埃及分數與分數啟蒙的關係

國北師教學碩士班研究生/北縣明德高中 陳玉芬老師

一．緣起

前幾天看到一篇林福來、黃敏晃的〈分數啟蒙課程分析、批判與辯證〉，其中提到小學生對於分數的處理方式（如圖一）。讓我聯想到當初埃及人所使用的分數，是否也是建立在這樣最原始的心像之中呢？本文就是我個人一探究竟的心得報告。我也希望藉此澄清一些自己對於學童在學習分數時的啟蒙歷程，以便在教學上能有更多的幫助。

長久以來，吾人只知道埃及分數計算的規則，但始終不了解當初使用此種分數的初衷。就我所蒐集的訊息可知，我們對於古埃及數學的認識，主要是源自兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書於公元前1850年左右的《莫斯科紙草書》，另一份是大約成書於公元前1650年的《蘭德（Rhind）紙草書》，又稱《阿梅斯（Ahmes）紙草書》。《阿梅斯紙草書》的內容相當豐富，講述了埃及的乘法和除法、也記載了我們現在所要討論的單位分數的用法。

二．細說埃及分數

所謂的埃及分數，是指分子必等於1的真分數，即所謂的『單位分數』。例如： 、 、 。若遇到分子不為1的分數，埃及人則將其數分解成多個單位分數相加，例如： 。但是，一個分子非１的分數，如 ，我們又如何得知它是 三個單位分數相加的和呢？在討論它的解法之前，我們先參考下圖中一位學童對於分數的解決方法：

現在，我們可以藉由上面這位學童在學習分數概念時的思考歷程（引自前述林、黃論文），來探討當初對於只強調實用性應用的古埃及人而言，他們是否也是如此地處理一個在生活上遇到的分數問題。也讓我們欣賞一下小朋友是如何地運用自己的知識，而『走出』平行於歷史發展的軌跡。

若將 改以應用問題來思考：8顆蘋果要平均分給9人，那要如何分？

1.  8顆蘋果1人分一個，不夠分。

2. 若每一個人分半個，則還剩下3顆半蘋果。

3. 若每一個人再分 個，則還剩下半顆蘋果。

4. 將剩下的半顆蘋果均分給9個人，每人可再得 。至此，全部分完

5. 得算式：

三．數學上的論證

　　經由上述的分析，映照生活，自然合理，但仍舊不免想建立一個足以讓人信服的通則，嚴肅地說：我們不免想知道是不是任一個有理數都能表示成若干個相異埃及分數的和？以下是我們提供的證明：

定理　　每個真分數 都可以表為若干個相異埃及分數的和。

【證明】我們對分子 進行數學歸納法的證明。（∵a是正整數1,2,3,…）

            0~1的分數必落在某二埃及分數的區間內                     

　又　

由歸納法得到：

真分數 　注意分子 已合乎假設的範圍，

由下表所提供的部份資料顯示，我們可以知道，一個分數除了可表示成若干個埃及分數的和之外，它的表示法也是不唯一的，有與趣的老師們不妨把它當做是學生課餘閒暇的開味小品！突然想了解每一個分數有幾種的表示法？我想是有限，但不知如何得證！

參考資料

http://www.edp.ust.hk/math/history/2/2_3.htm

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_13_12_1/

http://www.maths.ilongman.com/Learning/FunSource/Egypt.asp

http://www.fg.tp.edu.tw/~math/source/num2.htm