的讀者而言較為陌生，作者透過虛構出的兩場不同人物在不同時間的對話錄形式
(第一章：利瑪竇與徐光啟，1600年；第二章到第五章：小徐與小利，2000年)，介紹曆法的相關概念，這在科普的寫作上是較為特殊的體例。首先，由第一章〈中西曆的對照〉開始，為了搭配自然的週期變化，以利安排生活作息與節慶，人們對於曆法的需求是當然的。配合月亮的盈虧，抑或是季節的變化，就有陰曆、陽曆或是陰陽合曆的選擇，各個民族文化由於考量的不同，各自有其選擇的曆法，像羅馬人
(現在西方所沿用) 選擇陽曆，而中國人
(農曆) 則是陰陽合曆，但不管那一種曆法，由於我們是用整數的日子來處理非整數的自然週期，時間久了，自然有微調設計的必要。作者透過西元1600年利瑪竇與徐光啟兩人的一次對談
(當然是虛構的！)，將這些內容鋪陳開來。
然而，當曆法與自然變化的週期的差距愈來愈大，無法負起預測變化的重任時，曆法的改制便成了唯一的解決方案。第二章〈各曆的發展〉便是討論農曆與陽曆在改制上的做法，並兼論其他的曆法
(如回曆，印度曆，猶太曆)。第三章〈眾曆的共通〉則是由時區的統合，引伸到曆法紀年的互換，再提到曆法在文化上與政治上的意涵。第四章〈天之曆數在爾躬〉4特別強調在中國歷史上，曆法對於君主權威支撐的重要性，歷史上許多次的改曆全都是因政治力的介入
(作者特別以武則天為例介紹)、第五章〈曆的數學〉討論因曆法而發展出的數學理論與技巧，像是連分數、同餘理論、內插法、球面三角學等。
值得一提的是，對話錄形式在題材處理及概念傳遞上會較為鬆散，作者特別在各章之前均做了導論，以便讀者能更聚焦，可說是煞費苦心。
•《阿草的數學聖杯—探尋無所不在的胚騰》
(2003年，天下文化出版)
與《阿草的葫蘆》相比，本書可視為《阿草的葫蘆》的簡易版，這樣的比擬並非筆者自行想像，而是作者在自序中所提：「我承認該書(按：《阿草的葫蘆》)的讀者應該是已對數學有興趣，而更想知道數學在文化中所扮演角色的人。我考慮，是否該寫本書，能讓一般讀者發現數學是身邊事，因而引起對數學的興趣。」如此熱切考量拉近數學與普羅大眾距離，減低學習上的心理障礙，是其來有自。作者接著道：「參加國中九年一貫課程數學領域的設計，讓我更加體會到，一般國民需要什麼樣的數學。」所以，本書的內容定位，便是針對一般國民能夠知曉的數學。也就是說，只要接受過義務教育便能夠領會的數學。
在這樣的定位下，當然毋須引介具有一定難度的數學知識，那該談些什麼？當然還是得回到最初的起點：一般人學習數學的目的為何？作者認為學會尋求數與形的規律與過程，是學習數學的主要目的。如果我們將規律的要求稍加放鬆，我們日常生活中所遭遇的萬事萬物，多少都有規律可尋，作者就以「胚騰
(pattern)
－廣義的規律」稱呼之。5如此一來，我們在學習數學的眼界由原本純粹的數與形的狹義規律的探求，擴大到隱藏於萬事萬物的數與形，廣義的規律的追尋，使得數學的學習不再枯燥抽象。
作者將其四處搜集而來的實際例子，串接起來說明胚騰的意旨。並依其分類的不同，將全書分成「學、說、算、變、看、想」等六大篇。其中，「學」篇強調數學學習的重點，應該擺在對胚騰的追求與了解，作者認為學會追尋胚騰，才能使數學的學習變得有用，更以尋根與球賽成績為例，示範了該如何探求隱身其中的胚騰。「說」篇則是說明一般生活語言所涉及的數學詞句，也是處處有胚騰的存在。如十進位命數法的建制，在規律掌握後，我們才能隨心所欲地數下去。另外，像時間與空間有關的語詞，也常在語文中現身；以及那些我們早以習以為常的用語和說法，在細細分辨其深意後，都能讓人玩味再三。「算」篇談的是算術，強調的是估算能力的培養。此外，作者也告訴我們「用整數來標示時間的流逝與空間的區隔；用週期與同餘的概念來處理週而復始的現象；……；用排列組合的方法來了解潛在無窮增長的機制。要了解世界，就要會算。」
「變」篇強調的是代數，但談的是「變」與「相應的變」之間的關係。作者認為代數中的x有三種用法：(1)
未知數：具體而已定的用法；(2)
類化數：具體而一般的用法；(3)
