數學雜談（二）－從機率談起

 台師大數學系助教 謝佳叡

I. 前言

雜談，說穿了就是想到什麼寫什麼，沒有固定的主題，任憑思緒天馬行空的走著。在前一篇〈數學雜談－從數學歸納法談起〉刊出後，接到不少先進讀者的評論與建議，心中竊喜，它讓我知道在心得交換路上我並不孤獨，也讓我有繼續這個思維紀錄的力量。

這一次，打算談一談「機率」這個主題。值得說明的是，由於這個主題談論的人相當多，坊間也有許多相當完整的著作出版，筆者自知無法相比，因此，打算藏拙地僅提供兩個近來遇到的例子，至於最後走到何處，連我也無法預料。

II. 上帝到底會不會跟我們丟骰子？

《牛頓雜誌》2003年11月號有一篇關於宇宙論的報導，標題是「弄錯一個條件將形成另一個宇宙」，講的是宇宙會呈現如今這種面貌，是受四種交互作用的力所支配，這四種力分別是：

（一）重力（引力）：使星球之間彼此拉扯的力；

（二）電磁力：使原子核與電子結合的力；

（三）核力（強力）：是原子核中質子和中子結合的力；

（四）弱力：是基本粒子變成其他基本粒子的力。

而思索這四種力是否能在一定條件下得到統一，一直是在物理界中一個十分重要的議題。

在看到這篇報導的當下，的確帶給我不小的震驚。令我震驚的，不是「自然界的所有物質、現象都可以用這四種力來解釋」，這種與《幾何原本》中「所有定理都可單純地從定義、公理推導出來」的神似性，而是這宇宙的這四種力的產生和大小，竟是取決於「機率」，也就是說在宇宙形成初期「隨機」被決定的。換句話說，如果再讓宇宙形成一次，可能就不是這四種力，宇宙也不會長現在這個樣子了。

這不禁讓吾人想起愛因斯坦所說的話：「你相信一個擲骰子的上帝，我卻信仰完整的定律和秩序的上帝。」如果上述的報導是可靠的，那無疑是為愛因斯坦的話，提供了一個反面的證據－我們的世界竟然是依賴「機率」。

暫且不論愛因斯坦說這句話的背景，也先不管牛頓雜誌這個報導的真實性，說巧不巧，上述的四種力中的第四種「弱力」又引出了另一個機率的問題。

III. 另一個有趣的例子---衰變與半衰期

放射性元素處在不穩定的狀態下，會自動放出輻射線，並變成較穩定之其他元素，此稱之為『放射性衰變』（radioactive decay）。當放射性元素有一半衰變成其他元素時，所需的時間就稱為『半衰期』。在一般的認知中，一個特定的物質其半衰期是一個特定的常數，換句話說，半衰期就像是密度一般是物質的基本性質之一，如碳14的半衰期是5700年、鈾238衰變為鉛206的半衰期為45億年，這個值是固定的。由於這是一個定值，因此，半衰期經常被用來做地質年代或考古年代的測定。

有趣的是，元素的衰變竟也是一個「機率」問題。

怎麼說呢？如果以原子核當成放射性元素的基本單位，則某種放射性元素中，哪一個原子核會衰變成另一個元素是「隨機」的。我們不但完全無法預估哪一個原子核會是下一個衰變，就連相隔發生衰變的時間也不一定，可能下一個很快的衰變了，也可能隔很長的時間才會有下一個原子核衰變。儘管如此，半衰期卻告訴我們，任一樣本的某種元素（不論是1公克或是1公斤）其一半的原子核發生衰變的時間是固定的。

舉一個不那麼實際、卻頗貼近的例子，來感受一下這個神奇性。一個禮堂中有一群人，假設每個人打噴嚏的情形是隨機的（即不受外界和相互傳染的影響），有些人可能幾分鐘內就打噴嚏，有些人幾年內都不會發生。如果一個人打了噴嚏就得離開禮堂，那麼，不管原來禮堂有多少人，當有一半的人離開禮堂時（姑且稱為「半噴嚏期」），所花的時間是固定的。

