為教師而寫的溫柔數學史篇

                                                   台師大學數學系 洪萬生教授

        閱讀畢氏定理的歐氏證明(見《幾何原本》第一冊命題47)。然後,針對此一論證,撰寫一個『溫柔的』說明,其難易層次適合中學生(9-12年級)。

常見的度量角之方法有兩種:度 (degree) 度量與弳 (radian) 度量。圓周率π在後者而非前者中扮演了重要角色。撰寫一篇短文比較並對照這兩種方法,其中包括何以π明顯地出現在其一,但在另一則否。

為了以代數方法解方程式,我們需要運用很多抽象想法:一個代表未知數的符號、0(零)、負數,以及在方程式兩邊進行『補足運算』(compensating operations)。撰寫一篇文章,解釋『虛設法』(method(s) of false positions) 如何『如影隨形地需求』這些概念。請問如此一來,學生在學習與記憶如何解一次方程式時,究竟變得簡單一些或困難一些?

 

        以上三則『申論題』,都出自 Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others,作者Berlinghoff Gouvea將它們列為『教案』(project) 書寫或設計的問題。無論 容易回答與否,這些題目連同本書的其他問題,都期待數學教師針對教材單元如『畢氏定理』、『角度量』『一元一次方程式解法』等等,進行反思 (reflection) 或歷史面向的『後設認知』(meta-cognition)。事實上,本書被美國數學協會 (Mathematical Association of America, 簡稱MAA) 納入他們所出版的『教室資源』(Classroom Resource Materials) 叢書,顯然就是為中小學教師提供補充教材之用。

        根據兩位作者的夫子自道,本書的構想來自他們兩人兩年前(美國緬因州)Colby學院數學系走廊的閒聊,但是,更深刻的關懷,則是呼應他們對於數學史的一往情深,以及此一學門對於數學教學(無論是中小學或大學)的可能助益。然而,鑒於教師難以自行研發HPM相關教材,所以,他們遂決定撰寫本書,以便提供給教師垂手可得的『歷史素描』(historical sketch),供他們自行採擷運用。

        基於此,作者先描述數學史的一個簡要輪廓(篇幅共有64頁),其內容依序分別如下:『起源』、『希臘數學』、『印度數學』、『阿拉伯數學』、『中世紀歐洲』、『1516世紀』、『代數現身』、『微積分與應用數學』、『嚴密與專業主義』、『抽象、電算機與新應用』、以及『今日數學』。這樣的敘事順序,令人想起了Carl BoyerA History of Mathematics Morris Kline Mathematical Thought from Ancient to Modern Times。只不過,由於作者志不在史學敘事,所以,相形之下內容就簡要多了。

        儘管如此,本書的重心卻是25篇『歷史素描』,它們佔了全書總頁數286中的180頁(約62%)。這些素描都是針對基礎數學中的普通理念而作,其中尤其著重在『一個理念、一個程序、一個單元等起源之闡釋,常常連結表面上相異的事物、但分享了共有的歷史根源。』為此,作者的策略如下:

它們先是來一段簡略的數學史萬花筒,從最早期到現在!這對於形塑現代數學的人物與事件,提出一個輪廓式的架構,並且為那些分散、自足的素描,供應一個統一的脈絡。

這樣的處理當然反映了作者的主觀認知,然而,只要我們有機會瀏覽一下這25篇素描的內容,就可以理解作者處心積慮為數學教學謀的苦心造詣了:

        1. 書寫(正)整數                                               2.(數學)符號來自何處

3. 0的故事                                                             4. 書寫分數

5. 負數                                                                   6. 度量衡

        7. π的故事                                                            8. 以符號書寫代數

        9. 求解一次方程式                                              10. 二次方程式

11. 求解三次方程式                                            12. 畢氏定理

13. 費瑪最後定理                                                 14. 歐幾里得平面幾何

        15. 柏拉圖多面體                                                 16. 座標幾何

        17. 複數                                                                 18. 正弦與餘弦

        19. 非歐幾何學                                                     20. 射影幾何學

        21. 機率論的起點                                                 22. 統計成為一門科學

        23. 電子計算機                                                     24. 邏輯與布氏代數

        25. 無窮與集合論

誠然,這些素描幾乎不涉及二十世紀數學知識重大發展面貌,主要指向中小數學教師應有的統整初等數學之能力或素養,而這當然是作者念茲在茲的教育關懷之所在了。事實上,為了『服務』中小學數學教師,他還特別在這一本加強版中,為每一篇素描補寫了問題與(教案)申論,鼓勵讀者延伸閱讀或設計教案,本文一開始索引的三則,只不過是其中一小部分而已。

這種書寫風格,也曾出現在前述Carl BoyerA History of Mathematics Bunt等人所寫的Historical Roots of Elementary Mathematics 之中。由於前書比較像是一部數學史的教科書,因此,Boyer在他的每章之後所設計的問題,就少了數學教育方面的關懷。對比之下,Bunt等人的著作中的問題(幾乎每一節後都有佈置),內容就顯得多樣多了,也是除了數學史本身的問題之外,也納入了與數學教學有關的問題了。這樣看來,Math through Ages一書應該是基於類似Bunt等人的考量吧,只是作者 Berlinghoff Gouvea 似乎未曾察覺吧!

儘管如此,本書作者還是引述了多達141筆文獻,其中所涵蓋的範圍,除了古代數學文本、數學史的專業著述之外,還有HPM的論述以及數學科普作品。這些文獻雖然內容多元,訴求不一,但都充分發揮了數學知識的人文價值與意義,而這想必可以透過教師容易親近的『歷史素描』發揮一點啟蒙的效果吧。其實,本書第三部分的『延伸閱讀』(What to Read Next),也針對書末的參考文獻或網頁甚至其他媒體資訊,提供了簡要的說明與推薦。無論如何,本書內容完全『貼近』第一線教師的主要考量,的確是我們HPM專業工作者應當努力效法的目標吧。

最後,介紹本書的出版資料如下:

              書名:Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others (Expanded edition)

              作者:William P. Berlingholl, Fernando Q. Gouvea

              頁數:xii+275 pp

              國際書碼:ISBN 0-88385-736-7

              出版社:A Joint Publication of Oxton House Publishers (at Farmington, ME) and The Mathematical Association of America (at Washington, DC)

               出版年:2004