數學與人文社會的對話：一個HPM的進路

台師大數學系 洪萬生教授

 一、何謂HPM？

大家可能不知道什麼是HPM，這是《HPM通訊》的一個索引，從1998年10月開始創辦，出版第一卷第一期，一直到現在，其中每年二、三月合刊，七、八月合刊，全年出版十期。所謂H是指歷史 (History)，P是指教學法 (Pedagogy)，M當然是指數學 (Mathematics)，所以，《HPM通訊》是指數學教學法與數學史結合的一種刊物。

說到數學教學，很多老師（我以前的學生）告訴我，因為常常要趕進度，課沒有辦法教完，所以，除了上正課之外，沒有辦法教授其他的東西，數學史的一些有趣材料，當然也不例外。我告訴他們千萬不要這樣想。回憶我自己年輕的時候，也有很多東西沒有學到，這在一方面，我覺得沒有什麼好遺憾的；另一方面，我覺得有一些東西等需要使用的時候，再學習就好了。教師教得完所有的課程內容，其實並不一定有意義，例如：函數是一個很困難的概念，今天為了趕進度，把函數教完了，明天馬上考試，學生晚上跑去補習，第二天考得不錯，而兩個禮拜之後，可能忘得一乾二淨，試問這種教學有多大意義呢？¹

因此，在每天趕進度的情況下，教師在正課中要跟學生講一點數學史是很困難的，家長的期望也會給老師帶來壓力，尤其是當所教的班級成績不好的時候，更是沒有多餘的時間，那麼，如果想要附庸風雅介紹一點數學史，應該怎麼辦呢？我想，在每次段考之後，大家總應該可以輕鬆一下吧！所以，段考之後可以挪出一、兩節的時間出來，講一些比較風雅像數學史這樣的東西，也許是不錯的選擇，各位不妨試試看！

二、 數學知識的多元面向

在生活中有許多事情是需要用到數學的，「數學能力」與「數學知識」是不一樣的兩件事，有數學能力的人不一定有數學知識；同理，有數學知識的人也不一定有數學能力。例如：賣水果的老伯將水果堆成長方垛，他一定有自己的方法算出水果總數，但是，他一定不知道在數學知識裡，這是二階等差級數的問題，所以說他是有數學能力，但是卻沒有數學知識。相對地，數學老師可能知道長方垛的計算方式，但是，卻不一定會利用它來解決生活上的問題，所以說他是有數學知識，但是，可能沒有這一方面的數學能力。我們目前的九年一貫就是在訴求這個：不一定每個學生都要有數學知識，但是，要培養基本的數學能力，以便學生將來有能力解決生活上的問題。

因此，數學能力顯然會在此一知識活動的各個面向表現出來。在數學的哲學面向方面，柏拉圖認為數學概念是存在理想世界 (ideal world) 之中，而非在現實世界 (physical world) 上。譬如，對於柏拉圖來說，三角形的蛋糕之中並未存在有三角形的概念。相反地，亞里斯多德則顯然認為多吃三角形蛋糕，有助於吾人認識三角形的概念。這也就是說，亞里斯多德比較重視理想世界與現實世界的聯繫。這是兩個不同的數學哲學基本立場。說得更明確一些，在《米諾篇》(Meno) 中，柏拉圖以蘇格拉底教小男孩做兩倍面積正方形的例子，說明了數學知識就像是嬰兒被產婆接生一樣地被引導出來，所以，說數學知識是『被發現的』(discovered)，而不是『被發明的』(invented)。此外，柏拉圖也認為軍事領袖與國家領導人必須要懂數學。然則要懂到什麼程度呢？不可只與沿街叫賣的小販一樣，而是必須要學習到使自己的心靈可以與理想世界對話。同時，他也認為數學訓練可以幫助吾人從混亂中抓住本質，例如：面前有一塊三角形的幕斯蛋糕，只能看到它的（概念）形式 (form)，三角形完美的本質，而不是它的物質 (matter)，好吃的幕斯蛋糕－後者顯然存在於現實世界！

現在，我們或許可以將數學拿來類比於繪畫藝術－這可以視為數學與藝術的『連結』。畫家在作畫的時候，也是在抓本質，素描構圖時是看到形式，而不是物質（料）。這種看法對希臘人而言，一點也不陌生，這是因為他們認為數學是無所不在的，從而他們認為「美」是一種好的數學比例 (well-proportioned)，也就是以數學來定義「美」。文藝復興時期的畫家所使用的透視 (perspective)，後來發展成數學中的投影幾何 (projective geometry)，所以，此一數學分支裡的部分知識，早期是由藝術家發展出來的，他們既是偉大的藝術家也是數學大師。

