阿基米德牛群問題(The Cattle-Problem)

西松高中 蘇惠玉老師

        這個問題是這樣的：

要求一群牛中，各種顏色的公牛和母牛數。這一群牛中，有白色、黑色、黃色和雜色四種，每種都有公牛與母牛，設W, w分別是白色公牛與白色母牛的個數；B, b分別是黑色公牛與黑色母牛的個數；Y, y分別是黃色公牛與黃色母牛的個數；D, d分別是雜色公牛與雜色母牛的個數，分別滿足

        第一部份：

(1)   W=(1/2+1/3) B+ y

(2)   B=(1/4+1/5) D+ Y

(3)   D=(1/6+1/7) W+ Y

(4)   w=(1/3+1/4)(B+ b)

(5)   b=(1/4+1/5)(D+ d)

(6)   d=(1/5+1/6)(Y+ y)

(7)   y=(1/6+1/7)(W+ w)

    第二部份：

(8)   W+B為一平方數(a square)

(9)   Y+D為一三角形數

上式(9)式中，所謂的三角形數即是若用小石子個數表示此數字，可將所有小石子排列成一正三角形，如下圖：

由圖形知，三角形數一定可以寫成 ，n為一自然數。

        關於(8)式，根據T. L. Heath 的說法，有不同的看法。(8)式的意思是說，當白色公牛混入黑色公牛群中，它們站立著排列成形，其寬與長是一樣的。但是，如果考慮這些公牛擠在一起形成一個方形，它們的個數就不可能是一個平方數，因為牛的身長要比身寬大。所以，其中一個看法，是將「方」理解為「方形數」，即兩正整數的乘積，而「平方數」的條件也能包含在內。

        這個問題有8個未知數，卻有9個條件，所以，目的在找最小正整數解。1880年時，德國數學家昂紹爾(Amthor)給出這個問題的解。他先由(1)~(7)個式子，經過加減消去法解出

W=2•3•7•53•4657n   w=2³•3•5•7•23•373n

B=2•3²•89•4657n      b=2•3²•17•15991n

Y=3⁴•11•4657n         y=3²•13•46489n

D=2²•5•79•4657n      d=2²•3•5•5•11•761n

若令n＝1，即為滿足第一部份的最小正整數解。最後，再代入第二部份的條件，此時對(8)式他分別討論了方形數與平方數的解，若W+B為一平方數時，經由大量的計算，最後他寫出W=1598 206541，這裡的206541表示還有206541個數目字在後面，牛群的總數他解出為 7766 206541。

        在85年後，多了40位數字被算出，但是，直到1965年，加拿大Waterloo大學的數學家，H. C. Williams, R. A. German和C. R. Zarnke利用IBM7040電腦經過7個半小時的強力運算，才完整的給出解法。不幸的是，沒有人記得保留列印出來的結果。到1981年，經由Cray-1電腦10分鐘的運算，第二次解決問題，這一次數學家們記得將結果出版了！經過了2000年，阿基米德會有什麼樣的想法？

        這個問題出現在Lessing在1773年匯編的諷刺詩中。根據諷刺詩開頭的文字，這個問題似乎是阿基米德以諷刺詩的形式寄給當時亞歷山卓時期的數學家Eratosthenes（就是量地球週長的那一個）。而在Scholia（類似Math Review，針對古典著作）對柏拉圖的Charmides 165E的一份參考資料中，稱這個問題「called by Archimedes The Cattle-problem」，但阿基米德是否真的有提出這個問題？或只是將名字冠於前以示其超難度，尚有爭論。最後史學家調查的結果顯示，根據諷刺詩現存的形式，幾乎不可能出自阿基米德之手，但是很有可能源自於阿基米德。有一種說法認為，因為阿波羅尼斯曾計算出比阿基米德更為接近的π的近似值，因此，阿基米德必須計算出比《圓的測量(Measurement of a circle)》中所包含的更困難的乘法，所以，阿基米德有可能提出一道問題，此問題涉及了極大數的乘法，且困難到即使阿波羅尼斯也不能完全解出。

        這個諷刺詩開頭幾句是這樣的：

Compute the number of the oxen of the Sun, giving thy mind thereto, if thou hast a share of wisdom.

假如你想成為智者，就把你的心智用到這裡，計算一下太陽中公牛的數目。

在第一部份與第二部份的過渡中間，稱能解出第一部份的人為

not unknowing nor unskilled in numbers, but still not yet to be numbered among the wise.

對於數字算不得無知，也算不上無技巧，但仍是不能算作明智之人。

        根據Heath的說法，有人懷疑阿基米德是否解決了這個問題。畢竟這麼困難及巨額的數目，必須利用電腦的幫助才容易得出完整的答案，昂紹爾也指出，一個人即使花費了相當大的心力與時間計算後，要想寫出他的結果，必須要用到82張半的紙，若要寫出8個未知量，則要用到660頁。這在當時，成本也太高了吧！

參考文獻

Devlin(2004), ‘The Archimedes Cattle Problem’ in Devlin’ Angle of MAA online.

Heath, T. L. edited (2002), The Works of Archimedes, N. Y.: Dover Publications, Inc.