一般數：抽象而一般的用法。代數的學習上之所以挫折重重，常是因為我們在解方程式的問題上習得未知數的用法，便一舉跳到一般數的層次，直接討論形式的演繹關係。然而在數學的連結上，作者認為類化觀念與由類化延伸的數學模型，才是學習代數的重點。「看」篇是幾何題材，強調的是看地圖、看地標找路、看方位、看面積的大小等等，這些簡單的幾何應用。另外，作者也談平面上的位置變換，像對稱、平移與旋轉等，以及由此所引發出圖形對稱之美，更與藝術相遇。「想」篇說明的是數學可被視為一種語言，我們在溝通時，若將數學納入，雖說它的應用較為狹窄，但卻可保持縝密與精準。此外，數學也是思考的利器，我們學習三段論法、清楚充份與必要條件的意義與關係，都能讓人在日常生活中面對各式各樣論述，容易將其抽絲剝繭，思考得更加清晰。
這樣看待數學「眼界」轉變的關鍵，作者認為不是艱難的數學技術，而是學習的方法。我們要從實際生活或其他學習領域取材，探討其中的數與形，尋求蘊涵的胚騰。要培養能力，能察覺情境中的數學問題，並轉化成真正的數學問題，並在數學解決之後，能回到實際的情境，評析其結果是否回答問題，以及能否進一步推廣。最後，也要能夠摘錄過程重點，以便自我溝通，以及與他人溝通。經過察覺、轉化、解題、溝通與評析等步驟，我們才能把數學與其他學習領域連結在一起，數學才會具體有用，這正是在九年一貫數學課程中特別強調的一個重點呢！
•《阿草的數學天地》(2004年，天下文化出版)
這本最新出版的書，概括的說，不妨將它視為由數學觀點出發的簡易版天文地理學，主要談的是利用高中程度的數學知識就可瞭解的天文與地理的知識。透過大小、方位、距離、位置及模型的數學觀點，天文與地理學上的許多話題便可放在一起討論，而地球正是兩者共通的話題。因此，作者將天文與地理的材料貫穿一氣，架構出全書的內容。
全書共分六篇，第零篇〈緒篇〉主要是回溯天文地理的起源。人們為了理解所觀察到的宇宙圖像，透過觀察資料的積累與數學知識的擴充，人們逐步修正天文地理學的模型，建立天文地理學相關的理論，最後，集大成的人正是西元二世紀的托勒密。雖然托勒密的宇宙模型是錯誤的，但他所建立的三角學卻影響深遠；同樣的，他的地理學著作雖說謬誤失準，卻是日後導致地理大發現時代的重要因素。第一篇〈地球的大小〉，由安身立命的地球大小先談起。透過自然界現象的觀察與推論，前人很早就推定地球是圓形。但隨之而來的：地球有多大？由於實測的不易，地球被「小看」了很久，但是，哥倫布卻因之敢提出航海西行的夢想。一直到三角測量法的建立，與測量工具的改進後，人們才算是真正知道地球的大小。導致牛頓的萬有引力理論的確立，並進一步經由實測的方式驗証了牛頓萬有引力理論的正確性。
第二章〈星球的位置〉則是討論如何將天上的星星定位。將地球視為中心，透過天球的觀念，將經緯線規定下來，則星星在天球上的視線方位便確立下來。然而真正的距離，則必須結合三角學的理論，配合天文標尺的制定
(隨著觀察的範圍的擴大，採用地球的半徑或地日距離或光年)，利用視差法決定之。但距離幾百光年外的星星呢？這時無法利用視差，只好採用星星的亮度
(星等) 或是紅移等物理現象。在行文之間，作者為我們補充了許多的天文學的ABC。第三篇〈行星的運動〉所介紹的，是行星運動描述的模型演進
(如地心說的同心圓、同心球及本均輪模型，到以日心說的圓形軌道，刻卜勒的橢圓軌道)，定性與定量描述的刻卜勒行星三大運動定律，及一統三大運動定律的牛頓萬有引力理論。藉由行星運動模型的討論，作者試圖呈現「建立模型的重要性，並重視其過程，這才有助於瞭解數學之應用」。而這種經由觀測、建構模型、以之預測、進行修正的過程，可以讓吾人體驗數學應用的層面，這正是「現有高中課程最弱的地方，缺了這一環，高中數學教育就成了純粹的數學技術訓練，無法瞭解數學為什麼有用，如何有用。」
在天文學議題討論告一段落後，就回到地球上來。第四章〈旅者的方位〉探討如何在地球上訂定經緯度，以及航海和航空上航線決定的問題。我們知道緯線(度) 的決定是容易：由赤道為準，定為0°，上行為北緯；下行為南緯，到南北極均為90°。但經線 (度)
就不簡單了，因為我們沒有一條特別的經線可供參考，而且經度的測量也是理論方法多，但可行性均不高。一直到鐘錶的構造通過航海的嚴格考驗，和天文學家百般阻撓與挑剔後，終於讓測量經度變得簡單可行，而且正確。6在經緯度的精確測定下，使得航線的考量由棋盤式 (沿著緯度或是經度)