本節最後，我們打算考慮數學與文化之關係。中國古代沒有「零」的概念，中文的「零」是「零頭」的意思，並不是指「沒有」，例如：108，中國古代讀作「一百八」而不是「一百零八」，這是一個日常語彙可能干擾學習的例子。另外，中國古代也沒有數學「角」的概念，「角」與「平行線」是一體兩面的，大家可以想想，如果把國中幾何學裡的「角」與「平行線」的概念拿掉，則整個幾何學的知識到底可以走多遠？你可以發現「角」與「平行線」的概念，在幾何學裡的認知結構中是很重要的，當老師的人，要常常做這種後設性的思考，以多元文化的觀點來看數學，相信這對於教學，將會有很大的幫助！

以上是中國傳統數學之簡略文化考察。我們再舉阿拉伯數學為例，說明數學與文化之密切關聯。阿拉伯帝國在巴格達時期是一個世界性的帝國，他們不分黨派、種族、背景，招募世界的英才從事研究工作，並且成立科學院、天文台等等研究機構。阿拉伯的數學史裡有一個很重要的特徵，是其他民族所沒有的，那就是回教經典《古蘭經》中，有一個章節專門在處理遺產問題。其中有關遺產的規定，不論男女皆可以分得遺產，如果有遠親、孤兒在場，也要分一部份給他們，並且對他們說好話。在阿拉伯回教國家裡，《古蘭經》的規定視同法律，社會學家發現全世界的民族、宗教裡，只有《古蘭經》的教義裡有社會主義的關懷，有非常濃厚的人道主義色彩。當然，分遺產時會產生意見不合的時候，有的人不主張分，為此，他們乃發展出一套非常繁複的數學算法，這也促成了算術與代數在阿拉伯國家裡的大力發展。

三、  數學教育(工作)者如何計設或佈置(教學)活動？

我們剛才約略談到了數學哲學的面向、數學知識演化的面向，及數學與社會之間的互動。我相信惟有將數學拉到這樣的發展脈絡裡面時，才能發現數學與人文社會之間是可以對話的，而且也必須要對話。因為當你要佈置一個比較有趣的，讓所有學生願意參與教學活動時，顯然有必要建立一個比較溫柔的教學情境，讓他（她）們得到尊重。例如：利用摺紙讓小朋友瞭解到三角形面積求法，可能有一位平時考試很差的小朋友赫然發現：三角形面積求法與長方形面積求法有關。此時，如果你願意告訴他說：「你的想法與中國古代偉大的數學家劉徽一樣。」那麼，以後他上數學課時，保證一定會很認真投入。我們對於小朋友要有正面的肯定，而正面教學的前提是要佈置一個可以讓他可參與的活動。

這當然牽涉到教師對於所謂的『教學活動』的看法了。我們誠摯地希望教師可以利用每次段考結束後的一、兩節課時間內，教授學生一些比較輕鬆的東西。例如：介紹幾種不同的畢氏定理證法，然後要求學生說明自己喜歡的是哪一種方法。這是將數學的學習由『作數學』(do mathematics) 提昇至『反思數學』(reflect on mathematics) 的層次上，讓學生從解題的繁瑣中跳脫出來，嚐試由方法論的角度來體會數學，這對於數學的學習也有很大的幫助！

既然鼓勵學生反思，那麼，評量的策略或許就必須跟著調整了。教師對於學生給出非預期的答案時，是否可以容忍呢？例如：原本教師要求學生利用畢氏定理來解題，而學生使用其了他方法算出答案，甚至衍生出更深刻的問題出來時，老師敢把這個多元解題活動這個『潘朵拉的盒子』打開嗎？對於學生答題時的個別差異，評量的平衡點又是在哪裡呢？評量方式如按照每一次考試成績計算，而有些學生則是在學期結束後才開竅，成績該如何計算呢？如何補救這種學生呢？有的學校成績的計算，老師可彈性利用的成績不到百分之三十，如果老師連調整自己學生成績的自主權力都沒有的話，那麼，老師就很難當了！

四、   結語：HPM如何介入？

今天所講的，是希望大家思考如何運用HPM的精神，從數學知識多元的風貌，去佈置一個比較適當的教學活動，讓每一個人都可以參與，至少讓多數的小朋友可以參與。從這個角度切入，教學是比較吸引人的，說不定你不但可以因而成為一個名牌的老師，也是一位成功的，受到所有人愛戴的好老師！

修訂後記：本文之初版，是筆者應邀為台灣大學教育學程中心之邀請，為該校九十二學年度第九次返校座談（民國93年4月30日）之實習教師演講之錄音稿。感謝數學科實習教師李志萍小姐之紀錄。

註解：

1. 若是大家有機會到美國接受教育，一定會發現教師在每堂課的前二十分鐘都是在複習。他們是假設學生什麼都不懂，完全沒有準備就來上課的。反觀國內的一般情況，我們基本上假設是學生準備好才來上課，而且是準備得比老師即將準備的內容還要充分。這兩種教學法是顯然基於完全不同的思考方向。這種對比也反映在評量方式上。在美國那一邊的教學，比較正面的評量目標，是放在學生學會了多少東西，所以，評量的內容多半是學生已經學過的，應該會解的題目；而我們的評量目標，則是放在學生不會的東西有多少，所以，評量的內容都是些大部分學生不會解的題目。