你相信嗎？說實在的，我不相信！

回到半衰期的問題，既然核衰變是一個機率問題，難道不會有「運氣特別好」或「運氣特別背」的時候，使得有一半的元素衰變時間是不一樣的。而且，既是取決於機率，自然就有「機會」受到外界條件的影響，也因此會對「半衰期是否必定是常數？」產生疑慮，也是合情入理的了。¹

IV. 機率---隨機中的必然

有人說，「機率」是一門探討「偶然中的必然」的科目，例如：誰也不知道丟一個公正的骰子，會出現哪一個點數（偶然、隨機），但卻可以知道每個點數出現的機會都是1/6，因此，只要次數夠多，每個點數出現的次數，都將趨向一個固定比例（必然、確定）。而這個「必然」大概是區分「機率理論」和「混沌理論」不同的一條最明顯的界線（或許，有朝一日「混沌理論」被證實僅僅是更高階的機率也猶未可知）。

其實，在上述的「半衰期」和「半噴嚏期」兩個例子中有一個極不相稱處，就在於事件的樣本數。

每個人想像中的禮堂，任它再大最多就是容納百千人，而半衰期的例子中，就算是幾毫克的元素中，其原子核的個數都是得以10的十幾次方計算，因此，就算都是機率問題，樣本數的差異，也將使得這兩個例子有著完全不同的「受接納」標準，對「半衰期」的信任被當成物質基本的性質，「半噴嚏期」卻只能被當成一個難登大雅之堂的玩笑例。

因此，筆者以為，機率「迷人」（或作「謎人」）的地方，就在樣本數少時所展現出來的不確定性。筆者曾經在廟裡求籤，連續擲出7個「笑茭」或「怒茭」，第8次才擲出「聖茭」，這當然是機率問題，當時並不以為意，因為我相信如果能擲800次，還是會有近400個「聖茭」，而不會只有100個，而一旁的友人，卻語重心長的安慰我「最近運氣不好多留意」！

另一方面，以圓周率的無限小數位為例。圓周率 π 是圓周長除以直徑的值，這是一個無理數，亦即將圓周長除以它的直徑會是一個不循環無限小數。要區分的是，「不循環」並不等同於「沒有規律」，如：0.38338333833338…也是一個不循環無限小數，卻存在一個規律。但是，只要有機會看到π 的幾位小數後，²一般會相信它小數點後出現的數字並不具有一般規律，而且很容易使人感覺每個數字出現的機率應該相同，也因此有人會將圓周率當成是一張現成的「亂數表」，或是如D. Hofstadter 所說「人類基於刻意目的所創造出的擬亂數」。但有趣的是，圓周率小數點後面的30個位數中竟然沒有數字0（第一個0是出現在第32位），而其他的九個數字早在前13位數中，就至少出現過一次。

難道這表示圓周率特別不喜歡「0」？ 這倒也未必，如果有耐心的多找幾位數，就會發現圓周率對數字「0」並不虧待。³

V. 一個不顯眼的消息和一篇個過氣的報導---圓周率 π 是一個有理數？

去統計圓周率中某個數字出現次數比例，除了打發時間外在數學上並沒有多大意義，但關於圓周率某個位數是什麼，倒是可以一提的趣事，這一件事牽涉到兩個報導。

第一個報導是一篇不甚顯眼的報導，內容是說加拿大的Simon Fraser University（一譯為「西門飛沙大學」）寫出了一個程式，可以利用電腦直接計算出圓周率小數點後某一位的數值。當初看過這篇報導後並不以為意，以致後來連在哪裡看到都想不起來了，因為個人曾經在溫哥華旅遊時經過這間學校，所以還留有特別的印象。

另一篇報導，由於在國內鬧的沸沸揚揚，很難不去注意，報導內容為：「加國十七歲的天才伯熙瓦用了25台電腦證實圓周率可以除得盡」，當時引起國內一片嘩然。這篇報導在數學界當然只會被當成笑話，除了幾位數學家對此做了些評論和更正報導外，大多數的數學家採取的，是冷眼旁觀的不予理會。