的航向，變成可以考慮最短距離。我們當然知道，在球面上兩點最短距離會是在大圓上，其論証與球面三角學有關。第五章〈地圖的繪製〉的主旨，則是繪製地圖的各式各樣的方法，我們知道想把球面直接攤平擺放在平面上是不可能做到的，企圖運用投影法解決此一難題的科學家，可以追溯到托勒密呢！在他的《地理學》一書中，就介紹了幾種錐面投影法。後人在這個基礎上，因應繪圖上的考量，創設不少種類的投影法。就數學的觀點來看，這些投影法大約可依投影面的不同分成平面、錐面與柱面；依投影後可保持的性質，則可分成保形、保積與保長，作者花了不少篇幅介紹各種投影法及其特性。此外，地圖的繪製不外乎就是實際使用，第一位解決繪製航海圖的難題，讓球面上的恆向線對應變成平面上的直線的人，是十六世紀荷蘭的麥卡托，並創立了麥氏投影法，作者也為我們詳述了其投影法的原理與麥卡托的成就。
結論
在完成《阿草的數學天地》時，作者回顧這麼多年來所寫的科普書籍，心中的阿草系列已然成形，他是如何看待這四本書，且聽聽他的夫子自道：
這是阿草系列中的一本書
(按：即《阿草的數學天地》)，強調用高中數學就可瞭解一些天文與地理。……系列的第一書《阿草的葫蘆》是就高中的數學內容，逐項談其與人文、社會、自然、曆法、天文、地理等領域的關聯，也談及數學教育的本身。第二本《阿草的曆史故事》則專注於曆法，談及曆法與文化、歷史及數學的關聯。第三本《阿草的數學聖杯》，則把數學降至國中程度，隨手舉出日常生活及各學門的各種例子，使讀者感受到身邊到處都有數學。7
《阿草的葫蘆》一書，作者所談的題材範圍已是極大值，但數學理論的深度讓有些人畏懼，才會有後來的著述問世。我們可以看到作者持續將他所吸收的知識，運用深入淺出的方式，宣揚數學在各個領域與學門上的應用。說「深入」是指將討論題材的層次更加擴展延伸，像《阿草的曆史故事》中有關曆法的內容就遠比《阿草的葫蘆》來得深入與寬廣。說「淺出」是指作者會設定讀者的數學程度，考慮可接受的知識內容，像《阿草的數學聖杯》。
令人好奇的是，驅使作者願意如此孜孜不倦，像傳教士般地向普羅大眾倡言數學的種種面向，各式各樣的觀察聯想，各種領域學門的連結，各種可能威力的展示呢。這應當作者對數學教育所懷抱的使命感：
數學教育的目的不只是要學會數學的基本內容，要訓練邏輯思考，更要體會在日常生活中，在各學門中，有許多需要數學的地方，有需借助邏輯思考的時候，而且透過日常生活、其他學門中有情境的思考，數學的基本內涵才能真正的顯現其意義。8
作者極力地向讀者展現各種需要用到數學的地方，強調數學與其他領域的連結性。當然與作者深入參與九年一貫的數學領域課程設計所獲得的體會，有密切的關係。與其條目式的標列想要達成教學目標，不如多提供教師們可以達到這些目標的教學資源，讓他們可隨手取用。因此，我們才會在《阿草的葫蘆》的〈為什麼學數學〉中，看見作者大聲疾呼數學教育所需注意的方向。到後來的起而行，將他認為適合的切入觀點，賣力呈現。
希望作者這樣的心意能被更多的教師們發現，善用這些難得的智慧結晶，為數學教育的教學內容多添一些新意，或是對自己的教學目標多一些省思。至少，也可多增加自己的見識。像我，透過這次的心得撰寫，終於知道農曆閏月的規則，一解多年的困惑呢！
註解
1. 就筆者在博客來網路書店查詢的結果，目前尚可買到的有七本書，其中與數學科普書籍相關的共有五本：《阿草的葫蘆—文化活動中的數學》(1996年，遠哲科學教育基金會)、《高斯》(1999年，凡異)、《阿草的曆史故事》(2002年，天下文化)、《阿草的數學聖杯—探尋無所不在的胚騰》(2003年，天下文化)、《阿草的數學天地》(2004年，天下文化)。另外二本為《考試知多少》(2000年，心理)及《微積分基本要義》(2001年，三民)。
2. 《阿草的葫蘆—文化活動中的數學》第361-363頁。
3. 間接強調了解題活動在數學教育上的重要性。
4. 此句出自《論語》的〈堯曰篇〉，大意是說曆法就掌握在皇帝你的手中。
5. 這與將數學視為the science of patterns的看法相呼應。
6. 有興趣的人可以參考梭貝爾《尋找地球刻度的人》，時報文化出版。
7. 《阿草的數學天地》，第9頁。
8. 同上。