但對於「數學意志」不夠堅定的人而言，這篇報導可是件不得了的大事。

一位中學教師向筆者提到這件事，我還特別找出圓周率是無理數的證明給他看，換來的卻是一句：「哎！科技日新月異，你的資料早落伍了！」

這篇報導所造成許多數學教育上的強烈殺傷力，可以借舉葉永南老師偕同九章出版社向媒體反應的三個事件為例：

1.   當妻子向數學系畢業的丈夫談起這則新聞時，丈夫以不屑的口吻奚落妻子的無知，「圓周率是無理數」是眾所周知的事實。妻子也不甘示弱，責怪丈夫不求上進，忌妒人家的成果……，結果引起家庭紛爭。

2.   某數學教授的孩子向他陳述這則新聞時，他告訴正讀國中的孩子這則新聞是錯的，並試圖向其解釋原因，但這孩子厭於細聽原由，回說了一句：「您己經L.K.K.了，您的知識己經過時了，現在的電腦己經可以作很多您們不知道的事了！」

3.   在某知名高中的課堂上，數學老師口沬橫飛地向學生介紹這則新聞，並期勉學生向這位17歲的加拿大學生學習。
（資料來源http://ccmef.chiuchang.org.tw/ccmef/info/c.html）

這些人物都算是最接近數學的一群，但他們的『數學意志』竟比不過一則新聞報導，更不用說未受正規數學訓練的社會大眾了。儘管更正的報導很快的出現，但媒體並沒有用對等的版面加以報導，加上人們對電腦的計算能力所產生的「盲目信賴」，使得至今仍有許多人如此認為。

對大眾這種「數學本質體認的不足」及「媒體知識和道德感的缺乏」，筆者並不想在此炒冷飯，只想實際看看這篇報導背後的始末。

當大家將焦點放在爭論圓周率是不是無理數、電腦計算值不值得大家信任，以及媒體的誤解時，我卻注意到兩個訊息：這位伯熙瓦的就讀學校，以及第五兆位元數字是0。

據中央社渥太華訊的報導，這位伯熙瓦在加拿大卑詩省賽蒙•福雷塞大學修課，巧的是，這所大學正是寫出求出圓周率某一位的數值程式的「西門飛沙大學（Simon Fraser University）」的另一個譯名。如此，吾人直覺地想到，他很有機會是在利用這個程式（或類似程式）來跑圓周率特定位數。

這兩篇報導因此就串了起來。筆者將它們組織一下，得到整個事件的大致推測：『一位在Simon Fraser大學修課的學生，得到該校所作的一個可求出圓周率某一位數值的程式，他利用25台電腦進行「電腦實驗」，跑出自設的第五兆位元的數字是「0」（約小數點後面第一兆兩千五百億位數）。媒體得到了這個消息後，將「第五兆位元小數是0」報導並解釋成「第五兆位元小數可以除盡」（這有什麼關係？），經其他媒體廣加引用，這個錯誤訊息就廣泛的為社會大眾所知。』

第一兆兩千五百億位數的數字是「0」有什麼稀奇？不就是十分之一的機會！如果找出的數值不是0，或是遇到的撰寫報導人員是有基本數學知識，或許這類的數學傷害不會出現。

這，何嘗不是另一個被「機率」所決定的事件！

註解：

1. 例如：《自然科學簡訊》第十三卷第一期中，中研院地球科學研究所研究員扈治安就有一則「放射核種之半衰期必定是常數嗎？」的研究報導。

2. 圓周率π 小數點四十五位為「3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399…」。

3. 圓周率π 小數點後10000位和1000000位數字出現統計表如下：

參考書目

不著編者 (1989).《牛頓物理辭典》，台北，牛頓出版社。

佐藤勝彥等協助 (2003).〈弄錯一個條件將形成「另一個宇宙」〉《牛頓雜誌》第243期，2003年11月號。

洪萬生 (2001).〈報導與真相：以『破圓周率神話』為例〉，《HPM通訊》第四卷第十期。

Blatner, D. (1999).《神奇的 π 》（The Joy of π ）（潘恩典譯），台北：商周出版社。